速習圏論

はじめに

圏論(けんろん、Category Theory)は、数学やコンピュータサイエンスで広く使われる構造と関係を扱う数学の分野である。圏論の目標は、さまざまな数学的対象(例えば、集合や空間、関数など)の間に共通する抽象的な構造を見つけ出し、それを統一的に理解することである。

圏論の大きな利点は、異なる数学的概念に共通する 構造の保存 や 関係の合成 という性質を一貫した言葉で表現できる点にある。つまり、線形空間、群、環、位相空間、距離空間など、一見異なるように思える構造間にも、圏論の視点から見ると共通する類似点が浮かび上がる。

例えば、直積を取るという操作は、集合論、群論、環論、位相空間論などの多くの理論で出現するが、構成的な定義を見ると、各構造固有の性質に依存したものになっており、共通点が見いだしにくい。
しかし、それは直積した空間が 何で構成されているか に着目しているから見えにくいのであって、直積した空間が他の空間と どのような関係にあるか に着目すれば、固有の構造に依らない定義付けが行える。

圏論において対象とは、圏論の中で扱われる基本的な要素であり、集合論や群論、環論、位相空間論などにおける集合や空間などの具体的な数学的対象が対象にあたるが、各々の空間それぞれがどのような構造でもって構成されているかには注目せず、各々の空間の間にある 準同型 や変換などの関係に注目し、どのように 繋がっているか を見る。

本書は、圏論の基礎を理解するためのガイドブックとしての性格が色濃く、読者が圏論の全体像を掴むことを目的としている。各定理や主要な概念については概要を示し、詳細な証明は他の教科書や参考文献を参照する形としており、実際の証明を通じて深く学びたい読者に道筋を示している。これにより、効率よく圏論の重要な概念や構造に触れ、次の段階へと進むための準備を整えられるようにしている。

以下、参考文献である。

T. Leinster 著, 斎藤恭司監修, 土岡俊介訳, ベーシック圏論: 普遍性からの速習コース, 丸善出版, 2017.
S. Mac Lane 著, 三好博之, 高木理訳, 圏論の基礎, 丸善出版, 2012.
中岡宏行著, 圏論の技法 : アーベル圏と三角圏でのホモロジー代数, 日本評論社, 2015.
浅芝秀人著, 圏と表現論: 2-圏論的被覆理論を中心に, サイエンス社, 2019.

集合と写像

論理記号について最低限説明する。
命題 $p,q$ について、 $p$ が成り立たない、あるいは $p$ が成り立つならば $q$ が成り立つ ことを $p\implies q$ 、あるいは $q\impliedby p$ で表す。
特に、 $p\implies q$ かつ $q\implies p$ のとき $p\iff q$ と表し、 $p$ と $q$ は同値であるという。

1以上の整数を特に自然数と呼ぶことにする。
いくつかの ものからなる集まり を集合といい、 $x$ が集合 $A$ の要素であることを $x\in A$ と表し、 $x$ は $A$ の元、あるいは $x$ は $A$ に属する という。

以下は、いくつかの代表的な集合を表すのに用いる記号である:

$\mathbb{N}$ :自然数全体の集合, $\mathbb{Z}$ :整数全体の集合, $\mathbb{Q}$ :有理数全体の集合, $\mathbb{R}$ :実数全体の集合

集合の要素を具体的に列挙する表現を 外延的記法 と呼ぶ。具体的な例として、要素 $a,b,c,d$ のみを持つ集合を考えたとき、その外延的表記は $\{a,b,c,d\}$ となる。

他方、ある条件 $P$ を満たすような $x$ の全体を $\left\{x\colon xは条件Pを満たす\right\}$ と表し、この表現を 内包的記法 という。
特に考える $x$ をある集合 $A$ の要素に限定する場合、その全体を $\left\{x\in A\colon xは条件Pを満たす\right\}$ と表す。

2つの集合 $A,B$ に対して、 $A$ のすべての元が $B$ に属するとき、 $A$ は $B$ の部分集合 である、あるいは $A$ は $B$ に含まれる といい、 $A\subseteq B$ あるいは $B\supseteq A$ と表す。
特に、 $A$ が $B$ に含まれており、かつ $B$ が $A$ に含まれているとき $A$ と $B$ は等しい といい $A=B$ と表す。
空集合 は名前の通り 空っぽの集合 のことで、具体的には いかなる要素も持たない集合 であり、記号として $\emptyset$ を用いる。
空集合 $\emptyset$ は任意の集合の部分集合となっている。

2つの集合 $A,B$ に対して、 $A$ と $B$ のいずれかに属する要素からなる集合を $A$ と $B$ の 和集合 といい、 $A\cup B$ で表す。
$A$ と $B$ の両方に属する要素からなる集合を $A$ と $B$ の共通部分 といい、 $A\cap B$ で表す。
$A$ の要素のうち $B$ に含まれないもの全体からなる集合を $A$ と $B$ の差集合 といい、 $A\setminus B$ で表す。
特に、 $A\cap B\neq\emptyset$ であるとき $A$ と $B$ は 交わっている といい、 $A\cap B=\emptyset$ のとき $A$ と $B$ は交わっていない、あるいは 互いに素 であるという。

集合 $A$ から集合 $B$ への写像 $f$ とは、 $A$ の任意の要素 $x$ に対して $B$ の要素 $y$ がただ一つ対応するような対応付けのことであり、 $y$ を $x$ における $f$ の値、あるいは $f$ による $x$ の像 といい $y=f(x)$ と表す。
$f$ によって $A$ の要素 $x$ が $B$ の要素 $y$ に写されることを $f\colon x\mapsto y$ で表す。
また、 $f$ が $A$ から $B$ への写像であることを $f\colon A\to B$ と表し、 $A$ を $f$ の 定義域 あるは始域といい、 $B$ を $f$ の値域あるいは終域という。

写像 $f\colon A\to B$ が条件 $\forall a,a^\prime\in A(f(a)=f(a^\prime)\implies a=a^\prime)$ を満たすとき、 $f$ は単射であるという。
また、 $f$ が条件 $\forall b\in B,\exists a\in A(b=f(a))$ を満たすとき、 $f$ は全射であるという。
特に、全射かつ単射な場合を 全単射 という。

集合 $A$ , $B$ に対して、全単射な写像 $f\colon A\to B$ が存在するとき、 $A$ と $B$ は 集合として同型 あるいは 同型な集合 であるといい、 $A\cong B$ と表す。

写像 $f\colon A\to B$ と部分集合 $X\subseteq A,Y\subseteq B$ に対して $f$ の $X$ による像を $f(X)=\{f(x)\colon x\in X\}$ とし $f$ の $Y$ による逆像を $f^{-1}(Y)=\{x\in X\colon f(x)\in Y\}$ とするとき、次がそれぞれ成り立つ:

$f(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda)=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}f(X_\lambda)$ ; $f(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda)\subseteq\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f(X_\lambda)$ ;
$f^{-1}(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}Y_\lambda)=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}f^{-1}(Y_\lambda)$ ; $f^{-1}(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}Y_\lambda)=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f^{-1}(Y_\lambda)$ ;
$X\subseteq X^\prime\implies f(X)\subseteq f(X^\prime)$ ;
$Y\subseteq Y^\prime\implies f^{-1}(Y)\subseteq f^{-1}(Y^\prime)$ ;
$f(X)\subseteq Y\iff X\subseteq f^{-1}(Y)$ ;
$X\subseteq f^{-1}(f(X))$ (等号成立条件: $f$ が単射)
$f(f^{-1}(Y))\subseteq Y$ (等号成立条件: $Y\subseteq\image{f}$ )

Definition. Grothendieck 宇宙 (Grothendieck universe)

Grothendieck 宇宙 (Grothendieck universe) とは次の性質をもつ集合 $\mathfrak{U}$ のことである。

$\mathfrak{U}$ は推移的である。(i.e. $x\in\mathfrak{U}$ と $y\in x$ に対して $y\in\mathfrak{U}$ である)
$x,y\in\mathfrak{U}$ に対して $\{x,y\}\in\mathfrak{U}$ である。
$x\in\mathfrak{U}$ に対して $x$ の冪集合 $\mathfrak{P}(x)$ は $\mathfrak{P}(x)\in\mathfrak{U}$ を満たす。
$I\in\mathfrak{U}$ によって添字付けられた $\mathfrak{U}$ の元の族 $\{x_i\}_{i\in I}$ に対して $\bigcup_{i\in I}x_i\in\mathfrak{U}$ となる。

圏論の基本事項

圏の定義

Definition. 圏 (Category)

$\mathcal{A}$ とは、以下のデータからなる:

$\mathcal{A}$ の対象の集まり $\operatorname{Ob}\mathcal{A}$ ;
各 $A,B\in\operatorname{Ob}\mathcal{A}$ について、 $A$ から $B$ への射あるいは矢印の集まり $\mathcal{A}(A,B)$ ;
各 $A,B,C\in\operatorname{Ob}\mathcal{A}$ について、合成と呼ばれる写像 $\circ\colon\mathcal{A}(B,C)\times\mathcal{A}(A,B)\to\mathcal{A}(A,C)$ ;
各 $A\in\operatorname{Ob}\mathcal{A}$ について、 $A$ 上の恒等射と呼ばれる $\mathcal{A}(A,A)$ の元 $\operatorname{id}_A$ ;

これらのデータは以下の2つの公理を満たすものである:

結合律: 任意の射 $f\colon A\to B$ , $g\colon B\to C$ , $h\colon C\to D$ に対して, $(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)$ が成り立つ;
単位律: 各 $A\in\operatorname{Ob}\mathcal{A}$ について、 $A$ 上の恒等射と呼ばれる $\mathcal{A}(A,A)$ の元 $\operatorname{id}_A$ ;

$A\in\operatorname{Ob}\mathcal{A}$ であるとき $A$ は $\mathcal{A}$ の対象であるといい、 $A\in\mathcal{A}$ と表す。 $f\in\mathcal{A}(A,B)$ であるとき $f$ は $A$ から $B$ への射であるといい、 $f\colon A\to B$ あるいは $A\xrightarrow{f}B$ と表す。

圏に対して、すべての対象の集まりとすべての射の集まりがともに集合となる(すなわち真のクラスとならない)とき、その圏は 小さい圏 あるいは小圏 (small category) という。
また、各対象 $A,B$ に対して射の集まり $\operatorname{Hom}(A,B)$ が集合となるとき、その圏は 局所小圏 (locally small category )であるという。

圏 $\mathcal{A}$ について、 $\mathcal{A}$ の 部分圏 (subcategory) とは圏であって対象の集まりが $\operatorname{Ob}\mathcal{A}$ の部分クラスかつ、各対象 $A,B$ の射の集まりも $\mathcal{A}(A,B)$ の部分クラスになっており、恒等射や射の合成が $\mathcal{A}$ と一致しているものである。
特に、射の集まりが $\mathcal{A}$ のそれと一致している場合、その部分圏を 充満部分圏 (full subcategory) という。

圏 $\mathcal{A}$ の対象 $A,A^\prime$ について、 $gf=\operatorname{id}_A$ かつ $fg=\operatorname{id}_{A^\prime}$ を満たすような射 $f\colon A\to A^\prime$ , $g\colon A^\prime\to A$ が存在するとき、 $A, A^\prime$ は $\mathcal{A}$ において同型 (isomorphic) であるといい、 $f$ および $g$ を 同型射 (isomorphism) という。

圏 $\mathcal{A}$ の対象 $I\in\mathcal{A}$ について、任意の対象 $X\in\mathcal{A}$ に対して唯一つの射 $I\to X$ が存在するとき、 $I$ は $\mathcal{A}$ における 始対象 (initial object) であるという。
他方、対象 $T\in\mathcal{A}$ について、任意の対象 $X$ に対して唯一つの射 $X\to T$ が存在するとき、 $T$ は $\mathcal{A}$ における 終対象 (terminal object) であるという。
特に、始対象かつ終対象な対象を 零対象 (zero object) といい、零対象を持つ圏を 点付き圏 (pointed category) と呼ぶ。
圏 $\mathcal{A}$ の双対圏 $\mathcal{A}^{\textrm{op}}$ とは、 $\mathcal{A}$ と同じ対象を持つ圏であって、各対象 $A,B\in\mathcal{A}$ に対して $\mathcal{A}^{\textrm{op}}(A,B)=\mathcal{A}(B,A)$ となるようなものである。

2つの圏 $\mathcal{A},\mathcal{B}$ に対して、 $\mathcal{A}$ と $\mathcal{B}$ の 直積圏 (product category) $\mathcal{A}\times\mathcal{B}$ とは、直積 $\operatorname{Ob}\mathcal{A}\times\operatorname{Ob}\mathcal{B}$ の各元を対象とし、射 $(A,B)\to(A^\prime,B^\prime)$ を、 $\mathcal{A}$ と $\mathcal{B}$ のそれぞれの射の組 $(A\to A^\prime,B\to B^\prime)$ とする圏である。
他方、 $\mathcal{A}$ と $\mathcal{B}$ の 直和圏 (coproduct category) $\mathcal{A}+\mathcal{B}$ とは、直和 $\operatorname{Ob}\mathcal{A}+\operatorname{Ob}\mathcal{B}$ の各元を対象とし、射 $X\to X^\prime$ は $X,X^\prime$ がともに $\mathcal{A}$ と $\mathcal{B}$ のどちらか一方の圏の対象であるときに限り定まり、射の集まりがちょうど $\mathcal{A}(X,X^\prime)$ あるいは $\mathcal{B}(X,X^\prime)$ のいずれかに等しくなる。

以下は圏の例である。

圏	対象	射	合成
半順序集合 $(X,\leq)$	集合 $X$ の点	順序関係	推移律
集合の圏 $\mathsf{Set}$	集合	写像	写像の合成
点付き集合の圏 $\mathsf{Set}_{\ast}$	基点と集合の組	基点を保つ写像	写像の合成
群の圏 $\mathsf{Grp}$	群	群準同型	写像の合成
Abel群の圏 $\mathsf{Abel}$	Abel群	群準同型	写像の合成
環の圏 $\mathsf{Ring}$	環	環準同型	写像の合成
可換環 $R$ 上の加群の圏 $R\text{-}\mathsf{Mod}$	可換環 $R$ 上の加群	加群準同型	写像の合成
体 $k$ 上の線形空間の圏 $\mathsf{Vect}_k$	体 $k$ 上の線形空間	線形写像	写像の合成
位相空間の圏 $\mathsf{Top}$	位相空間	連続写像	写像の合成
関係の圏 $\mathsf{Rel}$	集合	二項関係	関係の合成
ホモトピー圏 $\mathsf{Ho(Top)}$	位相空間	ホモトピー類	ホモトピーの合成
函手圏 $[\mathcal{C},\mathcal{D}]$	圏 $\mathcal{C}$ から $\mathcal{D}$ への函手	自然変換	自然変換の合成
位相空間 $X$ 上の前層圏 $\mathsf{PSh}(X)$	開集合上の前層	前層の射(自然変換)	自然変換の合成
quasi-pseudometric space $(X,d)$	空間 $X$ の点	拡張正実数 $t\geq d(x,y)$	実数の加法
位相空間 $X$	空間 $X$ の点	道(path)	道の連結

函手と自然変換

函手とは、圏論において、ある圏から別の圏への対応関係を定めるものである。圏論では、数学のさまざまな構造を抽象的に扱うため、異なる圏同士の関係を理解する必要がある。そのため、函手を考えることで、圏の間の対応を体系的に示し、構造を保ちながら対象と射を移すことができる。

Definition. 函手 (Functor)

圏 $\mathcal{A}$ , $\mathcal{B}$ に対して、 $\mathcal{A}$ から $\mathcal{B}$ への 共変函手 (covariant functor) $F\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ とは、以下のデータからなる:

写像 $\operatorname{Ob}{F}\colon\operatorname{Ob}\mathcal{A}\to\operatorname{Ob}\mathcal{B}$ ;
各 $A,A^\prime\in\mathcal{A}$ に対して写像 $F_{A,A^\prime}\colon\mathcal{A}(A,A^\prime)\to\mathcal{B}(FA,FA^\prime)$ ;

これらのデータは以下の2つの公理を満たすものである:

合成を保つ: $\mathcal{A}$ の射の列 $A\xrightarrow{f}A^\prime\xrightarrow{f^\prime}A^{\prime\prime}$ に対して $F(f^\prime\circ f)= F(f^\prime)\circ F(f)$ ;
単位射を保つ: $\mathcal{A}$ の単位射 $\operatorname{Ob}_A$ に対して $F(\operatorname{Ob}_A)=\operatorname{Ob}_{FA}$ ;

また、 $\mathcal{A}^{\textrm{op}}$ から $\mathcal{B}$ への共変函手を 反変函手 (contravariant functor) という。

$\operatorname{Ob}{F}(A)$ を $F(A)$ 、あるいは $FA$ と略す。 $F_{A,A^\prime}(f)$ を $F(f)$ 、あるいは $Ff$ と略す。

対象の間の写像の合成と、射対象の間の写像の合成によって函手の合成が得られる:
$\operatorname{Ob}(GF)\coloneqq\operatorname{Ob}{G}\circ\operatorname{Ob}{F},\quad (GF)_{AA^\prime}\coloneqq G_{FA,FA^\prime}\circ F_{AA^\prime}$
定義から、函手の合成が結合的であることは明らかである。
また、対象の間の恒等写像と射の間の恒等写像からなる恒等函手はこの合成において単位的である。

2つの圏 $\mathcal{A},\mathcal{B}$ に対して、函手の組 $\mathcal{A}\xrightleftarrows[G]{F}\mathcal{B}$ として $GF=\operatorname{Ob}_{\mathcal{A}}$ かつ $FG=\operatorname{Ob}_{\mathcal{B}}$ を満たすものが存在するとき、 $\mathcal{A}$ と $\mathcal{B}$ は 圏同型 (isomorphism of categories) という。

函手 $F\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ について、各 $F_{AA^\prime}\colon\mathcal{A}(A,A^\prime)\to\mathcal{B}(FA,FA^\prime)$ が単射(resp. 全射)であるとき $F$ を 忠実函手 (faithful functor) (resp. 充満函手 (full functor) )という。
特に、充満かつ忠実な函手を 充満忠実 (fully faithful) という。
他方、 $F$ について任意の $b\in\mathcal{B}$ に対して同型 $Fa\cong b$ が成り立つような $a\in\mathcal{A}$ が存在するとき、 $F$ は 本質的全射 (essentially surjective) という。
事実として、本質的全射かつ充満忠実であれば圏同型となる。

自然変換 とは、二つの函手がどのように異なる圏間で一致しているかを示す概念である。函手は圏同士を対応させるものだが、複数の函手が同じ圏から別の圏へ対応する場合、それらの函手がどれほど似ているかを示す方法が必要になる。自然変換は、そのような 違いの具合 を形式的に捉えるために考えられる。

Definition. 自然変換 (Natural Transformation): 函手 $F,G\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ に対して、 $F$ から $G$ への自然変換 (natural transformation from $F$ to $G$ ) $\alpha\colon F\Rightarrow G$ とは、 $\operatorname{Ob}\mathcal{A}$ で添字付けられた $\mathcal{B}$ の射の族 $\left(FA\xrightarrow{\alpha_A}GA\right)_{A\in\mathcal{A}}$ であって, $\mathcal{A}$ の各射 $f\colon A\to A^\prime$ について、等式 $Gf\circ\alpha_A=\alpha_{A^\prime}\circ Ff$ が成り立つ。射 $\alpha_A$ を $\alpha$ の $A$ における成分と呼ぶ。

自然変換の合成として、垂直合成と水平合成の二種類がある。

Definition. 垂直合成 (Vertical Composition): 自然変換の列 $F\xRightarrow{\alpha}F^\prime\xRightarrow{\beta}F^{\prime\prime}\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ に対して、 $\alpha$ と $\beta$ の 垂直合成 (Vertical Composition) $\beta\circ\alpha$ とは、 $A\in\mathcal{A}$ における成分が $\beta_A\circ\alpha_A$ で与えられる自然変換である。
Definition. 水平合成 (Horizontal Composition): 自然変換の列
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に対して、 $\alpha$ と $\beta$ の 水平合成 (Horizontal Composition) とは、 $A\in\mathcal{A}$ における成分が $\beta_{F^\prime A}\circ G\alpha_A=G^\prime\beta_A\circ\alpha_{FA}$ で与えられる自然変換である。

自然変換の垂直合成を合成操作とすることで、函手 $\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ を対象に持ちその間の自然変換を射として圏が構成できる。
これを $\mathcal{A}$ から $\mathcal{B}$ への函手圏 と呼び、 $[\mathcal{A},\mathcal{B}]$ と表す。

$[\mathcal{A},\mathcal{B}]$ における同型を 自然同型 (natural isomorphism) と呼び、函手 $F,G\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ が自然同型なとき、 $A\in\mathcal{A}$ について自然に $FA\cong GA$ である という。
2つの圏 $\mathcal{A},\mathcal{B}$ に対して、函手の組 $\mathcal{A}\xrightleftarrows[G]{F}\mathcal{B}$ と自然同型 $\eta\colon\operatorname{Ob}_{\mathcal{A}}\to GF$ , $\varepsilon\colon FG\to\operatorname{Ob}_{\mathcal{B}}$ が存在するとき、 $\mathcal{A}$ と $\mathcal{B}$ は 圏同値 (equivalence of categories) であるといい、 $\mathcal{A}\simeq\mathcal{B}$ と表す。

圏論における普遍的性質

普遍射

普遍性は、ある特定の状況下において一意に射を定めるような抽象的性質であり、それが特定の構成を特徴づけるようなものをいう。
普遍性の具体例として、前述した直積や直和、等化子や余等化子、核や余核、極限や余極限、引き戻しや押し出しなどがある。

$T\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ を函手とし、 $B$ を $\mathcal{B}$ の対象とする。
$B$ から $T$ への普遍射 (universal morphism from $B$ to $T$ ) とは、対象 $A\in\mathcal{A}$ と射 $\phi\colon B\to T(A)$ の組 $(A,\phi)$ であって、普遍性 (universal property) と呼ばれる以下の条件を満たす:

対象 $A^\prime\in\mathcal{A}$ と射 $\phi^\prime\colon B\to T(A^\prime)$ の組 $(A^\prime,\phi^\prime)$ に対して、仲介射 (mediating morphism) と呼ばれる一意的な射 $m\colon A\to A^\prime$ が存在し $\phi^\prime=T(m)\circ\phi$ と分解される。

他方、 $T$ から $B$ への普遍射 (universal morphism from $T$ to $B$ ) とは、対象 $A\in\mathcal{A}$ と射 $\psi\colon T(A)\to B$ の組 $(A,\psi)$ であって、以下の普遍性を満たす:

対象 $A^\prime\in\mathcal{A}$ と射 $\psi^\prime\colon T(A^\prime)\to B$ の組 $(A^\prime,\psi^\prime)$ に対して、仲介射 $m\colon A^\prime\to A$ が存在し $\psi^\prime=\psi\circ T(m)$ と分解される。

コンマ圏

コンマ圏 (comma category)

2つの函手 $\mathcal{A}\xrightarrow{F}\mathcal{C}\xleftarrow{G}\mathcal{B}$ に対して、以下のようにして定まる圏を コンマ圏 (comma category) といい、 $F/G$ あるいは $F\downarrow G$ と表す。

$\operatorname{Ob}(F/G)\coloneqq\{(A,B,f)\colon f\in\mathcal{C}(FA,GB)\}$ ;
対象 $(A,B,f),(A^\prime,B^\prime,f^\prime)\in\operatorname{Ob}(F/G)$ の間の射 $(A,B,f)\to(A^\prime,B^\prime,f^\prime)$ は、射の組 $(A\xrightarrow{\alpha}A^\prime,B\xrightarrow{\beta}B^\prime)$ の組であって、次の図式が可換となるものである:

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特に、 $A\in\mathcal{A}$ による函手 $\mathcal{A}\xrightarrow{\operatorname{id}_{\mathcal{A}}}\mathcal{A}\xleftarrow{A}\{\ast\}$ のコンマ圏を スライス圏 (slice category) と呼び、 $\mathcal{A}/A$ と表し、函手 $\{\ast\}\xrightarrow{A}\mathcal{A}\xleftarrow{\operatorname{id}_{\mathcal{A}}}\mathcal{A}$ のコンマ圏を コスライス圏 (coslice category) と呼び、 $A/\mathcal{A}$ と表す。

函手の組 $\mathcal{A}\xrightarrow{F}\mathcal{C}\xleftarrow{G}\mathcal{B}$ によるコンマ圏 $F/G$ に対して、以下それぞれが成り立つ:

$\mathcal{A}$ , $\mathcal{B}$ がともに完備かつ、 $G$ が連続函手のとき、 $F/G$ は完備となる。
$\mathcal{A}$ , $\mathcal{B}$ がともに余完備かつ、 $F$ が余連続函手のとき、 $F/G$ は余完備となる。

また、コンマ圏は次のような普遍性を持つ。

Theorem.

函手の組 $\mathcal{A}\xrightarrow{F}\mathcal{C}\xleftarrow{G}\mathcal{B}$ に対して、函手の組 $\mathcal{A}\xleftarrow{P}F/G\xrightarrow{Q}\mathcal{B}$ と自然変換 $\theta\colon FP\implies GQ$ が次のように定まる:

任意の対象 $(A,B,f)\in F/G$ に対して $P(A,B,f)\coloneqq A$ , $Q(A,B,f)\coloneqq B$ , $\theta_{(A,B,f)}\coloneqq f$ ;
任意の射 $\mu=(A\xrightarrow{\alpha}A^\prime,B\xrightarrow{\beta}B^\prime)$ に対して、 $P\mu\coloneqq \alpha$ , $Q\mu\coloneqq \beta$ ;

これらは、以下の普遍性を持つ:

圏 $\mathcal{X}$ と、函手の組 $\mathcal{A}\xleftarrow{P^\prime}\mathcal{X}\xrightarrow{Q^\prime}\mathcal{B}$ 、自然変換 $\theta^\prime\colon FP^\prime\implies GQ^\prime$ に対して、一意的な函手 $M\colon\mathcal{X}\to F/G$ が存在して、 $P^\prime=P\circ M$ , $Q^\prime=Q\circ M$ , $\theta^\prime=\theta_M$ が成り立つ;

モノ、エピ、セクション、リトラクション

射 $f\colon A\to B$ について、すべての対象 $X$ と任意の射 $x,x^\prime\colon X\to A$ に対して $f\circ x=f\circ x^\prime$ ならば $x=x^\prime$ が成り立つとき、 $f$ は単射、あるいは モノ射 (monomorphism) 、モニック射 (monic morphism) であるという。
他方、すべての対象 $Y$ と任意の射 $y,y^\prime\colon B\to Y$ に対して $y\circ f=y^\prime\circ f$ ならば $y=y^\prime$ が成り立つとき、 $f$ は全射、あるいは エピ射 (epimorphism) 、エピック射 (epic morphism) であるという。
特に、モノしかつエピな射を バイ射 (bimorphism) と呼ぶ。

射 $f\colon A\to B$ , $g\colon B\to A$ について、 $g\circ f=\operatorname{id}_A$ を満たすとき、 $g$ は $f$ の左逆 (left inverse) といい、 $f$ は $g$ の右逆 (right inverse) という。
$f$ の左逆射らのことを $f$ の リトラクション (retraction) といい、 $g$ の右逆射らを $g$ の断面 (section) という。

左可逆射(=左逆射を持つ射)はモノ射となるため、左可逆射は 分裂モノ射 (split monomorphism) と呼ばれている。
同様に、右可逆射(=右逆射を持つ射)はエピ射となるため、右可逆射は 分裂エピ射 (split epimorphism) と呼ばれている。
特に、同型射はバイ射となるため、バイ射が同型射となる圏は バランスが取れている 、あるいは単に バランス という。
また、あるフォークのイコライザーになる射はモノ射となるため、このような射は正則モノ射と呼ばれている。
あるフォークのコイコライザーになる射はエピ射となるため、このような射は正則エピ射と呼ばれている。

射 $f\colon A\to B$ について、すべての対象 $X$ と任意の射 $x,x^\prime\colon X\to A$ に対して $f\circ x=f\circ x^\prime$ を満たすとき、 $f$ は 左零射 (left zero morphism) 、あるいは 定値射 (constant morphism) であるという。
他方、すべての対象 $Y$ と任意の射 $y,y^\prime\colon B\to Y$ に対して $y\circ f=y^\prime\circ f$ を満たすとき、 $f$ は 右零射 (right zero morphism) 、あるいは 余定値射 (coconstant morphism) であるという。
特に、左零かつ右零な射を零射 (zero morphism) といい、各射の集まり $\mathcal{A}(A,B)$ が零射を持つような圏を 零射を持つ圏 (category with zero morphisms) という。

対象 $I\in\mathcal{A}$ が 入射的 (injective) であるとは、函手 $\mathcal{A}({-},I)$ が任意のモノ射をエピ射に送るときいう。
他方、 $P\in\mathcal{A}$ が 射影的 (projective) であるとは、函手 $\mathcal{A}(P,{-})$ が任意のエピ射をエピ射に送る(すなわち、函手 $\mathcal{A}(P,{-})$ はエピ射を保つ)

核，余核，像，余像

圏 $\mathcal{A}$ の射 $f\colon A\to B$ の像 (image) とは、対象 $\operatorname{Im}{f}$ とモノ射 $i\colon\operatorname{Im}(f)\to B$ の組 $(\operatorname{Im}(f),i)$ であって、以下の普遍性を満たすものである:

$f=i\circ\overline{f}$ なる射 $\overline{f}\colon A\to\operatorname{Im}(f)$ が存在する;
$f=i^\prime\circ g$ を満たす任意のモノ射 $i^\prime\colon I^\prime\to B$ と射 $g\colon A\to I^\prime$ に対して、一意的な射 $m\colon\operatorname{Im}(f)\to I^\prime$ が存在して $i=i^\prime\circ m$ を満たす。

他方、圏 $\mathcal{A}$ の射 $f\colon A\to B$ の余像 (coimage) とは、対象 $\operatorname{CoIm}{f}$ とエピ射 $s\colon A\to\operatorname{CoIm}{f}$ であって、以下の普遍性を満たすものである:

$f=\underline{f}\circ s$ なる射 $\underline{f}\colon\operatorname{CoIm}{f}\to B$ が存在する;
$f=g\circ s^\prime$ を満たす任意のエピ射 $s^\prime\colon A\to S^\prime$ と射 $g\colon S^\prime\to B$ に対して、一意的な射 $m\colon S^\prime\to\operatorname{CoIm}{f}$ が存在して $s=m\circ s^\prime$ を満たす。

零射を持つ圏 $\mathcal{A}$ の射 $f\colon A\to A^\prime$ の核 (kernel) とは、対象 $\ker{f}$ と射の $k\colon\ker{f}\to A$ の組 $(\ker{f},k)$ であって、以下の普遍性を満たすものである:

$f\circ k\colon \ker{f}\to A^\prime$ は零射となる;
対象 $K^\prime$ と射の $k^\prime\colon K^\prime\to A$ の組 $(K^\prime,k^\prime)$ であって、 $f\circ k^\prime$ が零射となるものを任意にとったとき、一意的な射 $u\colon K^\prime\to\ker{f}$ が存在して $k^\prime=k\circ u$ と分解できる;

他方、零射を持つ圏 $\mathcal{A}$ の射 $f\colon A\to A^\prime$ の余核 (cokernel) とは、対象 $\operatorname{coker}{f}$ と射の $q\colon A^\prime\to\operatorname{coker}{f}$ の組 $(\operatorname{coker}{f},q)$ であって、以下の普遍性を満たすものである:

$q\circ f\colon A\to\operatorname{coker}{f}$ は零射となる;
対象 $Q^\prime$ と射の $q^\prime\colon A^\prime\to Q^\prime$ の組 $(Q^\prime,q^\prime)$ であって、 $q^\prime\circ f$ が零射となるものを任意にとったとき、一意的な射 $u\colon\operatorname{coker}{f}\to Q^\prime$ が存在して $q^\prime=u\circ q$ と分解できる;

随伴

随伴 (adjunction) とは、二つの圏の間で互いに対応する函手の特別な関係を示す概念である。随伴とは、ある圏から別の圏への一対の函手が、最も自然な方法 で対応し合う関係を持つことを意味する。この関係は多くの数学的構造や変換に現れ、特に構造が最適に相互変換される場合に現れる。

随伴関係にある函手は、通常 左随伴函手 と 右随伴函手 のペアで表される。この関係は、左随伴函手が一種の生成や 自由な構成 を行い、右随伴函手が制約や評価を行うという役割分担を持つことが多い。例えば、群論における自由群構成は左随伴函手の典型例で、集合を群にする 自由な 方法を提供し、これに対して右随伴函手はその群の基礎集合を取り出す役割を果たす。

随伴を考えることで、数学的な構造や変換がどのように対応し合い、またどのように 最適な 関係を持つかを理解することができる。随伴関係は、圏論の中で 最適な対応 を示す枠組みとして非常に強力であり、多様な数学の場面で現れる基本的な概念である。

函手の組 $\mathcal{A}\xrightleftarrows[G]{F}\mathcal{B}$ の随伴 (adjunction) とは、以下の同値な定義によって与えられる:

Hom同型射による定義: 自然同型 $\Phi\colon\mathcal{B}(F({-}),{-})\to\mathcal{A}({-},G({-}))$ のこと;
余単位--単位による定義: 自然変換 $\eta\colon\operatorname{id}_{\mathcal{A}}\to GF$ , $\varepsilon\colon FG\to\operatorname{id}_{\mathcal{B}}$ であって、以下の図式が可換となる:
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$\eta$ , $\varepsilon$ はこの随伴の単位 (unit) , 余単位 (counit) と呼ぶ。

このとき、 $F\dashv G$ と表し、 $F$ は $G$ の 左随伴 (left adjoint) 、あるいは $G$ は $F$ の 右随伴 (right adjoint) と呼ぶ。

随伴における余単位--単位の三角図式から、函手 $F\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ に対して、以下同値となる:

$F$ が左随伴を持つ。
各 $B\in\mathcal{B}$ に対して $B$ から $F$ への普遍射が存在する。

随伴函手の代表的な例として、自由函手 (free functor) と 忘却函手 (forgetful functor) が挙げられる。自由函手は、ある構造を持たない対象に対して最も 自由な 構造を与える函手であり、その構造は必要最小限の制約を満たしつつ追加される。たとえば、集合に群構造を与える自由群函手がこの典型例である。一方、忘却函手は、対象の持つ構造の一部を 忘れる 操作を行い、より単純な構造を持つ圏へ対象を写す函手である。例えば、群の圏 $\mathsf{Grp}$ から集合の圏 $\mathsf{Set}$ への忘却函手は、群をその台集合へと移す操作を意味する。
自由函手と忘却函手の間に存在する随伴関係は、最も自然な 方法で構造を与えたり、取り除いたりする手法を提供する。この関係性を理解するために、いくつかの具体例を挙げる。

アーベル化: アーベル群の圏 $\mathsf{Ab}$ から群の圏 $\mathsf{Grp}$ への忘却函手は、可換性という構造を忘れる操作である。この函手の左随伴は 群のアーベル化 と呼ばれる。群 $G$ に対して、その交換子部分群 $[G, G]$ により商を取ることで得られるアーベル群 $G^{\mathrm{ab}} = G/[G, G]$ が対応する。アーベル化は、群の基本的な性質を維持しつつ可換性を強制するため、代数的トポロジーやホモロジー代数で広く用いられている。
Grothendieck構成: アーベル群の圏 $\mathsf{Ab}$ から可換モノイドの圏 $\mathsf{CMon}$ への忘却函手は、アーベル群から逆元の存在という性質を忘れる。この函手の左随伴は Grothendieck構成 と呼ばれ、可換モノイド $M$ に対してそのGrothendieck群 $K(M)$ を対応させる。 $K(M)$ は $M$ を埋め込む最小のアーベル群として構成されるものであり、半環や可換モノイドの圏での研究に応用されている。
環の構成: 環の圏 $\mathsf{Ring}$ から集合の圏 $\mathsf{Set}$ への忘却函手は、環の構造を忘れてその台集合を得る操作である。この函手の左随伴は、集合 $X$ に対してその各元を変数とする $\mathbb{Z}$ 係数の多項式環 $\mathbb{Z}[X]$ を対応させる。これは、形式的な演算を導入することで集合に代数的構造を与える典型例であり、代数幾何や数論において基本的な道具立てを提供するものである。
距離空間の完備化: 完備距離空間の圏 $\mathsf{CMet}$ から一般距離空間の圏 $\mathsf{Met}$ への忘却函手は、空間が持つ完備性という性質を忘れる操作である。この函手の左随伴は 距離空間の完備化 と呼ばれ、距離空間 $(X, d)$ をその完備空間への埋め込み $(\widehat{X}, \hat{d})$ に対応させる。例えば、実数 $\mathbb{R}$ は有理数 $\mathbb{Q}$ の完備化として得られるため、この構造は解析学の基礎において重要な役割を果たす。
Stone-Čechのコンパクト化: コンパクトハウスドルフ空間の圏 $\mathsf{CHaus}$ から位相空間の圏 $\mathsf{Top}$ への忘却函手は、空間が持つコンパクト性やハウスドルフ性を忘れる操作である。この函手の左随伴は Stone-Čechのコンパクト化 と呼ばれ、位相空間 $X$ をその普遍的なコンパクトハウスドルフ空間 $\beta X$ に対応させる。この構成は、位相空間論や関数解析における重要なツールとして広く知られている。

表現可能函手と米田の補題

$\mathcal{C}$ を局所小圏とする。
$\mathcal{C}$ 上の集合値共変函手(resp. 集合値反変函手) $F$ の
$F$ の表現 (representation of $F$ ) とは、対象 $X\in\mathcal{C}$ と自然同型 $\theta\colon F\to\mathcal{C}(X,{-})$ (resp. $\theta\colon F\to\mathcal{C}({-},X)$ )の組 $(X,\theta)$ である。
函手 $F$ の表現 $(X,\theta)$ が存在するとき、函手 $F$ を 表現可能函手 (representable functor) といい、 $X$ を $F$ の表現対象 (representing object for $F$ ) という。
函手の表現が存在するとき、次に述べる 米田の補題 によりその表現対象は一意的である。
Theorem. 米田の補題 (Yoneda lemma)
: $\mathcal{A}$ を局所小圏とする。
任意の函手 $X\colon\mathcal{A}^{\textrm{op}}\to\mathsf{Set}$ と対象 $A\in\mathcal{A}$ に対して
次の同型が存在する:
$[\mathcal{A}^{\textrm{op}},\mathsf{Set}](\mathcal{A}({-},A),X)\cong XA$
さらに、この同型は $X$ と $A$ について自然である。

$\mathcal{A}$ を局所小圏とし、 $\mathcal{y}_{\mathcal{A}}\colon\mathcal{A}\to[\mathcal{A}^{\textrm{op}},\mathsf{Set}]$ を $\mathcal{y}_{\mathcal{A}}A=\mathcal{A}({-},A)$ で定まる函手とすると、次の系が成り立つ。

Corollary.: $\mathcal{y}_{\mathcal{A}}\colon\mathcal{A}\to[\mathcal{A}^{\textrm{op}},\mathsf{Set}]$ は充満忠実な函手である。

また、前層 $X$ の表現は前層の普遍元と等しい。

Definition.

前層 $X\colon\mathcal{A}^{\textrm{op}}\to\mathsf{Set}$ に対して、 $A\in\mathcal{A}$ と $u\in X(A)$ の組 $(A,u)$ を $X$ の元という。
$X$ の元のうち、以下の普遍性を満たすものを $X$ の普遍元という。

普遍元の普遍性: $X$ の普遍元 $(A,u)$ とは、任意の $X$ の元 $(B,x)$ に対して $(X\overline{x})(u)=x$ を満たすような $\mathcal{A}$ の射 $\overline{x}\colon B\to A$ が存在するときいう。

また、左随伴を持つような集合値函手は表現可能である。

Theorem.: $F\colon\mathcal{A}\to\mathsf{Set}$ が左随伴を持つとき、 $F$ は表現可能である。

エンドとコエンド

函手 $F\colon\mathcal{C}^{\textrm{op}}\times\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ と $d\in\mathcal{D}$ に対して、 $d$ における $F$ の楔 (wedge from $d$ to $S$ ) とは、以下の図式が可換となるような $c\in\mathcal{C}$ で添字付けられた $\mathcal{D}$ の射 $\alpha_c\colon d\to F(c,c)$ の族のことである:

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函手 $F\colon\mathcal{C}^{\textrm{op}}\times\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ と $d\in\mathcal{D}$ に対して、 $\alpha$ を $d$ における $F$ の楔として普遍的なものを $F$ のエンド (end) と呼ぶ。
すなわち、任意の楔( $\beta_c\colon d^\prime\to F(c,c))$ に対して、一意的な射 $\pi_\beta\colon d\to d^\prime$ が存在して、 $\alpha_c=\beta_C\circ\pi_\beta$ が成り立つときいう。

楔の双対概念を余楔 (coslash) と呼び、エンドの双対概念を コエンド (coend) と呼ぶ。

$F$ のエンド、コエンドを $\int_{c\in\mathcal{C}}F(c,c)$ 、 $\int^{c\in\mathcal{C}}F(c,c)$ と表す。

Theorem.: $\mathcal{A},\mathcal{B}$ を小圏とする。
このとき、任意の函手 $F,G\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ に対して、以下の同型が成り立つ:
$[\mathcal{A},\mathcal{B}](F,G)\cong\int_{A\in\mathcal{A}}\mathcal{B}(FA,GA)$

解析学における二重積分の逐次計算に関する定理としてFubiniの定理があるが、エンドに対してもその圏論的類似が成り立つ。

Theorem. Fubini の定理 (Fubini's theorem): $\mathcal{A},\mathcal{B}$ を小圏とし、 $T\colon(\mathcal{A}\times\mathcal{B})^{\textrm{op}}\times(\mathcal{A}\times\mathcal{B})\to\mathsf{Set}$ を函手とする。
任意の $B,B^\prime\in\mathcal{B}$ に対しエンド $\int_{A\in\mathcal{A}}T(A,B,A,B^\prime)$ が存在するとき、対の同型のいずれか片側が存在するときに限り成り立つ:
$\int_{(A,B)\in\mathcal{A}\times\mathcal{B}}T(A,B,A,B)\cong\int_{B\in\mathcal{B}}\int_{A\in\mathcal{A}}T(A,B,A,B)$

極限、余極限

具体的な極限の例

Definition. 3.2. 積

$\mathcal{A}$ を圏、 $\Lambda$ を集合、 $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を $\mathcal{A}$ の対象の族とする。
$(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ の積 (product) とは、 $\mathcal{A}$ の対象 $\prod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda$ と射影と呼ばれる射 $\pi_\lambda\colon\prod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\to A_\lambda$ の族 $\pi=(\pi_{\lambda})$ の組 $(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda,\pi)$ であって、以下の普遍性を満たすものである:

積の普遍性: $\mathcal{A}$ の対象 $P$ と射 $\theta_\lambda\colon P\to A_\lambda$ の族 $(\theta_\lambda)$ に対して、一意的な射 $\overline{\theta}\colon P\to\prod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda$ が存在して、 $\theta_\lambda=\overline{\theta}\circ\pi_\lambda$ と分解される。

このとき、 $\theta_\lambda$ を $\overline{\theta}$ の $\lambda$ -成分といい、 $\overline{\theta}$ を $(\theta_\lambda)$ と書くこととする。

特に、 $\Lambda$ が有限集合 $\{1,2,\ldots,N\}$ であるとき、 $N$ -項積 ( $N$ -ary product) とよばれ $\prod_{j=1}^{N}A_j$ あるいは $A_1\times\ldots\times A_N$ と表される。

$\mathcal{A}^{\textrm{op}}$ における積を、 $\mathcal{A}$ における余積 (coproduct) といい、 $\coprod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda$ で表す。

任意の有限個の対象の積が存在するような圏を カルテシアン圏 (cartesian category) という。特に、カルテシアン圏 $\mathcal{C}$ であって各対象 $A\in\mathcal{C}$ に対して函手 ${-}\times A\colon\mathcal{C}\to\mathcal{C}$ が右随伴 $[A,{-}]\colon\mathcal{C}\to\mathcal{C}$ を持つような圏を カルテシアン閉圏 (cartesian closed category) という。

Definition. 3.3. 等化子

圏 $\mathcal{A}$ における図式 $A\underset{t}{\overset{s}{\rightrightarrows}}B$ に対して、図式 $Z\xrightarrow{\theta}A\underset{t}{\overset{s}{\rightrightarrows}}B$ が $s\theta=t\theta$ を満たすとき フォーク (folk) と呼ぶ。
図式 $A\underset{t}{\overset{s}{\rightrightarrows}}B$ の 等化子 (equalizer) とは、フォーク $Z\xrightarrow{\text{eq}}A\underset{t}{\overset{s}{\rightrightarrows}}B$ であって、以下の普遍性を満たすものである:

フォークの普遍性: 任意のフォーク $Z\xrightarrow{\theta}A\underset{t}{\overset{s}{\rightrightarrows}}B$ に対して、一意的な射 $\overline{\theta}\colon Z\to E$ が存在して、 $\theta=\textup{eq}\circ\overline{\theta}$ と分解される。

$\mathcal{A}^{\textrm{op}}$ における等化子を、 $\mathcal{A}$ における 余等化子 (coequalizer) と呼ぶ。

Definition. 引き戻し

圏 $\mathcal{A}$ における図式 $A\xrightarrow{s}C\xleftarrow{t}B$ の 引き戻し (pullback) 、あるいは ファイバー積 (fibered product) とは、圏 $\mathcal{A}$ における可換図式

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であって、以下の普遍性を満たすものである:

引き戻しの普遍性: 任意の可換図式
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に対して、一意的な射 $\theta\colon Z\to P$ が存在して、 $\theta_j=\pi_j\circ\theta$ ( $j=1,2$ )と分解される。

$\mathcal{A}^{\textrm{op}}$ における引き戻しを、 $\mathcal{A}$ における 押し出し (pushout) 、あるいは ファイバー余積 (fibered coproduct) という。

集合の圏の場合

$\mathcal{A}=\mathsf{Set}$ における積および余積は、集合の直積および直和である。すなわち次のように計算できる:
$\prod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda=\{(a_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\colon a_\lambda\in A_\lambda,\forall\lambda\in\Lambda\} ,\quad \coprod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda=\{(\lambda,a_\lambda)\colon\lambda\in\Lambda,a_\lambda\in A_\lambda\}$

また、図式 $A\underset{t}{\overset{s}{\rightrightarrows}}B$ の等化子は、 $A$ の部分集合 $\{a\in A\colon s(a)=t(a)\}$ と包含写像 $E\hookrightarrow A$ の組であり、他方、図式 $A\underset{t}{\overset{s}{\rightrightarrows}}B$ の余等化子は、条件 $\forall a\in A,s(a)\simeq t(a)$ で生成される $B$ 上の同値関係 $\simeq$ による商集合 $B/\simeq$ と商写像 $B\twoheadrightarrow B/\simeq$ の組である。
さらに、図式 $A\xrightarrow{s}C\xleftarrow{t}B$ の引き戻しは $、A\times B$ の部分集合 $P=\{(a,b)\colon s(a)=t(b)\}$ と各成分への射影 $P\ni (a,b)\mapsto a\in A$ , $E\ni (a,b)\mapsto b\in B$ の組であり、他方、図式 $A\xleftarrow{s}C\xrightarrow{t}B$ 押し出しは条件 $\forall c\in C,s(c)\simeq t(c)$ で生成される $A\sqcup B$ 上の同値関係 $\simeq$ による商集合 $A\sqcup B/\simeq$ と商写像 $A\sqcup B\twoheadrightarrow A\sqcup B/\simeq$ と直和への射影 $A\to A\sqcup B$ , $B\to A\sqcup B$ の合成射の組である。

極限の定義

函手 $D\colon\mathbf{I}\to\mathcal{A}$ を $\mathbf{I}$ 型図式 (diagram of shape $\mathbf{I}$ ) と呼び、 $\mathbf{I}$ を 添字圏 (index category) と呼ぶ。
$\mathbf{I}$ 上の図式 $D$ に対して、 $D$ への錐 (corn) とは、対象 $A\in\mathcal{A}$ と $J\in\mathbf{I}$ で添字付けられた $\mathcal{A}$ の射 $A\xrightarrow{\phi_J}D(J)$ の族 $\phi=(\phi_J\colon J\in\mathbf{I})$ の組 $(A,\phi)$ であって、 $\mathbf{I}$ の各射 $t\colon J\to J^\prime$ に対して以下の図式が可換となる:

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$D$ の錐のうち普遍性を満たすものを $D$ の極限 (limit) といい、 $\lim{D}$ あるいは $\varprojlim{D}$ と表す。
すなわち、 $\lim{D}$ とは $D$ の錐 $(L,\lambda)$ であって、任意の $D$ の錐 $(A,\phi)$ に対して、一意的な射 $u\colon A\to L$ が存在して各 $\phi_J$ が $\phi_J=\lambda_J\circ u$ と分解できる。

他方、 $\mathbf{I}$ 上の図式 $D$ に対して、 $D$ からの余錐 (cocorn) とは、対象 $A\in\mathcal{A}$ と $J\in\mathbf{I}$ で添字付けられた $\mathcal{A}$ の射 $D(J)\xrightarrow{\phi_J}A$ の族 $\phi$ の組 $(A,\phi)$ であって、 $\mathbf{I}$ の各射 $t\colon J\to J^\prime$ に対して以下の図式が可換となる:

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$D$ の余錐のうち普遍性を満たすものを $D$ の余極限 (colimit) といい、 $\operatorname*{colim}{D}$ あるいは $\varinjlim{D}$ と表す。
すなわち、 $\operatorname*{colim}{D}$ とは $D$ の余錐 $(L,\lambda)$ であって、任意の $D$ の余錐 $(A,\phi)$ に対して、一意的な射 $u\colon L\to A$ が存在して各 $\phi_J$ が $\phi_J=u\circ\lambda_J$ と分解できる。

$D\colon\mathbf{I}\to\mathcal{A}$ の余極限は、 $D^{\textrm{op}}$ の極限という意味で双対になっている。

圏 $\mathcal{A}$ と小圏 $\mathbf{I}$ に対して、 $\mathcal{A}$ における任意の $\mathbf{I}$ 型図式が極限を持つとき、 $\mathcal{A}$ は $\mathbf{I}$ 型極限を持つという。

Theorem.: 小圏 $\mathbf{I},\mathbf{J}$ に対して、局所小圏 $\mathcal{C}$ が $\mathbf{I}$ 型および $\mathbf{J}$ 型極限を持つとき、任意の函手 $D\colon\mathbf{I}\times\mathbf{J}\to\mathcal{C}$ に対して同型 $\lim_{\mathbf{I}}\lim_{\mathbf{J}}D\cong\lim_{\mathbf{I}\times\mathbf{J}}D\cong\lim_{\mathbf{J}}\lim_{\mathbf{I}}D$ が成り立つ。
特に、 $\mathcal{C}$ は $\mathbf{I}\times\mathbf{J}$ 型極限を持つ。

任意の小圏 $\mathbf{I}$ と $\mathbf{I}$ 型極限(resp. 余極限)を持つ圏を、完備 (complete) (resp. 余完備 (cocomplete) )という。
また、任意の有限圏 $\mathbf{I}$ と $\mathbf{I}$ 型極限(resp. 余極限)を持つ圏を、有限完備 (finite complete) (resp. 余有限完備 (finite cocomplete) )という。

Theorem.

圏 $\mathcal{C}$ に対して、次がそれぞれ成り立つ:

$\mathcal{C}$ が任意の積とイコライザを持つならば、 $\mathcal{C}$ は完備である。
$\mathcal{C}$ が二項積と終対象とイコライザを持つならば、 $\mathcal{C}$ は有限完備である。

函手 $F\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ が $\mathbf{I}$ 上連続 (continuous of shape $\mathbf{I}$ ) であるとは、任意の図式 $D\colon\mathbf{I}\to\mathcal{A}$ に対して、極限の普遍性から導かれる自然な射 $F(\lim{D})\to\lim(F\circ D)$ が同型となるときいう。
また、任意の小圏上で連続な函手を 連続函手 (continuous functor) という。
双対的に、 $\mathbf{I}$ 上連続 (cocontinuous of shape $\mathbf{I}$ ) と 余連続函手 (cocontinuous functor) が定義される。

Theorem. 表現可能函手は極限を保存する

局所小圏 $\mathcal{A}$ と $A\in\mathcal{A}$ に対して、函手 $\mathcal{A}(A,-)\colon\mathcal{A}\to\mathsf{Set}$ は連続である。

Theorem. 随伴は極限および余極限を保つ

函手の組 $\mathcal{A}\xrightleftarrows[G]{F}\mathcal{B}$ が随伴 $F\dashv G$ であるとき、 $F$ は余連続、 $G$ は連続である。

Theorem. 一般随伴関手定理

$\mathcal{C}$ が局所小かつ完備な圏であるとき、函手 $F\colon\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ が左随伴を持つ必要十分条件は、 $F$ が連続函手であって以下の条件を満たすことである。

開集合条件: 各対象 $D\in\mathcal{D}$ に対して、ある集合 $I$ とそれを添字とする射の族 $(f_i\colon D\to F(C_i))_{i\in I}$ が存在して、すべての射 $h\colon D\to GC$ はある $i\in I$ , $t\colon C_i\to C$ により $h=Gt\circ f_i$ と分解される。

重み付き極限の定義

極限および余極限は、対角函手 $\Delta$ により特徴付けることができる。ここで、対角函手
$\Delta\colon\mathcal{C}\to[\mathbf{I},\mathcal{C}]$
とは、次のように構成される函手である:

$\mathcal{C}$ $C$ の対象 $X$ $X$ に対して、函手 $\Delta(X)\colon\mathbf{I}\to\mathcal{C}$ $Δ (X) : I \to C$ は常に $X$ $X$ の値をとる定値函手である:
- $\mathbf{I}$ の対象 $A$ に対して、 $\Delta(X)(A)\coloneqq X$ ,
- $\mathbf{I}$ の射 $f\colon A\to B$ に対して、 $\Delta(X)(f)\coloneqq\operatorname{id}_X$ .
$\mathcal{C}$ の射 $p\colon X\to Y$ に対して、自然変換 $\Delta(p)\colon\Delta(X)\implies\Delta(Y)$ は、 $\mathbf{I}$ の対象 $A$ に対して、 $\Delta(p)_A\coloneqq p$ である。

対角函手により、極限と余極限の定義は次の形に言い直すことができる:

$F\colon\mathbf{I}\to\mathcal{C}$ の極限は $\Delta$ から $F$ への普遍射のことである。
$F\colon\mathbf{I}\to\mathcal{C}$ の余極限は $F$ から $\Delta$ への普遍射のことである。

この特徴付けにより、極限をより一般化することができる。

図式 $F\colon\mathbf{I}\to\mathcal{C}$ の極限 $\lim{F}$ は同型
$\mathcal{C}(-,\lim{F}) \cong\lim\mathcal{C}(-,F) \cong\mathsf{Set}(\operatorname{pt},\lim\mathcal{C}(-,F)) \cong[\mathbf{I},\mathsf{Set}](\Delta\operatorname{pt},\mathcal{C}(-,F))$
により、函手 $[\mathbf{I},\mathsf{Set}](\Delta\operatorname{pt},\mathcal{C}(-,F))$ の表現として特徴付けれるため、 $\Delta\operatorname{pt}\colon\mathbf{I}\to\mathsf{Set}$ を一般の函手 $W\colon\mathbf{I}\to\mathsf{Set}$ とすることで、極限の定義を一般化することができる。

Definition.: 函手 $W\colon\mathbf{I}\to\mathsf{Set}$ , $F\colon\mathbf{I}\to\mathcal{C}$ に対して、各 $a\in\mathcal{C}$ で函手
$[\mathbf{I},\mathsf{Set}](W,\mathcal{C}(a,T{-}))\colon\mathcal{C}\to\mathsf{Set}$
が表現可能なとき、これを表現する対象を $W$ に関する $F$ 上の重み付き極限 (weighted limit over a functor $F$ with respect to a weight $W$ ) といい、 $\operatorname{lim}^WF$ と表す。
すなわち、 $a\in\mathcal{C}$ について次の自然な同型が存在する:
$[\mathbf{I},\mathsf{Set}](W,\mathcal{C}(a,T{-}))\cong\mathcal{C}(a,\operatorname{lim}^WF)$

他方、余極限についても同様の操作により重み付き余極限の定義を得ることができる。

図式 $F\colon\mathbf{I}\to\mathcal{C}$ の余極限 $\operatorname*{colim}{F}$ は同型
$\mathcal{C}(\operatorname*{colim}{F},{-}) \cong\lim\mathcal{C}(F,{-}) \cong\mathsf{Set}(\operatorname{pt},\lim\mathcal{C}(F,{-})) \cong[\mathbf{I},\mathsf{Set}](\Delta\operatorname{pt},\mathcal{C}(F,{-}))$
により、函手 $[\mathbf{I},\mathsf{Set}](\Delta\operatorname{pt},\mathcal{C}(F,{-}))$ の表現として特徴付けれるため、 $\Delta\operatorname{pt}\colon\mathbf{I}\to\mathsf{Set}$ を一般の函手 $W\colon\mathbf{I}\to\mathsf{Set}$ とすることで、余極限の定義を一般化することができる。

Definition.: 函手 $W\colon\mathbf{I}^{\textrm{op}}\to\mathsf{Set}$ , $F\colon\mathbf{I}\to\mathcal{C}$ に対して、各 $a\in\mathcal{C}$ で函手
$[\mathbf{I}^{\textrm{op}},\mathsf{Set}](W,\mathcal{C}(T{-},a))\colon\mathcal{C}^{\textrm{op}}\to\mathsf{Set}$
が表現可能なとき、これを表現する対象を $W$ に関する $F$ 上の重み付き余極限 (weighted colimit over a functor $F$ with respect to a weight $W$ ) といい、 $\operatorname{colim}^WF$ と表す。
すなわち、 $a\in\mathcal{C}$ について次の自然な同型が存在する:
$[\mathbf{I}^{\textrm{op}},\mathsf{Set}](W,\mathcal{C}(T{-},a))\cong\mathcal{C}(\operatorname{colim}^WF,a)$

エンドおよびコエンドは、重み付き極限および重み付き余極限により表現することができる。

Theorem.: $F\colon\mathcal{C}^{\textrm{op}}\times\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ について次の自然な同型が存在する:
$\int_{C}F(C,C)\cong\operatorname{lim}^{\operatorname{Hom}_\mathcal{C}}F ,\quad \int^{C}F(C,C)\cong\operatorname{colim}^{\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}^{\textrm{op}}}}F$

Kan拡張

Kan拡張 (Kan extension) は、圏論における一般的な拡張の概念で、函手をある圏から別の圏へ 最も自然な方法 で延長するための枠組みである。Kan拡張を考えることで、ある圏から他の圏へ写す函手が、どのようにして元の圏の情報を保持しつつ、より大きな圏に広がるかを捉えることができる。
Kan拡張は、ある範囲で定義された構造をどのように拡張できるか という問題を解決するための道具でもある。数学では、元の対象や構造を保ちながら新たな設定に適応させたい場面が多く、このときKan拡張を用いることで 最適な拡張 や 普遍的な拡張 を実現できる。Kan拡張には 左Kan拡張 と 右Kan拡張 があり、それぞれ異なる性質を持つが、いずれも圏論的な 最も自然な拡張 を提供するものとなっている。

函手 $\mathcal{D}\xleftarrow{F}\mathcal{C}\xrightarrow{E}\mathcal{U}$ に対して、 $F$ に沿った $E$ の左Kan拡張 (left Kan extension) とは、函手 $K\colon\mathcal{D}\to\mathcal{U}$ と自然変換 $\eta\colon E\implies K\circ F$ の組 $(K,\eta)$ であって、以下の普遍性を満たすものである:

函手 $S\colon\mathcal{D}\to\mathcal{U}$ と自然変換 $\theta\colon E\implies S\circ F$ の組 $(S,\theta)$ に対して、一意的な自然変換 $\tau\colon K\implies S$ が存在して $\theta = \tau_F\circ\eta$ を満たす。即ち次の等式が成り立つ。
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他方、 $F$ に沿った $E$ の右Kan拡張 (right Kan extension) とは、函手 $K\colon\mathcal{D}\to\mathcal{U}$ と自然変換 $\varepsilon\colon K\circ F\implies E$ の組 $(K,\eta)$ であって、以下の普遍性を満たすものである:

函手 $S\colon\mathcal{D}\to\mathcal{U}$ と自然変換 $\theta\colon S\circ F\implies E$ の組 $(S,\theta)$ に対して、一意的な自然変換 $\tau\colon S\implies K$ が存在して $\theta =\varepsilon\circ\tau_F$ を満たす。

$F$ に沿った $E$ の左Kan拡張により得られる函手を $F^\dagger E$ 、あるいは $\operatorname{Lan}_FE$ と表し、 $F$ に沿った $E$ の右Kan拡張により得られる函手を $F^\ddagger E$ 、あるいは $\operatorname{Ran}_FE$ と表す。

函手 $F\colon\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ により誘導される函手 ${-}\circ F\colon[\mathcal{D},\mathcal{U}]\to[\mathcal{C},\mathcal{U}]$ と普遍射の定義から、 $F$ に沿った $E$ の左Kan拡張は $E\in[\mathcal{C},\mathcal{U}]$ から ${-}\circ F$ への普遍射のことである。
また、 $F$ に沿った $E$ の右Kan拡張は ${-}\circ F$ から $E$ への普遍射のことである。

函手 $\mathcal{D}\xleftarrow{F}\mathcal{C}\xrightarrow{E}\mathcal{U}$ について、 $\mathcal{C}$ が小圏でかつ $\mathcal{U}$ が余完備なとき、 $F$ に沿った $E$ の左Kan拡張 $F^\dagger E$ は各点 $d\in\mathcal{D}$ ごとに以下のように計算できる:
$(F^\dagger E)(d)\cong\operatorname*{colim}_{Fx\to d\in(F/d)}E(x)\cong\operatorname{colim}^{\mathcal{D}(F{-},d)}E$
このように、Kan拡張が点ごとに計算できることを各点 Kan 拡張という。
双対として、 $F$ に沿った $E$ の各点右Kan拡張は次のように計算できる:
$(F^\ddagger E)(d)\cong\lim_{d\to Fx\in(d/F)}E(x)\cong\operatorname{lim}^{\mathcal{D}(d,F{-})}E$

power objectおよびcopower objectの概念を用いれば、各点Kan拡張はエンド、コエンドで表現できる。

$\mathcal{C}$ を局所小圏とし、 $a\in\mathcal{C}$ と $x\in\mathsf{Set}$ について、 $x$ から $\mathcal{C}(a,{-})$ への普遍射を $x\to\mathcal{C}(a,a^\prime)$ としたとき $a^\prime$ を $a,x$ の 余冪対象 (copower object) といい $x\odot a$ で表す。
他方、 $x$ から $\mathcal{C}({-},a)$ への普遍射を $x\to\mathcal{C}(a^\prime,a)$ としたとき $a^\prime$ を $a,x$ の 冪対象 (power object) といい、 $x\oslash a$ で表す。
すなわち、普遍射の性質より以下の同型が成り立つ:
$\mathcal{C}(x\odot a,b)\cong\mathsf{Set}(x,\mathcal{C}(a,b)),\quad \mathcal{C}(b,x\oslash a)\cong\mathsf{Set}(x,\mathcal{C}(b,a))$
このとき、函手 $\mathcal{D}\xleftarrow{F}\mathcal{C}\xrightarrow{E}\mathcal{C}$ に対して
それぞれのKan拡張が存在するときに限り次の同型が成り立つ:
$F^\dagger E = \int^{c\in\mathcal{C}}\mathcal{D}(Fc,{-})\odot Ec,\quad F^\ddagger E = \int_{c\in\mathcal{C}}\mathcal{D}({-},Fc)\oslash Ec$

特に、 $\mathcal{C}=\mathsf{Set}$ のとき $x\odot a=x\times a$ かつ $x\oslash a=\mathsf{Set}(x,a)$ となる。

函手 $F\colon\mathcal{C}^{\textrm{op}}\to\mathsf{Set}$ に対して $F$ と $F$ の $\operatorname{id}_{\mathcal{C}}$ にそった右Kan拡張 $\operatorname{id}_{\mathcal{C}}^\ddagger F$ が同型 $F\cong\operatorname{id}_{\mathcal{C}}^\ddagger F$ であることを用いて米田の補題が証明できるが、 $F$ の $\operatorname{id}_{\mathcal{C}}$ にそった左Kan拡張 $\operatorname{id}_{\mathcal{C}}^\dagger F$ も $F$ と同型であることを用いると、次の 余米田の補題 が得られる。

Theorem. 余米田の補題 (co-Yoneda lemma): 函手 $F\colon\mathcal{C}^{\textrm{op}}\to\mathsf{Set}$ に対して自然同型 $F\cong \int^{a\in\mathcal{C}}\mathcal{y}_{\mathcal{C}}(a)\times Fa$ が存在する。