速習モノイダル基底上の豊穣圏論

はじめに

豊穣圏（enriched category）は、通常の圏論を一般化し、対象間の射の集合を、別のモノイダル圏の対象に置き換えて扱う理論である。標準的な圏では、対象 $a,b$ の間の射は集合 $\mathcal{A}(a,b)$ だが、豊穣圏ではこれを「射対象」$\mathcal{A}(a,b)$ と呼ばれる基底圏の対象に置き換える。射の合成は集合上の写像ではなく
$\mathcal{A}(b,c)\otimes\mathcal{A}(a,b)\to\mathcal{A}(a,c)$
という基底圏の射になる。

このような状況で豊穣圏の枠組みを用いると、射を単なる集合でなく、ベクトル空間、半順序集合、距離に関する順序などの構造を持つ対象として捉えることができる。たとえば $\mathsf{Vect}_k$ 上の豊穣圏では、射対象がベクトル空間であり、射の合成は双線形写像になる。$\mathsf{Set}$ を基底に選べば、通常の圏論がそのまま回復する。

また、半順序集合をモノイダル圏とみなせば、射の存在を順序関係として表せる。特に Lawvere の意味での距離空間は $[0,\infty]$ の適切な順序と加法を基底とする豊穣圏として記述できる。この見方では、三角不等式が豊穣圏の結合律に対応する。

さらに、豊穣函手は射対象の構造を保つ基底圏の射を伴い、豊穣自然変換は射対象の中の要素を一般化する。したがって、関数空間、加群のテンソル積、重み付き極限、エンド・コエンド、Kan 拡張といった概念を同じ枠組みで扱える。

第1章では、モノイダル圏の基本事項を確認し、豊穣圏の基底となるテンソル積と単位対象を準備する。

第2章では、豊穣圏、豊穣函手、豊穣自然変換を定義し、下部圏、随伴、重み付き余極限、米田の補題、Kan 拡張を概観する。

第3章では、Benabou cosmos 上のエンドとコエンド、函手圏と豊穣米田の補題、重み付き極限・余極限、各点 Kan 拡張を扱う。

本書では、基底のモノイダル積を $\otimes$、単位対象を $I$ と書く。結合子や左右の単位子（unitors）を明示しないときも、それらを用いた標準的な同型を暗黙に使用する。

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モノイダル圏の基本事項

定義

圏 $\mathcal{M}$ 上の モノイダル構造 (monoidal structure) とは、以下のデータからなる:

• テンソル積 (tensor product) と呼ばれる函手 $\otimes\colon\mathcal{M}\times\mathcal{M}\to\mathcal{M}$;
• 単位対象 (unit object) あるいは テンソル単位 (tensor unit) と呼ばれる対象 $I\in\operatorname{Ob}\mathcal{M}$
• 結合子 (associator) と呼ばれる自然同型 $\alpha\colon\otimes\circ(\otimes\times\operatorname{id}_{\mathcal{M}})\Rightarrow\otimes\circ(\operatorname{id}_{\mathcal{M}}\times\otimes)\colon\mathcal{M}\times\mathcal{M}\times\mathcal{M}\to\mathcal{M}$;
• 左単位子 (left unitor) と呼ばれる自然同型 $\lambda\colon{I_{\mathcal{M}}}\otimes\operatorname{id}_{\mathcal{M}}\Rightarrow\operatorname{id}_{\mathcal{M}}$;
• 右単位子 (right unitor) と呼ばれる自然同型 $\rho\colon\operatorname{id}_{\mathcal{M}}\otimes{I_{\mathcal{M}}}\Rightarrow\operatorname{id}_{\mathcal{M}}$;

$a,b,c\in\mathcal{M}$ による $(a,b,c)$ -成分 $\alpha_{abc}$ は $\mathcal{M}$ の射 $(a\otimes b)\otimes c\to a\otimes(b\otimes c)$ である。

これらのデータは、以下の公理を満たす:

• 結合律(associativity): 以下の図式が可換となる:

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• 単位律(unitality): 以下の図式が可換となる:

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これらモノイダル構造に対して $\mathcal{M}$ を 下部圏 (underlying category) と呼び、下部圏とモノイダル構造の組 $(\mathcal{M},\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)$ を モノイダル圏 (monoidal category) と呼ぶ。

特に、結合子、左単位子および右単位子が恒等なモノイダル圏を 厳格モノイダル圏 (strict monoidal category) と呼ぶ。

モノイダル圏 $\mathcal{M}$ に対して、$x\otimes^{\operatorname{rev}}y\coloneqq y\otimes x$ により、積を反転させたモノイダル圏 $\mathcal{M}^{\operatorname{rev}}$ が定義できる。これを 反転モノイダル圏 (reverse monoidal category) と呼ぶ。

以下はモノイダル圏の例である。

圏	テンソル積	単位対象
モノイドを離散圏とみなしたもの	積	単位元
最大元を持つ交わり半束	交わり	最大元
集合の圏 $\mathsf{Set}$	直積	単集合
位相空間の圏 $\mathsf{Top}$	直積	単集合
可換環 $R$ 上の加群の圏 $R\text{-}\mathsf{Mod}$	加群のテンソル積	$R$
体 $k$ 上の線形空間の圏 $\mathsf{Vect}_k$	テンソル積	$k$
Abel群の圏 $\mathsf{Abel}$	Abel群のテンソル積	$\mathbb{Z}$
圏 $\mathcal{C}$ 上の自己函手のなす圏 $\operatorname{End}{\mathcal{C}}$	函手の合成	$\operatorname{id}_{\mathcal{C}}$
点付き位相空間の圏 $\mathsf{Top}_{\ast}$	スマッシュ積	点付き0-次元球面
有限積を持つ圏	積	終対象

任意の有限個の対象の積が存在するような圏を カルテシアン圏 (cartesian category) という。特に、カルテシアン圏 $\mathcal{C}$ であって各対象 $A\in\mathcal{C}$ に対して函手 ${-}\times A\colon\mathcal{C}\to\mathcal{C}$ が右随伴 $[A,{-}]\colon\mathcal{C}\to\mathcal{C}$ を持つような圏を カルテシアン閉圏 (cartesian closed category) という。

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モノイダル函手とモノイダル自然変換

モノイダル圏 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ の間の ラックスモノイダル函手 (lax monoidal functor)、あるいは単に モノイダル函手 (monoidal functor) とは、以下のデータからなる:

• 下部圏の間の函手 $T\colon\mathcal{M}_0\to\mathcal{N}_0$;
• 劣加法手 (subadditator) と呼ばれる自然変換 $\eta\colon T(-)\otimes T(-)\Rightarrow T({-}\otimes{-})$;
• 単位手 (unitor) と呼ばれる $\mathcal{N}$ の射 $\mu\colon I_\mathcal{N}\to T(I_\mathcal{M})$;

これらのデータは、以下の公理を満たす:

• 結合律(associativity): 以下の図式が可換となる:

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• 単位律(unitality): 以下の図式が可換となる:

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特に、$\mu$ が同型なとき 正規モノイダル函手 (normal monoidal functor) といい、$\eta,\mu$ がともに同型なとき 強モノイダル函手 (strong monoidal functor)、$\eta,\mu$ がともに恒等なとき 厳格モノイダル函手 (strict monoidal functor) という。

ラックスモノイダル函手 $F,G\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ の間の自然変換 $\sigma\colon F\Rightarrow G$ が以下の可換図式をそれぞれ満たすとき、モノイダル自然変換 (monoidal natural transformation) と呼ぶ:

モノイダル圏 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対して、$\mathcal{M}$ から $\mathcal{N}$ へのラックスモノイダル函手とその間のモノイダル自然変換からなる圏を $\mathsf{Mon}(\mathcal{M},\mathcal{N})$ とすると、$\mathsf{Mon}(\mathcal{M},\mathcal{N})$ は、点ごとの積によりモノイダル圏となる。

モノイダル圏と厳格モノイダル圏の間には次のような関係がある。

Proposition.

任意のモノイダル圏に対して、モノイダル圏同値であるような厳格モノイダル圏が存在し、その対応は自然である。

次の命題の意味で、モノイダル圏はすべて厳格であると仮定してよい と言われることがある。

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モノイド対象・余モノイド対象

モノイダル圏 $\mathcal{M}$ における モノイド対象 (monoid object) とは、以下のデータからなる:

• 対象 $m\in\mathcal{M}$;
• 乗法 (multiplication) と呼ばれる $\mathcal{M}$ の射 $\mu\colon m\otimes m\to m$;
• 単位 (unit) と呼ばれる $\mathcal{M}$ の射 $\eta\colon I\to m$;

また、これらのデータは以下の公理を満たす:

• 結合律 (associativity): 以下の図式が可換となる:

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• 単位律 (unitality): 以下の図式が可換となる:

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また、$\mathcal{M}^{\textrm{op}}$ ^[1]におけるモノイド対象を $\mathcal{M}$ における 余モノイド対象 (comonoid object) と呼ぶ。

モノイダル圏 $\mathcal{M}$ におけるモノイド対象 $m,n$ に対して、$m$ から $n$ への\textbf{モノイド射}(\textbf{monoid morphism}) $f$ とは、$\mathcal{M}$ における射 $f\colon m\to n$ であって、以下の図式がそれぞれ可換となる:

モノイド対象の例として、次が挙げられる:

• 集合の圏と集合の直積によるモノイダル圏 $(\mathsf{Set},\times,1)$ におけるモノイド対象は、通常の意味でのモノイドである。
• 位相空間の圏と空間の直積によるモノイダル圏 $(\mathsf{Top},\times,1)$ におけるモノイド対象は、位相モノイドになる。
• 可換環 $R$ に対して、$R$ -加群とその間の加群準同型のなす圏と加群のテンソル積によるモノイダル圏 $(R\text{-}\mathsf{Mod},\otimes_R,R)$ におけるモノイド対象は、$R$ -多元環となる。特に $R=\mathbb{Z}$ のとき $R\text{-}\mathsf{Mod}$ はアーベル群のなす圏 $\mathsf{Ab}$ となり、そのモノイド対象は環となる。
• 任意の圏 $\mathcal{C}$ に対し、その自己函手の圏 $\operatorname{End}\mathcal{C}$ は函手の合成および恒等函手の誘導するモノイド構造を持つ。このモノイド圏 $\operatorname{End}\mathcal{C}$ におけるモノイド対象は $\mathcal{C}$ のモナドである。

モノイダル圏 $\mathcal{M}$ のモノイド対象とその間のモノイド射は圏を構成する。また、$\mathcal{M}$ の余モノイド対象とその間のモノイド射も圏を構成する。

モノイド対象 $\mathbf{m}=(m,\mu,\eta)$ に対して、$\mathbf{m}$ 上の左加群とは対象 $n\in\mathcal{M}$ と射 $\lambda\colon m\otimes n\to n$ の組 $(n,\lambda)$ であって、次の２つの図式がそれぞれ可換となる:

他方、$\mathcal{M}^{\operatorname{rev}}$ における $\mathbf{m}$ 上の左加群を $\mathbf{m}$ 上の右加群という。

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モナド

圏 $\mathcal{C}$ 上の モナド (monad) とは、以下のデータからなる:

• 函手 $T\colon\mathcal{C}\to\mathcal{C}$;
• 自然変換 $\eta\colon\operatorname{id}_{\mathcal{C}}\Rightarrow T$;
• 自然変換 $\mu\colon T^2\Rightarrow T$;

これらのデータは、以下の図式をそれぞれ可換にする:

$\eta$ 、$\mu$ はモナド $(T,\eta,\mu)$ の単位、合成と呼ばれる。

自己函手のなすモノイダル圏 $\operatorname{End}\mathcal{C}$ におけるモノイド対象は圏 $\mathcal{C}$ のモナドとなる。
双対として、モノイダル圏 $\operatorname{End}\mathcal{C}$ における余モノイド対象を圏 $\mathcal{C}$ の 余モナド (comonad) と呼ぶ。

随伴函手はモナドを伴う。
すなわち、随伴 $F\dashv G\colon\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ に対して、函手 $GF\colon\mathcal{C}\to\mathcal{C}$ はモナドになる。ここで、モナドの単位射 $\eta_X\colon X\to GF(X)$ は随伴の単位射とし、モナドの合成射 $\mu_X\colon GFGF(X)\to GF(X)$ は随伴の余単位射 $\varepsilon_Y\colon FG(Y)\to Y$ を用いて $G\varepsilon_{F(X)}$ で定まる。

また、全てのモナドは随伴函手の合成として表すことができる。圏 $\mathcal{C}$ 上のモナド $(T,\eta,\mu)$ に伴う特別な随伴として、Eilenberg-Moore圏 $\mathcal{C}^{T}$ とKleisli圏 $\mathcal{C}_{T}$ への随伴が知られている。

Eilenberg-Moore圏

圏 $\mathcal{C}$ 上のモナド $(T,\eta,\mu)$ に対して、$\mathcal{C}$ の対象 $A$ と射 $a\colon TA\to A$ の組を $T$ -代数という。また、$T$ -代数 $(A,a)$ , $(B,b)$ の間の射 $f\colon(A,a)\to(B,b)$ を、$b\circ Tf=f\circ a$ を満たす $\mathcal{C}$ の射 $f\colon A\to B$ で定める。
$T$ による Eilenberg-Moore圏 (Eilenberg-Moore category) $\mathcal{C}^{T}$ とは、$T$ -代数とその間の射からなる圏である。

Eilenberg-Moore圏 $\mathcal{C}^{T}$ に対して、随伴となる函手 $F^T\colon\mathcal{C}\to\mathcal{C}^T$ と $U_{T}\colon\mathcal{C}^{T}\to\mathcal{C}$ は次のように定められる:

• $F^T(A)=(TA,\mu_A)$ , $f\in\mathcal{C}(A,B)$ に対して $F^T(f)=Tf$ ,
• $U^T(A,a)=A$ , $f\in\mathcal{C}^T((A,a),(B,b))$ に対して $U^T(f)=f$

定義から $U^{T}\circ F^{T}=T$ なため、$T$ は随伴 $F^{T}\dashv U^{T}$ に伴うモナドである。

Eilenberg-Moore圏とそれに伴う随伴は、任意の随伴 $F\dashv G\colon\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ に対して $L\circ F=F^T$ かつ $U^T\circ L=G$ を満たす函手 $L\colon\mathcal{D}\to\mathcal{C}^T$ がただ1つ存在するという性質を持つ。

Kleisli圏

まず、Kleisliトリプルを定義する。

圏 $\mathcal{C}$ 上の Kleisliトリプル (Kleisli triple) とは、函手 $T\colon\mathcal{C}\to\mathcal{C}$ 、自然変換 $\eta\colon\operatorname{id}_\mathcal{C}\to T$ 、拡張演算子 $(-)^\ast\colon\mathcal{C}(A,TB)\to\mathcal{C}(TA,TB)$ の組 $(T,\eta,(-)^\ast)$ であって、以下の条件を満たす:

• $\eta_A^\ast=\operatorname{id}_{TA}$ ,
• $f\colon A\to TB$ に対して $f^\ast\circ\eta_A=f$ ,
• $f\colon A\to TB$ , $g\colon B\to TC$ に対して $g^\ast\circ f^\ast=(g^\ast\circ f)^\ast$

Kleisli圏は、このKleisliトリプルを用いて定義される。

圏 $\mathcal{C}$ 上のKleisliトリプル $(T,\eta,(-)^\ast)$ に対して、Kleisli圏 (Kleisli category) $\mathcal{C}_T$ とは以下のデータからなる圏である:

• $\mathcal{C}_T$ の対象は、$\mathcal{C}$ の対象である,
• $\mathcal{C}_T$ の対象 $A,B$ に対して $\mathcal{C}_T(A,B)=\mathcal{C}(A,TB)$ である,
• $\mathcal{C}_T$ の射 $f\in\mathcal{C}_T(A,B)$ , $g\in\mathcal{C}_T(B,C)$ に対して合成 $g\cdot f$ は、$\mathcal{C}$ における合成 $g^\ast\circ f$ である

$\mathcal{C}$ 上のモナド $(T,\eta,\mu)$ に対して、拡張演算子 $(-)^\ast$ を $\mathcal{C}$ の射 $f\colon A\to TB$ に対して $f^\ast=\mu_B\circ Tf$ とすることで、Kleisliトリプル $(T,\eta,(-)^\ast)$ が定まる。
この対応により、$\mathcal{C}$ 上のモナドを与えることと $\mathcal{C}$ 上のKleisliトリプルを与えることは同値となる。

Kleisli圏 $\mathcal{C}_T$ に対して、随伴となる函手 $F_{T}\colon\mathcal{C}\to\mathcal{C}_T$ と $U_{T}\colon\mathcal{C}_{T}\to \mathcal{C}$ は次のように定められる:

• $F_T(A)=A$ , $f\in\mathcal{C}(A,B)$ に対して $F_T(f)=\eta_B\circ f$ ,
• $U_T(A)=TA$ , $f\in\mathcal{C}_T(A,B)$ に対して $U_T(f)=\mu_B\circ Tf$

定義から $U_{T}\circ F_{T}=T$ なため、$T$ は随伴 $F_{T}\dashv U_{T}$ に伴うモナドである。

Kleisli圏とそれに伴う随伴は、任意の随伴 $F\dashv G\colon\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ に対して $K\circ F_T=F$ かつ $G\circ K=U_T$ を満たす函手 $K\colon\mathcal{C}_T\to\mathcal{D}$ がただ1つ存在するという性質を持つ。

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1. 反転モノイダル圏 $\mathcal{M}^{\operatorname{rev}}$ でなく、通常の圏に対する双対圏のことである。代わりに $\mathcal{M}^{\operatorname{rev}}$ でモノイド対象を考えると、$\mathcal{M}$ のモノイド対象となってしまい、逆も然りである。 ↩︎

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豊穣圏の基本事項

定義

Definition. モノイダル圏上の豊穣圏

$\mathfrak{M}$ をモノイダル圏とする。
$\mathcal{A}$ が $\mathfrak{M}$ 上の豊穣圏 (enriched category over $\mathfrak{M}$)、あるいは単に $\mathfrak{M}$-圏 ($\mathfrak{M}$-category) とは、以下のデータからなる:

• 対象の集まり $\operatorname{Ob}\mathcal{A}$;
• 各対象 $a,b\in\operatorname{Ob}\mathcal{A}$ に対して $\mathfrak{M}$ の対象 $\mathcal{A}(a,b)\in\mathfrak{M}$;
• 各対象 $a\in\operatorname{Ob}\mathcal{A}$ に対して $\mathfrak{M}$ の射 $\operatorname{id}_a\colon I\to\mathcal{A}(a,a)$;
• 各対象 $a,b,c\in\operatorname{Ob}\mathcal{A}$ に対して $\mathfrak{M}$ の射 $(\otimes_{\mathcal{A}})_{ac}^{b}\colon\mathcal{A}(b,c)\otimes_{\mathfrak{M}}\mathcal{A}(a,b)\to\mathcal{A}(a,c)$;

これらのデータは以下の公理をそれぞれ満たす:

• 結合律: 各 $a,b,c,d\in\mathcal{A}$ に対して、以下の図式が可換となる:

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• 単位律: 各 $a,b\in\mathcal{A}$ に対して、以下の図式がそれぞれ可換となる:

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$\mathfrak{M}$-圏に対して、対象の集まりがともに集合となるとき、その圏は 小さい、あるいは 小圏 (small category) という。

$\mathfrak{M}$-圏 $\mathcal{A}$ の 下部圏 (underlying category) とは、通常の圏であって $\mathcal{A}$ と同じ対象を持つが、射の集まり $\hom(a,b)$ が $\mathfrak{M}(I,\mathcal{A}(a,b))$ で定義されるような圏である。

以下は豊穣圏の例である。

豊穣圏	モノイダル圏	テンソル積
モノイドを離散圏とみなしたもの	積	単位元
最大元を持つ交わり半束	交わり	最大元
集合の圏 $\mathsf{Set}$	直積	単集合
位相空間の圏 $\mathsf{Top}$	直積	単集合
可換環 $R$ 上の加群の圏 $R\text{-}\mathsf{Mod}$	加群のテンソル積	$R$
体 $k$ 上の線形空間の圏 $\mathsf{Vect}_k$	テンソル積	$k$
Abel群の圏 $\mathsf{Abel}$	Abel群のテンソル積	$\mathbb{Z}$
圏 $\mathcal{C}$ 上の自己函手のなす圏 $\operatorname{End}{\mathcal{C}}$	函手の合成	$\operatorname{id}_{\mathcal{C}}$
点付き位相空間の圏 $\mathsf{Top}_{\ast}$	スマッシュ積	点付き0-次元球面
有限積を持つ圏	積	終対象

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函手と自然変換

圏の間の函手の定義は、自然に豊穣圏の間の函手に拡張される。

Definition. 豊穣函手

$\mathfrak{M}$-圏 $\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$ に対して、$\mathcal{A}$ から $\mathcal{B}$ への 豊穣函手 (enriched functor)、あるいは $\mathfrak{M}$-函手 $F\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ とは、以下のデータからなる:

• 対象の間の写像 $\operatorname{Ob}{F}\colon\operatorname{Ob}\mathcal{A}\to\operatorname{Ob}\mathcal{B}$ ( $\operatorname{Ob}{F}$ の $A\in\mathcal{A}$ における値を $F(A)$ あるいは $FA$ と表す);
• 各 $A,A^\prime\in\mathcal{A}$ について、射対象の間の $\mathfrak{M}$ の射 $F_{A,A^\prime}\colon\mathcal{A}(A,A^\prime)\to\mathcal{B}(FA,FA^\prime)$ ( $F_{A,A^\prime}$ の $f\colon A\to A^\prime$ における値を $F(f)$ あるいは $Ff$ と表す);

これらのデータは以下の2つの公理を満たすものである:

• 合成を保つ: 各 $a,b,c\in\mathcal{A}$ に対して、以下の図式が可換となる:

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• 恒等射を保つ: 各 $a\in\mathcal{A}$ に対して、以下の図式が可換となる:

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函手の合成とは、対象の間の写像の合成と、射対象の間の写像の合成によって得られる。

$\mathfrak{M}$-函手は、下部圏の間の函手を誘導する。ただし、下部圏の函手が常に豊穣函手へ持ち上がるとは限らず、射対象の構造を保つ射 $F_{a,b}$ が別途必要である。

自然変換も同様にして定義できる。

Definition. 豊穣自然変換

$\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$ を $\mathfrak{M}$-圏、$F,G\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ を $\mathfrak{M}$-函手とする。
このとき、$\mathfrak{M}$-自然変換 $\theta\colon F\Rightarrow G$ とは、$\mathfrak{M}$ の射の族 $\left(I\xrightarrow{\theta_a}\mathcal{B}(Fa,Ga)\right)_{a\in\mathcal{A}}$ であって、次の図式が可換となる:

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通常の圏論と同様にして、$\mathfrak{M}$-圏 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ の間の函手圏を $\operatorname{Func}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ とする。

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加群射と函手圏

$\mathfrak{M},\mathfrak{N}$ をモノイダル圏とする。

圏 $C$ 上の $(\mathfrak{M},\mathfrak{N})$-作用 とは、強モノイダル函手 $\varphi\colon\mathfrak{N}^{\mathrm{rev}}\times\mathfrak{M}\to\operatorname{End}{C}$ のことである。
このとき、圏 $C$ と作用 $\varphi$ の組 $(C,\varphi)$ を $(\mathfrak{M},\mathfrak{N})$-加群という。

特に、単位的な弱2-圏を $\boldsymbol{1}$ としたとき、$(\boldsymbol{1},\mathfrak{M})$-作用を右 $\mathfrak{M}$ 作用と呼び、$(\mathfrak{M},\boldsymbol{1})$-作用を左 $\mathfrak{M}$ 作用と呼ぶ。

$(\mathfrak{M},\mathfrak{N})$-加群 $\mathcal{C}=(C,\varphi)$ に対して、$v\in\mathfrak{M},w\in\mathfrak{N},a\in M$ に対して $\varphi(w,v)(a)$ を $v\odot a\odot w$ と表す.

$(\mathfrak{M},\mathfrak{N})$-加群 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ の間の 加群射 (module morphism) とは、函手 $F\colon\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ であって、以下の図式が可換となる:

$(\mathfrak{M},\mathfrak{N})$-加群とその間の加群射からなる圏を $\operatorname{Mod}(\mathfrak{M},\mathfrak{N})$ とする.

Definition. 加群上の豊穣函手

$\mathfrak{M}$-圏 $\mathcal{J}$ から左 $\mathfrak{M}$-加群 $C$ への $\mathfrak{M}$-函手とは、以下のデータからなる:

• 写像 $\operatorname{Ob}{F}\colon\operatorname{Ob}\mathcal{J}\to\operatorname{Ob}{C}$;
• 各 $a,b\in\mathcal{J}$ に対して $C$ の射 $F_{ab}\colon\mathcal{J}(a,b)\odot Fa\to Fb$;
  これらのデータは以下の公理を満たす:
• 合成を保つ: 以下の図式が可換となる:

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• 恒等射を保つ: 以下の図式が可換となる:

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Definition. 加群上の豊穣自然変換

$\mathfrak{M}$-圏 $\mathfrak{J}$ から左 $\mathfrak{M}$-加群 $C$ への $\mathfrak{M}$-函手 $F,G\colon\mathcal{J}\to C$ に対して、$F$ から $G$ への $\mathfrak{M}$-自然変換とは、$C$ の射の族 $\theta=\left(\theta_a\colon Fa\to Ga\right)$ であって、任意の $a,b\in\mathcal{J}$ に対して以下の図式が可換となる:

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$\mathfrak{M}$-圏 $\mathcal{J}$ から左 $\mathfrak{M}$-加群 $C$ への $\mathfrak{M}$-函手を対象とし、その間の $\mathfrak{M}$-自然変換を射とする圏を $\operatorname{Func}(\mathcal{J},C)$ とする。

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strict 2-category としての性質

$\mathfrak{M}$-圏を対象、$\mathfrak{M}$-函手を1-cell、$\mathfrak{M}$-自然変換を2-cellとしてstrict 2-category $\mathfrak{M}\text{-}\operatorname{CAT}$ が定義されるため、2-categoryの一般論から随伴とKan拡張が定義される。

随伴と同値

$\mathfrak{M}$-函手の組 $\mathcal{A}\xrightleftarrows[G]{F}\mathcal{B}$ の 随伴 (adjunction) とは、$\mathfrak{M}$-自然変換 $\eta\colon\operatorname{id}_{\mathcal{A}}\to GF$, $\varepsilon\colon FG\to\operatorname{id}_{\mathcal{B}}$ であって、以下の図式がそれぞれ可換となる:

$\eta$, $\varepsilon$ はこの随伴の 単位 (unit), 余単位 (counit) と呼ぶ。
このとき、$F\dashv G$ と表し、$F$ は $G$ の 左随伴 (left adjoint)、あるいは $G$ は $F$ の 右随伴 (right adjoint) と呼ぶ。

特に、単位および余単位が $\mathfrak{M}$-自然同型となるとき随伴 $F\dashv G$ は同値であるといい $F\simeq G$ と書く。

Kan拡張

$\mathcal{C},\mathcal{D},\mathcal{U}$ を $\mathfrak{M}$-圏とし、$F\colon\mathcal{C}\to\mathcal{D}$, $E\colon\mathcal{C}\to\mathcal{U}$ を $\mathfrak{M}$-函手とする。
このとき、$F$ に沿った $E$ の左Kan拡張 (left Kan extension of $E$ along $F$) とは、$E\in\operatorname{Func}(\mathcal{C},\mathcal{U})$ から $F^{-1}\colon\operatorname{Func}(\mathcal{D},\mathcal{U})\to\operatorname{Func}(\mathcal{C},\mathcal{U})$ への普遍射 $(F^\dagger E,\eta)$ のことである。
すなわち、以下の2条件を満たすものである。

• $F^\dagger E$ は $\mathfrak{M}$-函手 $\mathcal{D}\to\mathcal{U}$ であって、$\eta$ は $\mathfrak{M}$-自然変換 $E\Rightarrow F^{-1}(F^\dagger E)=F^\dagger E\circ F$ である。
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• 任意の $\mathfrak{M}$-函手 $S\colon\mathcal{D}\to\mathcal{U}$ と $\mathfrak{M}$-自然変換 $\theta\colon E\Rightarrow S\circ F$ の組 $(S,\theta)$ に対して、$\mathfrak{M}$-自然変換 $\tau\colon F^\dagger E\Rightarrow S$ が一意的に存在して $\theta=\tau_F\circ\eta$ を満たす。即ち次の等式が成り立つ。
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他方、$F^{-1}$ から $E$ への普遍射 $(F^\ddagger E,\varepsilon)$ を $F$ に沿った $E$ の右Kan拡張 (right Kan extension of $E$ along $F$) という。

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重み付き余極限と米田の補題

$\mathfrak{M}$-圏 $\mathcal{C}$ に対して、$P(\mathcal{C})=\operatorname{Func}\left(\mathcal{C}^{\mathrm{op}},\mathfrak{M}^\mathsf{rev}\right)$ とすると、$P(\mathcal{C})$ は左 $\mathfrak{M}$-加群となる。

Definition. 重み付き余錐

$\mathcal{J}$ を $\mathfrak{M}$-圏とし、$\mathcal{A}$ を左 $\mathfrak{M}$-加群とする。
このとき、$W\in P(\mathcal{J})$ と $F\colon\mathcal{J}\to\mathcal{A}$ に対して、$F$ の $W$ で重み付けられた余錐 (weighted cocorn over a functor $F$ with respect to a weight $W$) とは、$\mathcal{A}$ の対象 $Z$ と $\mathcal{B}$ の射の族 $\theta=\left(W(j)\odot F(j)\xrightarrow{\theta_j}Z\right)$ の組 $(Z,\theta)$ であって、以下の可換図式を満たす:

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特に、余錐のうち普遍的なものを $W$ に関する $F$ 上の重み付き余極限 (weighted colimit over a functor $F$ with respect to a weight $W$) という。
すなわち、余極限は $F$ の $W$ で重み付けられた余錐 $(\operatorname*{colim}^WF,\alpha)$ であって、任意の余錐 $(Z,\theta)$ に対して射 $\pi\colon\operatorname*{colim}^WF\to Z$ が一意的に存在して次の図式を可換にする:

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Theorem. 米田の補題

$m\in\mathfrak{M}$ について自然な同型
$$P(\mathcal{C})(m\odot y(a),F)\cong\mathfrak{M}(m,F(a))$$
が成り立つ。

各点豊穣 Kan 拡張

ここまでの定義から、豊穣 Kan 拡張を重み付き余極限として計算できる。$\mathfrak{M}$ を宇宙、$\mathcal{C},\mathcal{D}$ を小さい $\mathfrak{M}$-圏、$\mathcal{A}$ を余完備な左 $\mathfrak{M}$-加群とする。$\mathfrak{M}$-函手
$$\mathcal{D}\xleftarrow{F}\mathcal{C}\xrightarrow{E}\mathcal{A}$$
に対して、各点左 Kan 拡張が存在するなら、任意の $d\in\mathcal{D}$ について自然な同型
$$(\operatorname{Lan}_{F}E)(d) \cong \operatorname{colim}^{\mathcal{D}(F{-},d)}E$$
が成り立つ。右辺の重みは、$c\mapsto\mathcal{D}(Fc,d)$ で定まる $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ 上の $\mathfrak{M}$-函手である。

双対的に、$\mathcal{A}$ が完備で各点右 Kan 拡張が存在するなら、
$$(\operatorname{Ran}_{F}E)(d) \cong \operatorname{lim}^{\mathcal{D}(d,F{-})}E$$
である。$\mathsf{Set}$ を基底に取ると、これらは通常の各点 Kan 拡張の公式
$$(\operatorname{Lan}_{F}E)(d)\cong\operatorname*{colim}_{(Fc\to d)\in(F/d)}E(c)$$
および右 Kan 拡張の公式に戻る。

この公式の意味は、$d$ における拡張値を、$F$ の像から $d$ へ向かう豊穣な射対象を重みとして集約することにある。したがって、Kan 拡張は基底のテンソル積と普遍性で決まる最も自然な延長である。

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Benabou cosmos 上の豊穣圏

完備かつ余完備な対称閉モノイダル圏を Benabou cosmos という。

$\mathfrak{M}$ を Benabou cosmos とすると、閉性による随伴
$${-}\otimes A\dashv[A,{-}]$$
で得られる $[A,B]$ を Hom 対象とすることで、$\mathfrak{M}$ は $\mathfrak{M}$-圏となる。

以後、$\mathfrak{M}$ を Benabou cosmos とし、$\mathfrak{M}$ 自身を $\mathfrak{M}$-圏として扱う。

エンドとコエンド

まず、$\mathfrak{M}$ におけるエンド、コエンドを定義する。

$\mathcal{C}$ を $\mathfrak{M}$-圏とする。対象 $d\in\mathfrak{M}$ と $\mathfrak{M}$-函手
$$T\colon\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\otimes\mathcal{C}\to\mathfrak{M}$$
に対して、$d$ における $T$ の 楔 (wedge from $d$ to $T$) とは、$\mathfrak{M}$ の射の族
$$\alpha=\left(d\xrightarrow{\alpha_c}T(c,c)\right)$$
であって、次の図式が可換となるものをいう。

$T\colon\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\otimes\mathcal{C}\to\mathfrak{M}$ を $\mathfrak{M}$-函手とする。$T$ の 普遍楔 とは、楔
$$\pi=\left(e\xrightarrow{\pi_c}T(c,c)\right)$$
であって、任意の楔 $\alpha=\left(d\xrightarrow{\alpha_c}T(c,c)\right)$ に対して、射 $h\colon d\to e$ が一意的に存在し、$\alpha_c=\pi_c\circ h$ と分解されるものをいう。このとき、$e$ を $T$ の エンド といい、
$$\int_{c\in\mathcal{C}}T(c,c)$$
と表す。

一般の $\mathfrak{M}$-圏 $\mathcal{D}$ に対しては、$\mathfrak{M}$-函手
$$T\colon\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\otimes\mathcal{C}\to\mathcal{D}$$
に対して
$$\int_{c\in\mathcal{C}}\mathcal{D}(-,T(c,c))\colon\mathcal{D}^{\mathrm{op}}\to\mathfrak{M}$$
を表現する対象を $T$ のエンドという。これを $\int_{c\in\mathcal{C}}T(c,c)$ と表す。他方、
$$\int_{c\in\mathcal{C}}\mathcal{D}(T(c,c),-)\colon\mathcal{D}\to\mathfrak{M}$$
を表現する対象を $T$ の コエンド といい、$\int^{c\in\mathcal{C}}T(c,c)$ と表す。定義より、
$$\mathcal{D}\left(d,\int_{c\in\mathcal{C}}T(c,c)\right) \cong \int_{c\in\mathcal{C}}\mathcal{D}(d,T(c,c)), \qquad \mathcal{D}\left(\int^{c\in\mathcal{C}}T(c,c),d\right) \cong \int_{c\in\mathcal{C}}\mathcal{D}(T(c,c),d)$$
が成り立つ。

函手圏と豊穣米田の補題

$\mathfrak{M}$-圏 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ の間の函手圏 $\operatorname{Func}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ は通常の圏であった。通常の圏の場合に成り立つ同型
$$\operatorname{Func}(\mathcal{C},\mathcal{D})(F,G) \cong \int_{c\in\mathcal{C}}\mathcal{D}(Fc,Gc)$$
に倣って、函手のなす $\mathfrak{M}$-圏 $\lbrack\mathcal{C},\mathcal{D}\rbrack$ を
$$\lbrack\mathcal{C},\mathcal{D}\rbrack(F,G) \cong \int_{c\in\mathcal{C}}\mathcal{D}(Fc,Gc)$$
で定める。この圏の下部圏は $\operatorname{Func}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ である。

また、自然な全単射
$$\mathfrak{M}\text{-}\mathsf{Cat}(\mathcal{A}\otimes\mathcal{B},\mathcal{C}) \cong \mathfrak{M}\text{-}\mathsf{Cat}(\mathcal{A},\lbrack\mathcal{B},\mathcal{C}\rbrack)$$
が存在する。したがって、$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\colon\mathcal{C}\otimes\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\to\mathfrak{M}$ に対応する $\mathfrak{M}$-函手
$$y\colon\mathcal{C}\to\widehat{\mathcal{C}}, \qquad \widehat{\mathcal{C}}=\lbrack\mathcal{C}^{\mathrm{op}},\mathfrak{M}\rbrack$$
を豊穣米田函手と呼ぶ。

Theorem. 豊穣米田の補題

$\mathcal{C}$ を $\mathfrak{M}$-圏とする。このとき、対象 $a\in\mathcal{C}$ と $\mathfrak{M}$-函手 $F\colon\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\to\mathfrak{M}$ について、$\mathfrak{M}$ における自然な同型
$$\widehat{\mathcal{C}}(y(a),F)\cong\operatorname{ev}(a,F)=F(a)$$
が成り立つ。

重み付き極限と余極限

通常の圏における極限および余極限は、対角函手の左随伴および右随伴として特徴付けられる。しかし一般の豊穣圏の場合、対角函手を標準的に定義することができないため、重みを用いて定義する。

通常の圏論における図式 $F\colon J\to C$ の極限 $\lim F$ は、同型
$$C(-,\lim F)\cong\lim C(-,F) \cong [J,\mathsf{Set}](\Delta 1,C(-,F))$$
によって特徴付けられる。ここで定値函手 $\Delta 1\colon J\to\mathsf{Set}$ を一般の函手 $W\colon J\to\mathsf{Set}$ に置き換えると、重み付き極限が得られる。

Definition. 重み付き極限

$\mathfrak{M}$-函手 $W\colon\mathcal{J}\to\mathfrak{M}$ と $F\colon\mathcal{J}\to\mathcal{A}$ に対して、各 $a\in\mathcal{A}$ で
$$\lbrack\mathcal{J},\mathfrak{M}\rbrack(W,\mathcal{A}(a,F-))\colon\mathcal{A}\to\mathfrak{M}$$
が表現可能なとき、これを表現する対象を $W$ に関する $F$ 上の 重み付き極限 (weighted limit) といい、$\lim^W F$ と表す。すなわち、
$$\lbrack\mathcal{J},\mathfrak{M}\rbrack(W,\mathcal{A}(a,F-)) \cong \mathcal{A}(a,\lim^W F)$$
が成り立つ。

Definition. 重み付き余極限

$\mathfrak{M}$-函手 $W\colon\mathcal{J}^{\mathrm{op}}\to\mathfrak{M}$ と $F\colon\mathcal{J}\to\mathcal{A}$ に対して、各 $a\in\mathcal{A}$ で
$$\lbrack\mathcal{J}^{\mathrm{op}},\mathfrak{M}\rbrack(W,\mathcal{A}(F-,a))\colon\mathcal{A}^{\mathrm{op}}\to\mathfrak{M}$$
が表現可能なとき、これを表現する対象を $W$ に関する $F$ 上の 重み付き余極限 (weighted colimit) といい、$\operatorname{colim}^W F$ と表す。すなわち、
$$\lbrack\mathcal{J}^{\mathrm{op}},\mathfrak{M}\rbrack(W,\mathcal{A}(F-,a)) \cong \mathcal{A}(\operatorname{colim}^W F,a)$$
が成り立つ。

各点 Kan 拡張

$\mathfrak{M}$-圏 $\mathcal{C},\mathcal{D},\mathcal{U}$、$\mathfrak{M}$-函手
$$F\colon\mathcal{C}\to\mathcal{D},\qquad E\colon\mathcal{C}\to\mathcal{U},\qquad T\colon\mathcal{D}\to\mathcal{U}$$
を考える。

Definition. 各点左 Kan 拡張

$T$ が $F$ に沿った $E$ の 各点左 Kan 拡張 (pointwise left Kan extension) であるとは、任意の $d\in\mathcal{D}$ と $u\in\mathcal{U}$ について自然な同型
$$\mathcal{U}(Td,u) \cong \lbrack\mathcal{C}^{\mathrm{op}},\mathfrak{M}\rbrack \bigl(\mathcal{D}(F-,d),\mathcal{U}(E-,u)\bigr)$$
が成り立つときをいう。これは形式的には
$$Td\cong\operatorname{colim}^{\mathcal{D}(F-,d)}E$$
ということである。

Theorem. 各点左 Kan 拡張は Kan 拡張である

各点左 Kan 拡張は、通常の意味での $F$ に沿った $E$ の左 Kan 拡張となる。