任意の
x , y , z ∈ X x,y,z\in X x , y , z ∈ X に対して
d ( x , y ) + d ( y , z ) ≥ d ( x , z ) d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z) d ( x , y ) + d ( y , z ) ≥ d ( x , z ) .
集合 X X X X X X d : X × X → R d:X\times X\to\mathbb{R} d : X × X → R ( X , d ) (X,d) ( X , d ) 距離空間 (metric space ) といい, 集合 X X X 台集合 (underlying set ) という.
特に, 距離 d : X × X → R d:X\times X\to\mathbb{R} d : X × X → R
∀ x , y , z ∈ X , max { d ( x , y ) , d ( y , z ) } ≥ d ( x , z )
\forall x,y,z\in X,\quad\max\{d(x,y),d(y,z)\}\geq d(x,z)
∀ x , y , z ∈ X , max { d ( x , y ) , d ( y , z )} ≥ d ( x , z )
を満たすとき, d d d 非 Archimedes 的 (non-Archimedean ) あるいは 超距離 (ultrametric ) であるという.
Definition. 写像の連続性
距離空間 ( X , d X ) , ( Y , d Y ) (X, d_X), (Y, d_Y) ( X , d X ) , ( Y , d Y ) f : X → Y f:X\to Y f : X → Y f f f 点 x 0 ∈ X x_0\in X x 0 ∈ X (continuous at point x 0 ∈ X x_0\in X x 0 ∈ X ) であるとは, 以下の条件を満たすときいう:
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 s.t. ∀ x ∈ X , d X ( x , x 0 ) ≤ δ ⇒ d Y ( f ( x ) , f ( x 0 ) ) ≤ ε
\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\text{ s.t. }\forall x\in X,d_X(x,x_0)\leq\delta\Rightarrow d_Y(f(x),f(x_0))\leq\varepsilon
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 s.t. ∀ x ∈ X , d X ( x , x 0 ) ≤ δ ⇒ d Y ( f ( x ) , f ( x 0 )) ≤ ε
特に, 全ての x 0 ∈ X x_0\in X x 0 ∈ X f : X → Y f:X\to Y f : X → Y 連続写像 (continuous function ) といい, f : ( X , d X ) → ( Y , d Y ) f:(X, d_X)\to (Y, d_Y) f : ( X , d X ) → ( Y , d Y )
距離空間 ( X , d X ) , ( Y , d Y ) (X, d_X), (Y, d_Y) ( X , d X ) , ( Y , d Y ) f : X → Y f:X\to Y f : X → Y f f f f − 1 f^{-1} f − 1 f f f 同相写像 (homeomorphism ) という.( X , d X ) , ( Y , d Y ) (X, d_X), (Y, d_Y) ( X , d X ) , ( Y , d Y ) ( X , d X ) (X, d_X) ( X , d X ) ( Y , d Y ) (Y, d_Y) ( Y , d Y ) 同相 (homeomorphic ) であるといい,
( X , d X ) ≅ ( Y , d Y )
(X, d_X)\cong(Y, d_Y)
( X , d X ) ≅ ( Y , d Y )
と表す.
Example. 連続な全単射の逆写像が連続とは限らない例
写像
f : [ 0 , 2 π ) ⟶ S 1 , t ⟼ ( cos t , sin t )
f:[0,2\pi)\longrightarrow S^1,\quad t\longmapsto(\cos t,\sin t)
f : [ 0 , 2 π ) ⟶ S 1 , t ⟼ ( cos t , sin t )
は連続な全単射である.t n = 2 π − 1 / n t_n=2\pi-1/n t n = 2 π − 1/ n f ( t n ) → f ( 0 ) f(t_n)\to f(0) f ( t n ) → f ( 0 ) t n t_n t n 0 0 0 f − 1 f^{-1} f − 1 f ( 0 ) f(0) f ( 0 )
集合 X X X d 1 , d 2 d_1,d_2 d 1 , d 2 X X X ( X , d 1 ) , ( X , d 2 ) (X,d_1), (X,d_2) ( X , d 1 ) , ( X , d 2 ) d 1 , d 2 d_1,d_2 d 1 , d 2 距離として同値 (equivalent of metrics ) であるという.
Proposition. 距離の変換
集合 X X X d d d f : R ≥ 0 → R ≥ 0 f:\mathbb{R}_{\geq0}\to\mathbb{R}_{\geq0} f : R ≥ 0 → R ≥ 0 f f f f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 f ∘ d f\circ d f ∘ d X X X f f f d d d f ∘ d f\circ d f ∘ d
proof.
d f ≔ f ∘ d d_f\coloneqq f\circ d d f : = f ∘ d f f f f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 d f ( x , y ) = 0 d_f(x,y)=0 d f ( x , y ) = 0 d ( x , y ) = 0 d(x,y)=0 d ( x , y ) = 0 d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z) d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z )
d f ( x , z ) ≤ f ( d ( x , y ) + d ( y , z ) ) ≤ d f ( x , y ) + d f ( y , z )
d_f(x,z)
\leq f(d(x,y)+d(y,z))
\leq d_f(x,y)+d_f(y,z)
d f ( x , z ) ≤ f ( d ( x , y ) + d ( y , z )) ≤ d f ( x , y ) + d f ( y , z )
を得る.d f d_f d f
f f f ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 f ( δ ) < ε f(\delta)<\varepsilon f ( δ ) < ε δ > 0 \delta>0 δ > 0 ( X , d ) → ( X , d f ) (X,d)\to(X,d_f) ( X , d ) → ( X , d f ) ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 η = f ( ε ) > 0 \eta=f(\varepsilon)>0 η = f ( ε ) > 0 d f ( x , y ) < η d_f(x,y)<\eta d f ( x , y ) < η d ( x , y ) < ε d(x,y)<\varepsilon d ( x , y ) < ε
Definition. 距離を保つ写像
距離空間 ( X , d X ) , ( Y , d Y ) (X, d_X), (Y, d_Y) ( X , d X ) , ( Y , d Y ) f : X → Y f:X\to Y f : X → Y f f f 距離を保つ (distance preserving ) とは, 以下の条件を満たすときいう:
∀ x , y ∈ X , d X ( x , y ) = d Y ( f ( x ) , f ( y ) )
\forall x,y\in X,d_X(x,y)=d_Y(f(x),f(y))
∀ x , y ∈ X , d X ( x , y ) = d Y ( f ( x ) , f ( y ))
距離を保つ写像を 等長写像 (isometry ) といい, 全単射な等長写像 X → Y X\to Y X → Y ( X , d X ) , ( Y , d Y ) (X, d_X), (Y, d_Y) ( X , d X ) , ( Y , d Y ) 等長 (isometric ) という.
Definition. 写像の一様連続性
距離空間 ( X , d X ) , ( Y , d Y ) (X, d_X), (Y, d_Y) ( X , d X ) , ( Y , d Y ) f : X → Y f:X\to Y f : X → Y f f f 一様連続 (uniformly continuous ) であるとは, 以下の条件を満たすときいう:
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 s.t. ∀ x , y ∈ X , d X ( x , y ) ≤ δ ⇒ d Y ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ ε
\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\text{ s.t. }\forall x,y\in X,d_X(x,y)\leq\delta\Rightarrow d_Y(f(x),f(y))\leq\varepsilon
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 s.t. ∀ x , y ∈ X , d X ( x , y ) ≤ δ ⇒ d Y ( f ( x ) , f ( y )) ≤ ε
一様連続な写像を 一様連続写像 (uniformly continuous function ) といい, 全単射な写像 f : X → Y f:X\to Y f : X → Y f , f − 1 f,f^{-1} f , f − 1 ( X , d X ) , ( Y , d Y ) (X, d_X), (Y, d_Y) ( X , d X ) , ( Y , d Y ) 一様同型 (uniformly isomorphic ) という.
Proposition.
一様連続写像は連続となる.
proof.
x 0 ∈ X x_0\in X x 0 ∈ X ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 x , y ∈ X x,y\in X x , y ∈ X
d X ( x , y ) ≤ δ ⇒ d Y ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ ε
d_X(x,y)\leq\delta\Rightarrow d_Y(f(x),f(y))\leq\varepsilon
d X ( x , y ) ≤ δ ⇒ d Y ( f ( x ) , f ( y )) ≤ ε
を満たす δ > 0 \delta>0 δ > 0 y = x 0 y=x_0 y = x 0 d X ( x , x 0 ) ≤ δ d_X(x,x_0)\leq\delta d X ( x , x 0 ) ≤ δ d Y ( f ( x ) , f ( x 0 ) ) ≤ ε d_Y(f(x),f(x_0))\leq\varepsilon d Y ( f ( x ) , f ( x 0 )) ≤ ε f f f x 0 x_0 x 0 x 0 x_0 x 0 f f f
Example. 連続だが一様連続でない写像の例
写像 f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = x 2 f(x)=x^2 f ( x ) = x 2 x n = n x_n=n x n = n y n = n + 1 / n y_n=n+1/n y n = n + 1/ n ∣ x n − y n ∣ → 0 |x_n-y_n|\to0 ∣ x n − y n ∣ → 0
∣ f ( x n ) − f ( y n ) ∣ = 2 + 1 / n 2
|f(x_n)-f(y_n)|=2+1/n^2
∣ f ( x n ) − f ( y n ) ∣ = 2 + 1/ n 2
は 0 0 0
点列
距離空間 ( X , d ) (X,d) ( X , d ) 点列 (sequence of points ) を, 非負整数全体から X X X n ↦ p n n\mapsto p_n n ↦ p n ( p n ) n ≥ 0 (p_n)_{n\geq0} ( p n ) n ≥ 0 ( p n ) (p_n) ( p n )
Definition. 点列の収束性
距離空間 ( X , d ) (X,d) ( X , d ) ( p n ) (p_n) ( p n ) p ∈ X p\in X p ∈ X
∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N s.t. ∀ n ∈ N [ N ≤ n ⇒ d ( p n , p ) ≤ ε ]
\forall\varepsilon>0,\exists N\in\mathbb N\text{ s.t. }\forall n\in\mathbb N[N\leq n\Rightarrow d(p_n,p)\leq\varepsilon]
∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N s.t. ∀ n ∈ N [ N ≤ n ⇒ d ( p n , p ) ≤ ε ]
を満たすとき, p p p 列 ( p n ) (p_n) ( p n ) (limit of a sequence ( p n ) (p_n) ( p n ) ) といい, 極限の存在する列は収束する (converge ) といい, 収束しない列は発散する (diverge ) という.
Proposition. 点列の極限の一意性
距離空間 ( X , d ) (X,d) ( X , d ) ( p n ) (p_n) ( p n )
proof.
p n → p p_n\to p p n → p p n → q p_n\to q p n → q p ≠ q p\neq q p = q d ( p , q ) > 0 d(p,q)>0 d ( p , q ) > 0 ε = d ( p , q ) / 3 \varepsilon=d(p,q)/3 ε = d ( p , q ) /3 N p , N q N_p,N_q N p , N q n ≥ N p n\geq N_p n ≥ N p d ( p n , p ) ≤ ε d(p_n,p)\leq\varepsilon d ( p n , p ) ≤ ε n ≥ N q n\geq N_q n ≥ N q d ( p n , q ) ≤ ε d(p_n,q)\leq\varepsilon d ( p n , q ) ≤ ε n ≥ max { N p , N q } n\geq\max\{N_p,N_q\} n ≥ max { N p , N q }
d ( p , q ) ≤ d ( p , p n ) + d ( p n , q ) ≤ 2 ε = 2 3 d ( p , q ) < d ( p , q )
d(p,q)\leq d(p,p_n)+d(p_n,q)\leq2\varepsilon=\frac{2}{3}d(p,q)<d(p,q)
d ( p , q ) ≤ d ( p , p n ) + d ( p n , q ) ≤ 2 ε = 3 2 d ( p , q ) < d ( p , q )
となり矛盾する.p = q p=q p = q
このことから, 収束点列 ( p n ) (p_n) ( p n ) lim ( p n ) \lim(p_n) lim ( p n ) lim n → ∞ p n \lim_{n\to\infty}p_n lim n → ∞ p n
Definition. 同程度連続
距離空間 ( X , d X ) , ( Y , d Y ) (X,d_X),(Y,d_Y) ( X , d X ) , ( Y , d Y ) f = { f λ : X → Y ∣ λ ∈ Λ } f=\{f_\lambda:X\to Y\mid\lambda\in\Lambda\} f = { f λ : X → Y ∣ λ ∈ Λ } f f f 同程度連続 (equicontinuous ) であるとは, 任意の ε > 0 , x ∈ X \varepsilon>0,x\in X ε > 0 , x ∈ X δ > 0 \delta>0 δ > 0 λ ∈ Λ \lambda\in\Lambda λ ∈ Λ x ′ ∈ X x'\in X x ′ ∈ X d X ( x , x ′ ) ≤ δ d_X(x,x')\leq\delta d X ( x , x ′ ) ≤ δ d Y ( f λ ( x ) , f λ ( x ′ ) ) ≤ ε d_Y(f_\lambda(x),f_\lambda(x'))\leq\varepsilon d Y ( f λ ( x ) , f λ ( x ′ )) ≤ ε
Proposition. 同程度連続な写像列の各点収束は連続写像をなす
距離空間 ( X , d X ) , ( Y , d Y ) (X,d_X),(Y,d_Y) ( X , d X ) , ( Y , d Y ) ( f n : X → Y ) (f_n:X\to Y) ( f n : X → Y ) f : X → Y f:X\to Y f : X → Y x ∈ X x\in X x ∈ X f n ( x ) → f ( x ) , ( n → ∞ ) f_n(x)\to f(x),\,(n\to\infty) f n ( x ) → f ( x ) , ( n → ∞ ) f f f
proof.
x 0 ∈ X x_0\in X x 0 ∈ X ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 n n n x x x
d X ( x , x 0 ) ≤ δ ⇒ d Y ( f n ( x ) , f n ( x 0 ) ) ≤ ε / 3
d_X(x,x_0)\leq\delta\Rightarrow d_Y(f_n(x),f_n(x_0))\leq\varepsilon/3
d X ( x , x 0 ) ≤ δ ⇒ d Y ( f n ( x ) , f n ( x 0 )) ≤ ε /3
を満たす δ > 0 \delta>0 δ > 0 d X ( x , x 0 ) ≤ δ d_X(x,x_0)\leq\delta d X ( x , x 0 ) ≤ δ x x x f n ( x ) → f ( x ) f_n(x)\to f(x) f n ( x ) → f ( x ) f n ( x 0 ) → f ( x 0 ) f_n(x_0)\to f(x_0) f n ( x 0 ) → f ( x 0 ) n n n
d Y ( f ( x ) , f n ( x ) ) ≤ ε / 3 , d Y ( f n ( x 0 ) , f ( x 0 ) ) ≤ ε / 3
d_Y(f(x),f_n(x))\leq\varepsilon/3,\qquad
d_Y(f_n(x_0),f(x_0))\leq\varepsilon/3
d Y ( f ( x ) , f n ( x )) ≤ ε /3 , d Y ( f n ( x 0 ) , f ( x 0 )) ≤ ε /3
となる.
d Y ( f ( x ) , f ( x 0 ) ) ≤ d Y ( f ( x ) , f n ( x ) ) + d Y ( f n ( x ) , f n ( x 0 ) ) + d Y ( f n ( x 0 ) , f ( x 0 ) ) ≤ ε
d_Y(f(x),f(x_0))
\leq d_Y(f(x),f_n(x))+d_Y(f_n(x),f_n(x_0))+d_Y(f_n(x_0),f(x_0))
\leq\varepsilon
d Y ( f ( x ) , f ( x 0 )) ≤ d Y ( f ( x ) , f n ( x )) + d Y ( f n ( x ) , f n ( x 0 )) + d Y ( f n ( x 0 ) , f ( x 0 )) ≤ ε
である.f f f x 0 x_0 x 0 x 0 x_0 x 0 f f f
完備性
距離空間 ( X , d ) (X,d) ( X , d ) ( p n ) (p_n) ( p n )
∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N s.t. ∀ m , n ∈ N [ N ≤ m , n ⇒ d ( p m , p n ) ≤ ε ]
\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb N\text{ s.t. }\forall m,n\in\mathbb N[N\leq m,n\Rightarrow d(p_m,p_n)\leq\varepsilon]
∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N s.t. ∀ m , n ∈ N [ N ≤ m , n ⇒ d ( p m , p n ) ≤ ε ]
を満たすとき, ( p n ) (p_n) ( p n ) Cauchy 列 (Cauchy sequence ) という.
Proposition. 収束列は Cauchy 列
収束点列は Cauchy 列となる.
proof.
p n → p p_n\to p p n → p ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 n ≥ N n\geq N n ≥ N d ( p n , p ) ≤ ε / 2 d(p_n,p)\leq\varepsilon/2 d ( p n , p ) ≤ ε /2 N N N m , n ≥ N m,n\geq N m , n ≥ N
d ( p m , p n ) ≤ d ( p m , p ) + d ( p , p n ) ≤ ε 2 + ε 2 = ε
d(p_m,p_n)\leq d(p_m,p)+d(p,p_n)\leq\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
d ( p m , p n ) ≤ d ( p m , p ) + d ( p , p n ) ≤ 2 ε + 2 ε = ε
となる.( p n ) (p_n) ( p n )
距離空間 ( X , d ) (X,d) ( X , d ) ( p n ) (p_n) ( p n ) ( X , d ) (X,d) ( X , d ) 完備 (complete ) といい, 完備な距離空間を 完備距離空間 (complete metric space ) という.
Definition. 完備化
距離空間 ( X , d X ) (X,d_X) ( X , d X ) ( X , d X ) ‾ = ( X ‾ , d X ‾ ) \overline{(X,d_X)}=(\overline{X},\overline{d_X}) ( X , d X ) = ( X , d X ) ι : ( X , d X ) → ( X , d X ) ‾ \iota:(X,d_X)\to\overline{(X,d_X)} ι : ( X , d X ) → ( X , d X )
ι ( X ) \iota(X) ι ( X ) ( X , d X ) ‾ \overline{(X,d_X)} ( X , d X ) 任意の完備距離空間 ( Y , d Y ) (Y,d_Y) ( Y , d Y ) r : ( X , d X ) → ( Y , d Y ) r:(X,d_X)\to(Y,d_Y) r : ( X , d X ) → ( Y , d Y ) r ‾ : ( X , d X ) ‾ → ( Y , d Y ) \overline{r}:\overline{(X,d_X)}\to(Y,d_Y) r : ( X , d X ) → ( Y , d Y ) r = r ‾ ∘ ι r=\overline{r}\circ\iota r = r ∘ ι
このとき, 組 ( ( X , d X ) ‾ , ι ) (\overline{(X,d_X)},\iota) ( ( X , d X ) , ι ) ( X , d X ) (X,d_X) ( X , d X ) 完備化 (completion ) という.
Theorem. 完備化の一意性
距離空間 ( X , d X ) (X,d_X) ( X , d X ) ( C , ι ) , ( C ′ , ι ′ ) (C,\iota), (C',\iota') ( C , ι ) , ( C ′ , ι ′ ) ι ′ = f ∘ ι \iota'=f\circ\iota ι ′ = f ∘ ι f : C → C ′ f:C\to C' f : C → C ′
proof.
完備化の普遍性を ι ′ : X → C ′ \iota':X\to C' ι ′ : X → C ′ f : C → C ′ f:C\to C' f : C → C ′ f ∘ ι = ι ′ f\circ\iota=\iota' f ∘ ι = ι ′ g : C ′ → C g:C'\to C g : C ′ → C g ∘ ι ′ = ι g\circ\iota'=\iota g ∘ ι ′ = ι g ∘ f g\circ f g ∘ f ι ( X ) \iota(X) ι ( X ) g ∘ f = i d C g\circ f=\mathrm{id}_C g ∘ f = id C f ∘ g = i d C ′ f\circ g=\mathrm{id}_{C'} f ∘ g = id C ′ f f f c , d ∈ C c,d\in C c , d ∈ C ι ( X ) \iota(X) ι ( X ) ι ( x n ) → c \iota(x_n)\to c ι ( x n ) → c ι ( y n ) → d \iota(y_n)\to d ι ( y n ) → d f ∘ ι = ι ′ f\circ\iota=\iota' f ∘ ι = ι ′
d C ′ ( f ( c ) , f ( d ) ) = lim n d C ′ ( ι ′ ( x n ) , ι ′ ( y n ) ) = lim n d X ( x n , y n ) = d C ( c , d )
d_{C'}(f(c),f(d))
=\lim_n d_{C'}(\iota'(x_n),\iota'(y_n))
=\lim_n d_X(x_n,y_n)
=d_C(c,d)
d C ′ ( f ( c ) , f ( d )) = n lim d C ′ ( ι ′ ( x n ) , ι ′ ( y n )) = n lim d X ( x n , y n ) = d C ( c , d )
となるので, f f f
距離空間 ( X , d ) (X,d) ( X , d ) C C C C C C ∼ \sim ∼
( p n ) ∼ ( q n ) ⟺ def lim n → ∞ d ( p n , q n ) = 0
(p_n)\sim(q_n)\mathrel{\overset{\text{def}}{\iff}}\lim_{n\to\infty}d(p_n,q_n)=0
( p n ) ∼ ( q n ) ⟺ def n → ∞ lim d ( p n , q n ) = 0
と定義すると, ∼ \sim ∼ C C C C / ∼ C/\sim C / ∼ π : C → C / ∼ \pi:C\to C/\sim π : C → C / ∼ ( x , x , … ) (x,x,\ldots) ( x , x , … )
ι : X ⟶ C / ∼ , ι ( x ) = π ( ( x , x , … ) )
\iota:X\longrightarrow C/\sim,\qquad
\iota(x)=\pi((x,x,\ldots))
ι : X ⟶ C / ∼ , ι ( x ) = π (( x , x , … ))
と定める.
Lemma.
写像 d ^ : C / ∼ × C / ∼ → R \hat{d}:C/\sim\times C/\sim\to\mathbb{R} d ^ : C / ∼ × C / ∼→ R ( X , d ) (X,d) ( X , d ) p = ( p n ) , q = ( q n ) p=(p_n),q=(q_n) p = ( p n ) , q = ( q n )
d ^ ( π ( p ) , π ( q ) ) = lim n → ∞ d ( p n , q n )
\hat{d}(\pi(p),\pi(q))=\lim_{n\to\infty}d(p_n,q_n)
d ^ ( π ( p ) , π ( q )) = n → ∞ lim d ( p n , q n )
と定めることができる.
proof.
Cauchy 列 p , q p,q p , q d ( p n , q n ) d(p_n,q_n) d ( p n , q n ) p ∼ p ′ p\sim p' p ∼ p ′ q ∼ q ′ q\sim q' q ∼ q ′
∣ d ( p n , q n ) − d ( p n ′ , q n ′ ) ∣ ≤ d ( p n , p n ′ ) + d ( q n , q n ′ )
|d(p_n,q_n)-d(p'_n,q'_n)|\leq d(p_n,p'_n)+d(q_n,q'_n)
∣ d ( p n , q n ) − d ( p n ′ , q n ′ ) ∣ ≤ d ( p n , p n ′ ) + d ( q n , q n ′ )
であり, 右辺は 0 0 0 d ^ \hat d d ^
Lemma.
d ^ \hat{d} d ^ C / ∼ C/\sim C / ∼
proof.
非負性と対称性は各 d ( p n , q n ) d(p_n,q_n) d ( p n , q n ) n n n d ^ ( π ( p ) , π ( q ) ) = 0 \hat d(\pi(p),\pi(q))=0 d ^ ( π ( p ) , π ( q )) = 0 d ( p n , q n ) → 0 d(p_n,q_n)\to0 d ( p n , q n ) → 0 p ∼ q p\sim q p ∼ q π ( p ) = π ( q ) \pi(p)=\pi(q) π ( p ) = π ( q )
Lemma.
写像 ι : X → C / ∼ \iota:X\to C/\sim ι : X → C / ∼
proof.
x , y ∈ X x,y\in X x , y ∈ X
d ^ ( ι ( x ) , ι ( y ) ) = lim n → ∞ d ( x , y ) = d ( x , y )
\hat d(\iota(x),\iota(y))=\lim_{n\to\infty}d(x,y)=d(x,y)
d ^ ( ι ( x ) , ι ( y )) = n → ∞ lim d ( x , y ) = d ( x , y )
である.ι \iota ι
Lemma.
距離空間 ( C / ∼ , d ^ ) (C/\sim,\hat{d}) ( C / ∼ , d ^ )
proof.
C / ∼ C/\sim C / ∼ ( π ( p k ) ) k ≥ 0 (\pi(p^k))_{k\geq0} ( π ( p k ) ) k ≥ 0
d ^ ( π ( p k ) , π ( p k + 1 ) ) < 2 − k − 2
\hat d(\pi(p^k),\pi(p^{k+1}))<2^{-k-2}
d ^ ( π ( p k ) , π ( p k + 1 )) < 2 − k − 2
となるものとしてよい.k k k m k m_k m k m k m_k m k p k p^k p k p k + 1 p^{k+1} p k + 1 2 − k − 3 2^{-k-3} 2 − k − 3 m k + 1 > m k m_{k+1}>m_k m k + 1 > m k p k + 1 p^{k+1} p k + 1 m k m_k m k 2 − k − 3 2^{-k-3} 2 − k − 3 q k = p m k k q_k=p^k_{m_k} q k = p m k k d ( q k , q k + 1 ) < 2 − k − 2 d(q_k,q_{k+1})<2^{-k-2} d ( q k , q k + 1 ) < 2 − k − 2 r > s r>s r > s
d ( q s , q r ) < ∑ k = s r − 1 2 − k − 2 + 2 − s − 1 < 2 − s
d(q_s,q_r)<\sum_{k=s}^{r-1}2^{-k-2}+2^{-s-1}<2^{-s}
d ( q s , q r ) < k = s ∑ r − 1 2 − k − 2 + 2 − s − 1 < 2 − s
となる.( q k ) (q_k) ( q k ) X X X p k p^k p k q q q
d ^ ( π ( q ) , π ( p k ) ) ≤ 2 − k
\hat d(\pi(q),\pi(p^k))\leq 2^{-k}
d ^ ( π ( q ) , π ( p k )) ≤ 2 − k
を得る.π ( q ) \pi(q) π ( q ) ( π ( p k ) ) (\pi(p^k)) ( π ( p k )) C / ∼ C/\sim C / ∼
Theorem. 完備化の存在性
距離空間 ( C / ∼ , d ^ ) (C/\sim,\hat{d}) ( C / ∼ , d ^ ) ι : X → C / ∼ \iota:X\to C/\sim ι : X → C / ∼ ( ( C / ∼ , d ^ ) , ι ) ((C/\sim,\hat{d}),\iota) (( C / ∼ , d ^ ) , ι ) ( X , d X ) (X,d_X) ( X , d X )
proof.
前の補題により C / ∼ C/\sim C / ∼ ι \iota ι p = ( p n ) p=(p_n) p = ( p n ) d ^ ( ι ( p n ) , π ( p ) ) → 0 \hat d(\iota(p_n),\pi(p))\to0 d ^ ( ι ( p n ) , π ( p )) → 0 ι ( X ) \iota(X) ι ( X ) Y Y Y r : X → Y r:X\to Y r : X → Y r ‾ ( π ( p ) ) = lim n r ( p n ) \overline r(\pi(p))=\lim_n r(p_n) r ( π ( p )) = lim n r ( p n ) r r r Y Y Y
Proposition. 極限写像の定義域の拡張
距離空間 ( X , d X ) (X,d_X) ( X , d X ) ( Y , d Y ) (Y,d_Y) ( Y , d Y ) ( f n : X → Y ) (f_n:X\to Y) ( f n : X → Y ) ( X , d X ) (X,d_X) ( X , d X ) D D D x ∈ X x\in X x ∈ X Y Y Y ( f n ( x ) ) (f_n(x)) ( f n ( x )) ( f n ( x ) ) (f_n(x)) ( f n ( x )) x ∈ X x\in X x ∈ X
proof.
x ∈ X x\in X x ∈ X ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 n n n
d X ( x , z ) < δ ⟹ d Y ( f n ( x ) , f n ( z ) ) < ε / 3
d_X(x,z)<\delta\Longrightarrow d_Y(f_n(x),f_n(z))<\varepsilon/3
d X ( x , z ) < δ ⟹ d Y ( f n ( x ) , f n ( z )) < ε /3
を満たす δ > 0 \delta>0 δ > 0 D D D d X ( x , z ) < δ d_X(x,z)<\delta d X ( x , z ) < δ z ∈ D z\in D z ∈ D ( f n ( z ) ) (f_n(z)) ( f n ( z )) m , n m,n m , n d Y ( f m ( z ) , f n ( z ) ) < ε / 3 d_Y(f_m(z),f_n(z))<\varepsilon/3 d Y ( f m ( z ) , f n ( z )) < ε /3
d Y ( f m ( x ) , f n ( x ) ) ≤ d Y ( f m ( x ) , f m ( z ) ) + d Y ( f m ( z ) , f n ( z ) ) + d Y ( f n ( z ) , f n ( x ) ) < ε
d_Y(f_m(x),f_n(x))
\leq d_Y(f_m(x),f_m(z))+d_Y(f_m(z),f_n(z))+d_Y(f_n(z),f_n(x))
<\varepsilon
d Y ( f m ( x ) , f n ( x )) ≤ d Y ( f m ( x ) , f m ( z )) + d Y ( f m ( z ) , f n ( z )) + d Y ( f n ( z ) , f n ( x )) < ε
となる.( f n ( x ) ) (f_n(x)) ( f n ( x )) Y Y Y f f f f f f
位相空間と連続写像
距離が与えられない集合でも, 各点の近傍を指定すれば連続性と収束を定められる.
位相構造
Definition. 近傍系
集合 X X X (neighbourhood system on a set X X X ) とは, 写像
N : X → Fil ( X )
\mathcal{N}:X\to\operatorname{Fil}(X)
N : X → Fil ( X )
であって, 各 x ∈ X x\in X x ∈ X
任意の U ∈ N ( x ) U\in\mathcal{N}(x) U ∈ N ( x )
x ∈ U .
x\in U.
x ∈ U .
任意の U ∈ N ( x ) U\in\mathcal{N}(x) U ∈ N ( x )
N − 1 ( U ) = { y ∈ X ∣ U ∈ N ( y ) } ∈ N ( x )
\mathcal{N}^{-1}(U)=\{y\in X\mid U\in\mathcal{N}(y)\}\in\mathcal{N}(x)
N − 1 ( U ) = { y ∈ X ∣ U ∈ N ( y )} ∈ N ( x )
ただし Fil ( X ) \operatorname{Fil}(X) Fil ( X ) X X X
集合 X X X N \mathcal{N} N
( X , N )
(X,\mathcal{N})
( X , N )
を 位相空間 (topological space ) といい, X X X 台集合 (underlying set ) という.X X X X 0 X_0 X 0 N X \mathcal{N}_X N X
Remark.
条件 2 は, 任意の U ∈ N ( x ) U\in\mathcal{N}(x) U ∈ N ( x ) V ∈ N ( x ) V\in\mathcal N(x) V ∈ N ( x )
∀ y ∈ V , U ∈ N ( y )
\forall y\in V,\quad U\in\mathcal{N}(y)
∀ y ∈ V , U ∈ N ( y )
となることと同値である.
Definition. 近傍系の比較
集合 X X X u , U \mathcal{u},\mathcal{U} u , U x ∈ X x\in X x ∈ X u ( x ) ⊆ U ( x ) \mathcal{u}(x)\subseteq\mathcal{U}(x) u ( x ) ⊆ U ( x ) U \mathcal{U} U u \mathcal{u} u 強い (strong ) といい, u \mathcal{u} u U \mathcal{U} U 弱い (weak ) という.
Example. 離散位相と密着位相
集合 X X X
N d i s ( x ) ≔ U ⊆ X ∣ x ∈ U
\mathcal{N}_{\mathrm{dis}}(x)\coloneqq{U\subseteq X\mid x\in U}
N dis ( x ) : = U ⊆ X ∣ x ∈ U
であり, これによって定まる位相を 離散位相 (discrete topology ) という.
他方, 集合 X X X
N i n d ( x ) ≔ X
\mathcal{N}_{\mathrm{ind}}(x)\coloneqq{X}
N ind ( x ) : = X
であり, これによって定まる位相を 密着位相 (indiscrete topology ) という.
Example. 補有限位相と補可算位相
集合 X X X
O c o f = { ∅ } ∪ { U ⊆ X ∣ X ∖ U is finite }
\mathbf{O}_{\mathrm{cof}}=\{\emptyset\}\cup\{U\subseteq X\mid X\setminus U\text{ is finite}\}
O cof = { ∅ } ∪ { U ⊆ X ∣ X ∖ U is finite }
を 補有限位相 (cofinite topology ) と呼ぶ.
O c o c = { ∅ } ∪ { U ⊆ X ∣ X ∖ U is countable }
\mathbf{O}_{\mathrm{coc}}=\{\emptyset\}\cup\{U\subseteq X\mid X\setminus U\text{ is countable}\}
O coc = { ∅ } ∪ { U ⊆ X ∣ X ∖ U is countable }
を 補可算位相 (cocountable topology ) と呼ぶ.
Proposition. 補有限位相と補可算位相の分離性
無限集合 X X X X X X T 1 T_1 T 1 X X X X X X T 1 T_1 T 1
proof.
一点集合の補集合は有限集合であり, 補有限位相では閉集合である.T 1 T_1 T 1 X X X
Definition. 近傍基
集合 X X X (neighbourhood basis on a set X X X ) とは, 写像
N : X → FilB ( X )
\mathcal{N}:X\to\operatorname{FilB}(X)
N : X → FilB ( X )
であって, 各 x ∈ X x\in X x ∈ X
任意の U ∈ N ( x ) U\in\mathcal{N}(x) U ∈ N ( x )
x ∈ U .
x\in U.
x ∈ U .
任意の U ∈ N ( x ) U\in\mathcal{N}(x) U ∈ N ( x ) V ∈ N ( x ) V\in\mathcal{N}(x) V ∈ N ( x )
∀ y ∈ V , ∃ W ∈ N ( y ) s.t. W ⊆ U
\forall y\in V,\exists W\in\mathcal{N}(y)\text{ s.t. }W\subseteq U
∀ y ∈ V , ∃ W ∈ N ( y ) s.t. W ⊆ U
ただし FilB ( X ) \operatorname{FilB}(X) FilB ( X ) X X X
Definition. 近傍基の比較
集合 X X X b , B \mathcal{b},\mathcal{B} b , B x ∈ X x\in X x ∈ X
∀ B ∈ b ( x ) , ∃ B ′ ∈ B ( x ) s.t. B ′ ⊆ B
\forall B\in\mathcal{b}(x),\exists B'\in\mathcal{B}(x)\text{ s.t. }B'\subseteq B
∀ B ∈ b ( x ) , ∃ B ′ ∈ B ( x ) s.t. B ′ ⊆ B
であるとき, B \mathcal{B} B b \mathcal{b} b 強い (strong ) といい, b \mathcal{b} b B \mathcal{B} B 弱い (weak ) という.
Proposition. 近傍基の定める近傍
集合 X X X B \mathcal{B} B U : X → 2 2 X \mathcal{U}:X\to2^{2^X} U : X → 2 2 X x ∈ X x\in X x ∈ X U ( x ) \mathcal{U}(x) U ( x ) B ( x ) \mathcal{B}(x) B ( x ) U \mathcal{U} U X X X U \mathcal{U} U B \mathcal{B} B
proof.
近傍基の各元は基点を含むから, 生成されたフィルターの各元も基点を含む.U ∈ U ( x ) U\in\mathcal{U}(x) U ∈ U ( x ) B ∈ B ( x ) B\in\mathcal{B}(x) B ∈ B ( x ) B ⊆ U B\subseteq U B ⊆ U B B B C ∈ B ( x ) C\in\mathcal{B}(x) C ∈ B ( x ) y ∈ C y\in C y ∈ C W y ∈ B ( y ) W_y\in\mathcal{B}(y) W y ∈ B ( y ) W y ⊆ B ⊆ U W_y\subseteq B\subseteq U W y ⊆ B ⊆ U C ∈ U ( x ) C\in\mathcal{U}(x) C ∈ U ( x ) W y ∈ U ( y ) W_y\in\mathcal{U}(y) W y ∈ U ( y )
Proposition. 集合の近傍
集合 X X X U \mathcal{U} U
U [ A ] ≔ ⋂ a ∈ A U ( a ) , A ⊆ X
\mathcal{U}[A]\coloneqq\bigcap_{a\in A}\mathcal{U}(a),\quad A\subseteq X
U [ A ] : = a ∈ A ⋂ U ( a ) , A ⊆ X
とすると, 次がそれぞれ成り立つ.
U [ { x } ] = U ( x ) \mathcal{U}[\{x\}]=\mathcal{U}(x) U [{ x }] = U ( x ) U [ A ] \mathcal{U}[A] U [ A ] X X X 各 U ∈ U [ A ] U\in\mathcal{U}[A] U ∈ U [ A ] A ⊆ U A\subseteq U A ⊆ U
proof.
一点集合についての等式は定義から直ちに従う.U [ A ] \mathcal{U}[A] U [ A ] U ∈ U [ A ] U\in\mathcal{U}[A] U ∈ U [ A ] a ∈ A a\in A a ∈ A U ∈ U ( a ) U\in\mathcal{U}(a) U ∈ U ( a ) a ∈ U a\in U a ∈ U A ⊆ U A\subseteq U A ⊆ U
写像の連続性
Definition. 写像の連続性
位相空間 X , Y X, Y X , Y f : X 0 → Y 0 f:X_0\to Y_0 f : X 0 → Y 0 f f f 点 x 0 ∈ X x_0\in X x 0 ∈ X (continuous at point x 0 ∈ X x_0\in X x 0 ∈ X ) であるとは,
∀ V ∈ N Y ( f ( x 0 ) ) , f − 1 ( V ) ∈ N X ( x 0 )
\forall V\in\mathcal{N}_Y(f(x_0)),\quad f^{-1}(V)\in\mathcal{N}_X(x_0)
∀ V ∈ N Y ( f ( x 0 )) , f − 1 ( V ) ∈ N X ( x 0 )
が成り立つときいう. 特に, 全ての x 0 ∈ X x_0\in X x 0 ∈ X f : X 0 → Y 0 f:X_0\to Y_0 f : X 0 → Y 0 連続写像 (continuous function ) といい,
f : X ⟶ Y
f:X\longrightarrow Y
f : X ⟶ Y
と表す.
以後, 位相空間 X , Y X, Y X , Y X → Y X\to Y X → Y X 0 → Y 0 X_0\to Y_0 X 0 → Y 0
Proposition.
位相空間 X , Y , Z X,Y,Z X , Y , Z f : X → Y , g : Y → Z f:X\to Y, g:Y\to Z f : X → Y , g : Y → Z f f f x 0 ∈ X x_0\in X x 0 ∈ X g g g f ( x 0 ) ∈ Y f(x_0)\in Y f ( x 0 ) ∈ Y g ∘ f : X → Z g\circ f:X\to Z g ∘ f : X → Z x 0 ∈ X x_0\in X x 0 ∈ X f , g f,g f , g g ∘ f g\circ f g ∘ f
proof.
g ( f ( x 0 ) ) g(f(x_0)) g ( f ( x 0 )) W W W g g g f ( x 0 ) f(x_0) f ( x 0 ) f ( x 0 ) ∈ V f(x_0)\in V f ( x 0 ) ∈ V g ( V ) ⊆ W g(V)\subseteq W g ( V ) ⊆ W V V V f f f x 0 x_0 x 0 x 0 ∈ U x_0\in U x 0 ∈ U f ( U ) ⊆ V f(U)\subseteq V f ( U ) ⊆ V U U U ( g ∘ f ) ( U ) ⊆ g ( V ) ⊆ W (g\circ f)(U)\subseteq g(V)\subseteq W ( g ∘ f ) ( U ) ⊆ g ( V ) ⊆ W g ∘ f g\circ f g ∘ f x 0 x_0 x 0
Definition. 同相写像
位相空間 X , Y X,Y X , Y f : X → Y f:X\to Y f : X → Y f f f f − 1 f^{-1} f − 1 f f f 同相写像 (homeomorphism ) という.X , Y X,Y X , Y X X X Y Y Y 同相 (homeomorphic ) であるといい,
X ≅ Y
X\cong Y
X ≅ Y
と表す.
Example. 連続な全単射の逆写像が連続とは限らない例
写像
f : [ 0 , 2 π ) ⟶ S 1 , t ⟼ ( cos t , sin t )
f:[0,2\pi)\longrightarrow S^1,\quad t\longmapsto(\cos t,\sin t)
f : [ 0 , 2 π ) ⟶ S 1 , t ⟼ ( cos t , sin t )
は連続な全単射である.t n = 2 π − 1 / n t_n=2\pi-1/n t n = 2 π − 1/ n f ( t n ) → f ( 0 ) f(t_n)\to f(0) f ( t n ) → f ( 0 ) t n t_n t n 0 0 0 f − 1 f^{-1} f − 1 f ( 0 ) f(0) f ( 0 )
開集合系
Definition. 開集合系
集合 X X X (open sets on a set X X X ) とは, X X X O \mathbf{O} O
∅ , X ∈ O \emptyset,X\in\mathbf{O} ∅ , X ∈ O G , H ∈ O G,H\in\mathbf{O} G , H ∈ O G ∩ H ∈ O G\cap H\in\mathbf{O} G ∩ H ∈ O S ⊆ O \mathbf{S}\subseteq\mathbf{O} S ⊆ O ⋃ S ∈ O \bigcup\mathbf{S}\in\mathbf{O} ⋃ S ∈ O
Definition. 開基
集合 X X X (open basis on a set X X X ) とは, X X X B \mathbf{B} B
X = ⋃ B 0 X=\bigcup\mathbf{B}_0 X = ⋃ B 0 B 0 ⊆ B \mathbf{B}_0\subseteq\mathbf{B} B 0 ⊆ B G , H ∈ B G,H\in\mathbf{B} G , H ∈ B G ∩ H = ⋃ B 0 G\cap H=\bigcup\mathbf{B}_0 G ∩ H = ⋃ B 0 B 0 ⊆ B \mathbf{B}_0\subseteq\mathbf{B} B 0 ⊆ B
Definition. 開基の強弱
集合 X X X B 1 , B 2 \mathbf{B}_1,\mathbf{B}_2 B 1 , B 2
∀ G ∈ B 1 , ∃ H ∈ B 2 s.t. H ⊆ G
\forall G\in\mathbf{B}_1,\exists H\in\mathbf{B}_2\text{ s.t. }H\subseteq G
∀ G ∈ B 1 , ∃ H ∈ B 2 s.t. H ⊆ G
を満たすとき, B 2 \mathbf{B}_2 B 2 B 1 \mathbf{B}_1 B 1 強い (strong ) といい, B 1 \mathbf{B}_1 B 1 B 2 \mathbf{B}_2 B 2 弱い (weak ) という.
Proposition. 部分集合族から開基の生成
集合 X X X S \mathbf{S} S
B ≔ { ⋂ i = 1 N S i | S i ∈ S ( 1 ≤ i ≤ N ) , N ∈ Z ≥ 0 } , ⋂ i = 1 0 S i ≔ X
\mathbf{B}\coloneqq\left\{\bigcap_{i=1}^{N}S_i\mathrel{}\middle|\mathrel{}S_i\in\mathbf{S}\ (1\leq i\leq N),\ N\in\mathbf{Z}_{\geq0}\right\},
\qquad \bigcap_{i=1}^{0}S_i\coloneqq X
B : = { i = 1 ⋂ N S i S i ∈ S ( 1 ≤ i ≤ N ) , N ∈ Z ≥ 0 } , i = 1 ⋂ 0 S i : = X
は X X X S \mathbf{S} S B \mathbf{B} B S \mathbf{S} S B \mathbf{B} B S \mathbf{S} S
proof.
空交叉を許せば X ∈ B X\in\mathbf{B} X ∈ B B \mathbf{B} B X X X B \mathbf{B} B S \mathbf{S} S B \mathbf{B} B B \mathbf{B} B S \mathbf{S} S S \mathbf{S} S B \mathbf{B} B S \mathbf{S} S
Proposition. 開基から開集合系の生成
集合 X X X B \mathbf{B} B
O ≔ { ⋃ B ′ | B ′ ⊆ B }
\mathbf{O}\coloneqq\left\{\bigcup\mathbf{B}'\mathrel{}\middle|\mathrel{}\mathbf{B}'\subseteq\mathbf{B}\right\}
O : = { ⋃ B ′ B ′ ⊆ B }
は X X X B \mathbf{B} B O = B \mathbf{O}=\mathbf{B} O = B O \mathbf{O} O B \mathbf{B} B
proof.
∅ \emptyset ∅ X X X O \mathbf{O} O U = ⋃ B 1 U=\bigcup\mathbf{B}_1 U = ⋃ B 1 V = ⋃ B 2 V=\bigcup\mathbf{B}_2 V = ⋃ B 2 B 1 ∩ B 2 B_1\cap B_2 B 1 ∩ B 2 B \mathbf{B} B U ∩ V = ⋃ B 1 ∈ B 1 , B 2 ∈ B 2 ( B 1 ∩ B 2 ) U\cap V=\bigcup_{B_1\in\mathbf{B}_1,B_2\in\mathbf{B}_2}(B_1\cap B_2) U ∩ V = ⋃ B 1 ∈ B 1 , B 2 ∈ B 2 ( B 1 ∩ B 2 ) B \mathbf{B} B O \mathbf{O} O
集合 X X X S \mathbf{S} S B \mathbf{B} B S \mathbf{S} S O \mathbf{O} O B \mathbf{B} B O \mathbf{O} O S \mathbf{S} S
Proposition.
集合 X X X S \mathbf{S} S O \mathbf{O} O S \mathbf{S} S
proof.
S \mathbf{S} S O \mathbf{O} O S ⊆ O ′ \mathbf{S}\subseteq\mathbf{O}' S ⊆ O ′ O ′ \mathbf{O}' O ′ O ′ \mathbf{O}' O ′ O \mathbf{O} O O ⊆ O ′ \mathbf{O}\subseteq\mathbf{O}' O ⊆ O ′ O \mathbf{O} O 近傍基の定める開基
集合 X X X B \mathcal{B} B U \mathcal{U} U X X X β \beta β
β ≔ { B ⊆ X ∣ ∀ x ∈ B , B ∈ U ( x ) }
\beta\coloneqq\{B\subseteq X\mid\forall x\in B,B\in\mathcal{U}(x)\}
β : = { B ⊆ X ∣ ∀ x ∈ B , B ∈ U ( x )}
とすると, β \beta β X X X β \beta β B \mathcal{B} B
proof.
x ∈ X x\in X x ∈ X U ∈ U ( x ) U\in\mathcal{U}(x) U ∈ U ( x ) V ∈ U ( x ) V\in\mathcal{U}(x) V ∈ U ( x ) y ∈ V y\in V y ∈ V U ∈ U ( y ) U\in\mathcal{U}(y) U ∈ U ( y ) G ≔ { y ∈ X ∣ U ∈ U ( y ) } G\coloneqq\{y\in X\mid U\in\mathcal{U}(y)\} G : = { y ∈ X ∣ U ∈ U ( y )} V ⊆ G V\subseteq G V ⊆ G G ∈ U ( x ) G\in\mathcal{U}(x) G ∈ U ( x ) y ∈ G y\in G y ∈ G U ∈ U ( y ) U\in\mathcal{U}(y) U ∈ U ( y ) W ∈ U ( y ) W\in\mathcal{U}(y) W ∈ U ( y ) W ⊆ G W\subseteq G W ⊆ G G ∈ U ( y ) G\in\mathcal{U}(y) G ∈ U ( y ) G ∈ β G\in\beta G ∈ β β \beta β U ( x ) \mathcal{U}(x) U ( x ) β \beta β β \beta β U \mathcal{U} U
Proposition. 開基の定める近傍基
集合 X X X β \beta β B : X → 2 2 X \mathcal{B}:X\to2^{2^X} B : X → 2 2 X
B ( x ) ≔ { B ∈ β ∣ x ∈ B } , x ∈ X
\mathcal{B}(x)\coloneqq\{B\in\beta\mid x\in B\},\quad x\in X
B ( x ) : = { B ∈ β ∣ x ∈ B } , x ∈ X
とすると, B \mathcal{B} B X X X β \beta β B \mathcal{B} B
proof.
開基が X X X B ( x ) \mathcal{B}(x) B ( x ) B 1 , B 2 ∈ B ( x ) B_1,B_2\in\mathcal{B}(x) B 1 , B 2 ∈ B ( x ) x x x B 1 ∩ B 2 B_1\cap B_2 B 1 ∩ B 2 B ( x ) \mathcal{B}(x) B ( x ) B ∈ B ( x ) B\in\mathcal{B}(x) B ∈ B ( x ) B B B y ∈ B y\in B y ∈ B B ∈ B ( y ) B\in\mathcal{B}(y) B ∈ B ( y ) β \beta β
位相空間 X X X X 0 X_0 X 0 O \mathbf{O} O O \mathbf{O} O X X X N X \mathcal{N}_X N X O \mathbf{O} O X X X X X X O \mathbf{O} O G ∈ O G\in\mathbf{O} G ∈ O 位相空間 X X X (open set on X X X ) といい, F ∁ = X 0 ∖ F ∈ O F^\complement=X_0\setminus F\in\mathbf{O} F ∁ = X 0 ∖ F ∈ O F F F 位相空間 X X X (closed set on X X X ) という.
Lemma.
位相空間 X , Y X,Y X , Y f : X → Y f:X\to Y f : X → Y x 0 ∈ X x_0\in X x 0 ∈ X
f f f x 0 x_0 x 0 f ( x 0 ) f(x_0) f ( x 0 ) G ⊆ Y G\subseteq Y G ⊆ Y f − 1 ( G ) f^{-1}(G) f − 1 ( G ) x 0 x_0 x 0
proof.
f f f x 0 x_0 x 0 f ( x 0 ) ∈ G f(x_0)\in G f ( x 0 ) ∈ G G G G G G G f ( x 0 ) f(x_0) f ( x 0 ) f − 1 ( G ) f^{-1}(G) f − 1 ( G ) x 0 x_0 x 0
逆に条件 2 を仮定する.f ( x 0 ) f(x_0) f ( x 0 ) V V V f ( x 0 ) ∈ G ⊆ V f(x_0)\in G\subseteq V f ( x 0 ) ∈ G ⊆ V G G G f − 1 ( G ) f^{-1}(G) f − 1 ( G ) x 0 x_0 x 0 f − 1 ( G ) ⊆ f − 1 ( V ) f^{-1}(G)\subseteq f^{-1}(V) f − 1 ( G ) ⊆ f − 1 ( V ) f − 1 ( V ) f^{-1}(V) f − 1 ( V ) x 0 x_0 x 0 f f f x 0 x_0 x 0
Theorem. 連続性の開集合による特徴づけ
位相空間 X , Y X,Y X , Y f : X → Y f:X\to Y f : X → Y
f f f 任意の開集合 G ⊆ Y G\subseteq Y G ⊆ Y f − 1 ( G ) f^{-1}(G) f − 1 ( G ) X X X
proof.
f f f x ∈ X x\in X x ∈ X
逆に条件 2 を仮定する.x ∈ X x\in X x ∈ X f ( x ) f(x) f ( x ) G G G f − 1 ( G ) f^{-1}(G) f − 1 ( G ) x x x x x x f f f x x x x x x f f f
したがって、通常の「開集合の逆像が開集合」という条件は、近傍系による連続性の大域的な特徴づけとして得られる。
部分空間, 開写像, 閉写像, 商写像, 埋め込み
連続性は開集合の逆像を扱う条件である.
Definition. 部分空間
位相空間 X X X S ⊆ X 0 S\subseteq X_0 S ⊆ X 0
O S ≔ { G ∩ S ∣ G ∈ O X }
\mathbf O_S\coloneqq\{G\cap S\mid G\in\mathbf O_X\}
O S : = { G ∩ S ∣ G ∈ O X }
は S S S S S S X X X 部分空間 といい, S S S 部分空間位相 または 相対位相 という.
Definition. 開写像と閉写像
位相空間の間の写像 f : X → Y f:X\to Y f : X → Y G ⊆ X G\subseteq X G ⊆ X f ( G ) f(G) f ( G ) Y Y Y 開写像 (open map ) という.F ⊆ X F\subseteq X F ⊆ X f ( F ) f(F) f ( F ) Y Y Y 閉写像 (closed map ) という.
Definition. 商写像
全射連続写像 q : X → Y q:X\to Y q : X → Y 商写像 (quotient map ) であるとは,
O Y = { G ⊆ Y ∣ q − 1 ( G ) ∈ O X }
\mathbf O_Y=\{G\subseteq Y\mid q^{-1}(G)\in\mathbf O_X\}
O Y = { G ⊆ Y ∣ q − 1 ( G ) ∈ O X }
が成り立つときいう.
Definition. 位相的埋め込み
連続単射 e : X → Y e:X\to Y e : X → Y 位相的埋め込み (topological embedding ) であるとは, e : X → e ( X ) e:X\to e(X) e : X → e ( X ) e ( X ) e(X) e ( X ) Y Y Y
Proposition. 埋め込みと商写像の特徴づけ
位相空間 X , Y X,Y X , Y f : X → Y f:X\to Y f : X → Y
f f f f f f
O Y = { G ⊆ Y ∣ f − 1 ( G ) ∈ O X }
\mathbf O_Y=\{G\subseteq Y\mid f^{-1}(G)\in\mathbf O_X\}
O Y = { G ⊆ Y ∣ f − 1 ( G ) ∈ O X }
が成り立つことは同値である.
f f f f f f
O X = { f − 1 ( G ) ∣ G ∈ O Y }
\mathbf O_X=\{f^{-1}(G)\mid G\in\mathbf O_Y\}
O X = { f − 1 ( G ) ∣ G ∈ O Y }
が成り立つことは同値である.
proof.
f f f
O Y = { G ⊆ Y ∣ f − 1 ( G ) ∈ O X }
\mathbf O_Y=\{G\subseteq Y\mid f^{-1}(G)\in\mathbf O_X\}
O Y = { G ⊆ Y ∣ f − 1 ( G ) ∈ O X }
を要求する.f f f f f f f : X → f ( X ) f:X\to f(X) f : X → f ( X ) U ∈ O X U\in\mathbf O_X U ∈ O X f ( U ) f(U) f ( U ) f ( X ) f(X) f ( X ) G ∈ O Y G\in\mathbf O_Y G ∈ O Y f ( U ) = G ∩ f ( X ) f(U)=G\cap f(X) f ( U ) = G ∩ f ( X ) U = f − 1 ( G ) U=f^{-1}(G) U = f − 1 ( G ) O X ⊆ { f − 1 ( G ) ∣ G ∈ O Y } \mathbf O_X\subseteq\{f^{-1}(G)\mid G\in\mathbf O_Y\} O X ⊆ { f − 1 ( G ) ∣ G ∈ O Y } G ∈ O Y G\in\mathbf O_Y G ∈ O Y f − 1 ( G ) f^{-1}(G) f − 1 ( G ) f f f X X X f f f f : X → f ( X ) f:X\to f(X) f : X → f ( X ) U ∈ O X U\in\mathbf O_X U ∈ O X U = f − 1 ( G ) U=f^{-1}(G) U = f − 1 ( G ) G ∈ O Y G\in\mathbf O_Y G ∈ O Y f ( U ) = G ∩ f ( X ) f(U)=G\cap f(X) f ( U ) = G ∩ f ( X ) f ( U ) f(U) f ( U ) f ( X ) f(X) f ( X ) f : X → f ( X ) f:X\to f(X) f : X → f ( X ) f : X → f ( X ) f:X\to f(X) f : X → f ( X ) f f f
Proposition. 開写像または閉写像による同相性
全単射な連続写像 f : X → Y f:X\to Y f : X → Y f f f
Proof.
f f f Y Y Y G G G f − 1 ( G ) f^{-1}(G) f − 1 ( G ) f − 1 f^{-1} f − 1 f ( f − 1 ( G ) ) = G f(f^{-1}(G))=G f ( f − 1 ( G )) = G f − 1 f^{-1} f − 1 f f f Y Y Y X X X f f f f f f
開核と閉包
Definition. 開核作用素
集合 X X X (interior operator on a set X X X ) とは, 写像 i : 2 X → 2 X i:2^X\to2^X i : 2 X → 2 X
i ( X ) = X i(X)=X i ( X ) = X 任意の A ∈ 2 X A\in 2^X A ∈ 2 X i ( A ) ⊆ A i(A)\subseteq A i ( A ) ⊆ A
任意の A ∈ 2 X A\in 2^X A ∈ 2 X i ( i ( A ) ) = i ( A ) i(i(A))=i(A) i ( i ( A )) = i ( A )
任意の A , B ∈ 2 X A,B\in2^X A , B ∈ 2 X i ( A ∩ B ) = i ( A ) ∩ i ( B ) i(A\cap B)=i(A)\cap i(B) i ( A ∩ B ) = i ( A ) ∩ i ( B )
Theorem. 開核作用素の定める位相構造
集合 X X X i i i X X X N : X → Fil ( X ) \mathcal{N}:X\to\operatorname{Fil}(X) N : X → Fil ( X )
N ( x ) ≔ { U ⊆ X ∣ x ∈ i ( U ) }
\mathcal{N}(x)\coloneqq\{U\subseteq X\mid x\in i(U)\}
N ( x ) : = { U ⊆ X ∣ x ∈ i ( U )}
とすると, N \mathcal{N} N X X X N \mathcal{N} N i i i ( X , N ) (X,\mathcal{N}) ( X , N ) i i i
proof.
まず i i i A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B A = A ∩ B A=A\cap B A = A ∩ B i ( A ) = i ( A ) ∩ i ( B ) ⊆ i ( B ) i(A)=i(A)\cap i(B)\subseteq i(B) i ( A ) = i ( A ) ∩ i ( B ) ⊆ i ( B ) i ( X ) = X i(X)=X i ( X ) = X X ∈ N ( x ) X\in\mathcal{N}(x) X ∈ N ( x ) U , V ∈ N ( x ) U,V\in\mathcal{N}(x) U , V ∈ N ( x ) x ∈ i ( U ) ∩ i ( V ) = i ( U ∩ V ) x\in i(U)\cap i(V)=i(U\cap V) x ∈ i ( U ) ∩ i ( V ) = i ( U ∩ V ) U ∩ V ∈ N ( x ) U\cap V\in\mathcal{N}(x) U ∩ V ∈ N ( x ) U ∈ N ( x ) U\in\mathcal{N}(x) U ∈ N ( x ) U ⊆ V U\subseteq V U ⊆ V x ∈ i ( V ) x\in i(V) x ∈ i ( V ) x ∈ i ( U ) x\in i(U) x ∈ i ( U ) i ( U ) ⊆ U i(U)\subseteq U i ( U ) ⊆ U x ∈ U x\in U x ∈ U U ∈ N ( x ) U\in\mathcal{N}(x) U ∈ N ( x ) i ( U ) ∈ N ( x ) i(U)\in\mathcal{N}(x) i ( U ) ∈ N ( x ) y ∈ i ( U ) y\in i(U) y ∈ i ( U ) i ( U ) ⊆ U i(U)\subseteq U i ( U ) ⊆ U U ∈ N ( y ) U\in\mathcal{N}(y) U ∈ N ( y )
Definition. 閉包作用素
集合 X X X (closure operator on a set X X X ) とは, 写像 c : 2 X → 2 X c:2^X\to2^X c : 2 X → 2 X
c ( ∅ ) = ∅ c(\emptyset)=\emptyset c ( ∅ ) = ∅ 任意の A ∈ 2 X A\in 2^X A ∈ 2 X A ⊆ c ( A ) A\subseteq c(A) A ⊆ c ( A )
任意の A ∈ 2 X A\in 2^X A ∈ 2 X c ( c ( A ) ) = c ( A ) c(c(A))=c(A) c ( c ( A )) = c ( A )
任意の A , B ∈ 2 X A,B\in2^X A , B ∈ 2 X c ( A ∪ B ) = c ( A ) ∪ c ( B ) c(A\cup B)=c(A)\cup c(B) c ( A ∪ B ) = c ( A ) ∪ c ( B )
Proposition. 開核作用素と閉包作用素の関係
集合 X X X c c c i : 2 X → 2 X i:2^X\to2^X i : 2 X → 2 X
i ( A ) = X ∖ c ( X ∖ A ) , A ∈ 2 X
i(A)=X\setminus c(X\setminus A),\quad A\in2^X
i ( A ) = X ∖ c ( X ∖ A ) , A ∈ 2 X
とすると, i i i X X X i i i c c c
proof.
c ( ∅ ) = ∅ c(\emptyset)=\emptyset c ( ∅ ) = ∅ i ( X ) = X ∖ c ( ∅ ) = X i(X)=X\setminus c(\emptyset)=X i ( X ) = X ∖ c ( ∅ ) = X X ∖ A ⊆ c ( X ∖ A ) X\setminus A\subseteq c(X\setminus A) X ∖ A ⊆ c ( X ∖ A ) i ( A ) ⊆ A i(A)\subseteq A i ( A ) ⊆ A
i ( i ( A ) ) = X ∖ c ( X ∖ ( X ∖ c ( X ∖ A ) ) ) = X ∖ c ( c ( X ∖ A ) ) = i ( A )
i(i(A))=X\setminus c\bigl(X\setminus(X\setminus c(X\setminus A))\bigr)
=X\setminus c(c(X\setminus A))=i(A)
i ( i ( A )) = X ∖ c ( X ∖ ( X ∖ c ( X ∖ A )) ) = X ∖ c ( c ( X ∖ A )) = i ( A )
となる.
i ( A ∩ B ) = X ∖ c ( ( X ∖ A ) ∪ ( X ∖ B ) ) = X ∖ ( c ( X ∖ A ) ∪ c ( X ∖ B ) ) = i ( A ) ∩ i ( B ) .
\begin{aligned}
i(A\cap B)
&=X\setminus c((X\setminus A)\cup(X\setminus B))\\
&=X\setminus\bigl(c(X\setminus A)\cup c(X\setminus B)\bigr)\\
&=i(A)\cap i(B).
\end{aligned}
i ( A ∩ B ) = X ∖ c (( X ∖ A ) ∪ ( X ∖ B )) = X ∖ ( c ( X ∖ A ) ∪ c ( X ∖ B ) ) = i ( A ) ∩ i ( B ) .
よって i i i
X X X c c c c c c i i i i i i c c c
Theorem. 位相構造の定める開核作用素
集合 X X X N \mathcal{N} N ( − ) ∘ : 2 X → 2 X (-)^\circ:2^X\to2^X ( − ) ∘ : 2 X → 2 X
A ∘ ≔ { x ∈ X ∣ A ∈ N ( x ) }
A^\circ\coloneqq\{x\in X\mid A\in\mathcal{N}(x)\}
A ∘ : = { x ∈ X ∣ A ∈ N ( x )}
とすると, ( − ) ∘ (-)^\circ ( − ) ∘ X X X ( − ) ∘ (-)^\circ ( − ) ∘ N \mathcal{N} N ( − ) ∘ (-)^\circ ( − ) ∘ ( X , N ) (X,\mathcal{N}) ( X , N )
proof.
X ∈ N ( x ) X\in\mathcal{N}(x) X ∈ N ( x ) x x x X ∘ = X X^\circ=X X ∘ = X x ∈ A ∘ x\in A^\circ x ∈ A ∘ A ∈ N ( x ) A\in\mathcal{N}(x) A ∈ N ( x ) x ∈ A x\in A x ∈ A A ∘ ⊆ A A^\circ\subseteq A A ∘ ⊆ A x ∈ A ∘ x\in A^\circ x ∈ A ∘ V ∈ N ( x ) V\in\mathcal{N}(x) V ∈ N ( x ) y ∈ V y\in V y ∈ V A ∈ N ( y ) A\in\mathcal{N}(y) A ∈ N ( y ) V ⊆ A ∘ V\subseteq A^\circ V ⊆ A ∘ A ∘ ∈ N ( x ) A^\circ\in\mathcal{N}(x) A ∘ ∈ N ( x ) x ∈ ( A ∘ ) ∘ x\in(A^\circ)^\circ x ∈ ( A ∘ ) ∘ A ∘ ⊆ A A^\circ\subseteq A A ∘ ⊆ A A ∩ B ∈ N ( x ) A\cap B\in\mathcal{N}(x) A ∩ B ∈ N ( x ) A , B ∈ N ( x ) A,B\in\mathcal{N}(x) A , B ∈ N ( x ) ( A ∩ B ) ∘ = A ∘ ∩ B ∘ (A\cap B)^\circ=A^\circ\cap B^\circ ( A ∩ B ) ∘ = A ∘ ∩ B ∘ i ( A ) = A ∘ i(A)=A^\circ i ( A ) = A ∘ A ∈ N ( x ) A\in\mathcal{N}(x) A ∈ N ( x ) x ∈ i ( A ) x\in i(A) x ∈ i ( A ) N \mathcal{N} N
位相空間 X X X x ∈ X x\in X x ∈ X A ⊆ X A\subseteq X A ⊆ X 内点 (interior point ) であるとは, x ∈ A ∘ x\in A^\circ x ∈ A ∘ x x x A ∁ = X ∖ A A^\complement=X\setminus A A ∁ = X ∖ A x x x A A A 外点 (exterior point ) という.x x x A A A x x x A A A 境界点 (boundary point ) という.
Theorem. 位相構造の定める閉包作用素
集合 X X X N \mathcal{N} N ( − ) ‾ : 2 X → 2 X \overline{(-)}:2^X\to2^X ( − ) : 2 X → 2 X
A ‾ ≔ { x ∈ X ∣ ∀ U ∈ N ( x ) , U ∩ A ≠ ∅ }
\overline{A}\coloneqq\{x\in X\mid\forall U\in\mathcal{N}(x),U\cap A\neq\emptyset\}
A : = { x ∈ X ∣ ∀ U ∈ N ( x ) , U ∩ A = ∅ }
とすると, ( − ) ‾ \overline{(-)} ( − ) X X X ( − ) ‾ \overline{(-)} ( − ) N \mathcal{N} N ( − ) ‾ \overline{(-)} ( − ) ( X , N ) (X,\mathcal{N}) ( X , N )
proof.
空集合はどの近傍とも交わらないから ∅ ‾ = ∅ \overline{\emptyset}=\emptyset ∅ = ∅ x ∈ A x\in A x ∈ A x x x x x x A A A A ⊆ A ‾ A\subseteq\overline{A} A ⊆ A x ∉ A ‾ x\notin\overline{A} x ∈ / A A A A U ∈ N ( x ) U\in\mathcal{N}(x) U ∈ N ( x ) V ∈ N ( x ) V\in\mathcal{N}(x) V ∈ N ( x ) y ∈ V y\in V y ∈ V U ∈ N ( y ) U\in\mathcal{N}(y) U ∈ N ( y ) V ∩ A ‾ = ∅ V\cap\overline{A}=\emptyset V ∩ A = ∅ y ∈ V y\in V y ∈ V U U U y y y U ∩ A = ∅ U\cap A=\emptyset U ∩ A = ∅ y ∉ A ‾ y\notin\overline{A} y ∈ / A x ∉ A ‾ ‾ x\notin\overline{\overline{A}} x ∈ / A x ∉ A ‾ x\notin\overline{A} x ∈ / A x ∉ B ‾ x\notin\overline{B} x ∈ / B A , B A,B A , B x x x U , V U,V U , V U ∩ V U\cap V U ∩ V A ∪ B A\cup B A ∪ B A ∪ B ‾ ⊆ A ‾ ∪ B ‾ \overline{A\cup B}\subseteq\overline{A}\cup\overline{B} A ∪ B ⊆ A ∪ B i ( U ) = X ∖ X ∖ U ‾ i(U)=X\setminus\overline{X\setminus U} i ( U ) = X ∖ X ∖ U x ∈ i ( U ) x\in i(U) x ∈ i ( U ) X ∖ U X\setminus U X ∖ U x x x U ∈ N ( x ) U\in\mathcal{N}(x) U ∈ N ( x ) N \mathcal{N} N
位相空間 X X X x ∈ X x\in X x ∈ X A ⊆ X A\subseteq X A ⊆ X 触点 (adherent point ) であるとは, x ∈ A ‾ x\in\overline{A} x ∈ A x x x A ∖ { x } A\setminus\{x\} A ∖ { x } x x x A A A 集積点 (accumulation point ) という.x x x A A A x x x A A A 孤立点 (isolated point ) という.
Definition.
位相空間 X X X A ∈ 2 X A\in2^X A ∈ 2 X ∂ A \partial A ∂ A A A A
Proposition.
このとき, 次がそれぞれ成り立つ.
A ‾ = A ∘ ⊔ ∂ A \overline{A}=A^\circ\sqcup\partial{A} A = A ∘ ⊔ ∂ A ∂ A = A ‾ ∩ A ∁ ‾ \partial{A}=\overline{A}\cap\overline{A^\complement} ∂ A = A ∩ A ∁ A ∩ B ‾ ⊆ A ‾ ∩ B ‾ \overline{A\cap B}\subseteq\overline{A}\cap\overline{B} A ∩ B ⊆ A ∩ B ∂ A ∩ ∂ B = ∅ \partial{A}\cap\partial{B}=\emptyset ∂ A ∩ ∂ B = ∅
proof. 境界の定義から ∂ A = A ‾ ∖ A ∘ \partial A=\overline A\setminus A^\circ ∂ A = A ∖ A ∘ A ∘ ⊆ A ‾ A^\circ\subseteq\overline A A ∘ ⊆ A x ∈ ∂ A x\in\partial A x ∈ ∂ A x x x A A A A ∁ A^\complement A ∁ A ∩ B ‾ ⊆ A ‾ ∩ B ‾ \overline{A\cap B}\subseteq\overline A\cap\overline B A ∩ B ⊆ A ∩ B x ∈ A ‾ ∩ B ‾ x\in\overline A\cap\overline B x ∈ A ∩ B ∂ A ∩ ∂ B = ∅ \partial A\cap\partial B=\emptyset ∂ A ∩ ∂ B = ∅ x x x A A A B B B x x x A ∩ B A\cap B A ∩ B x ∈ A ∩ B ‾ x\in\overline{A\cap B} x ∈ A ∩ B
距離の誘導する位相
Definition. 開球
距離空間 X X X x ∈ X x\in X x ∈ X r > 0 r>0 r > 0
B r ( x ) ≔ { y ∈ X ∣ d X ( x , y ) < r }
B_r(x)\coloneqq\{y\in X\mid d_X(x,y) < r\}
B r ( x ) : = { y ∈ X ∣ d X ( x , y ) < r }
を, 点 x x x r r r (open ball of radius r r r x x x ) という.
Proposition. 距離の定める位相構造
距離空間 X X X X X X B \mathcal{B} B
B ( x ) ≔ { B r ( x ) ∣ r > 0 } , x ∈ X
\mathcal{B}(x)\coloneqq\{B_r(x)\mid r>0\},\quad x\in X
B ( x ) : = { B r ( x ) ∣ r > 0 } , x ∈ X
を満たすものが存在する.
proof.
各 x x x x x x B r ( x ) , B s ( x ) B_r(x),B_s(x) B r ( x ) , B s ( x ) t = min ( r , s ) > 0 t=\min(r,s)>0 t = min ( r , s ) > 0
B t ( x ) ⊆ B r ( x ) ∩ B s ( x )
B_t(x)\subseteq B_r(x)\cap B_s(x)
B t ( x ) ⊆ B r ( x ) ∩ B s ( x )
である.y ∈ B r ( x ) y\in B_r(x) y ∈ B r ( x ) s = r − d ( x , y ) > 0 s=r-d(x,y)>0 s = r − d ( x , y ) > 0
B s ( y ) ⊆ B r ( x )
B_s(y)\subseteq B_r(x)
B s ( y ) ⊆ B r ( x )
となる.
上記の近傍基により生成される位相構造を ( X , d ) (X,d) ( X , d ) metric topology on ( X , d ) (X,d) ( X , d ) ) という.
Proposition. 距離位相による連続性の整合性
距離空間 X , Y X,Y X , Y f : X → Y f:X\to Y f : X → Y
f f f 距離位相により f f f
proof.
距離空間における連続性は, 任意の x ∈ X x\in X x ∈ X ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0
d X ( x , y ) < δ ⟹ d Y ( f ( x ) , f ( y ) ) < ε
d_X(x,y)<\delta\Longrightarrow d_Y(f(x),f(y))<\varepsilon
d X ( x , y ) < δ ⟹ d Y ( f ( x ) , f ( y )) < ε
を満たす δ > 0 \delta>0 δ > 0 B δ ( x ) B_\delta(x) B δ ( x ) B ε ( f ( x ) ) B_\varepsilon(f(x)) B ε ( f ( x ))
以後, 距離空間には距離位相による位相構造が備わっているとして, 適宜位相空間として扱えることとする.
位相空間 X X X X X X d d d ( X , d ) (X,d) ( X , d ) X X X X X X 距離化可能 (metrizable ) であるといい, 距離化可能な位相空間を 距離化可能空間 (metrizable space ) という.
Definition.
位相空間 X X X A ∈ 2 X A\in2^X A ∈ 2 X A d A^d A d A A A 導来集合 (derived set ) という.A ⊆ A d A\subseteq A^d A ⊆ A d A A A 自己稠密集合 (dense-in-itself set ) といい, 特に A = A d A=A^d A = A d A A A 完全集合 (perfect set ) という.
Definition. 正則開集合
位相空間 X X X G G G G ‾ ∘ = G \overline{G}^\circ=G G ∘ = G G G G 正則開集合 (regular open set ) という.
Definition. 稠密と疎
位相空間 X X X S ∈ 2 X S\in2^X S ∈ 2 X X = S ‾ X=\overline{S} X = S S S S X X X 稠密 (dense ) であるという.S ∈ 2 X S\in2^X S ∈ 2 X S ‾ ∘ = ∅ \overline{S}^\circ=\emptyset S ∘ = ∅ S S S X X X 疎集合 (nowhere dense set ) という.
Definition. 痩集合
位相空間 X X X S S S X X X 痩せている (meager in X X X ) といい, 痩せている集合を 痩集合 (meager set ) あるいは 第一類集合 (set of the first category ) という. 他方, 痩集合でない集合を 非痩集合 (nonmeager set ) あるいは 第二類集合 (set of the second category ) という.X X X X X X 痩空間 (meager space ) あるいは第一類空間という. 他方, 痩空間でない位相空間を 非痩空間 (nonmeager space ) あるいは第二類空間という.S ∁ = X ∖ S S^\complement=X\setminus S S ∁ = X ∖ S S S S 補痩である (comeager ) あるいは 残留的である (residual ) という.
ネットとフィルター
位相空間上のネット
Definition. 有向集合
前順序集合 ( Λ , ≤ ) (\Lambda,\leq) ( Λ , ≤ ) 有向集合 (directed set ) であるとは, 任意の a , b ∈ Λ a,b\in\Lambda a , b ∈ Λ a ≤ c a\leq c a ≤ c b ≤ c b\leq c b ≤ c c ∈ Λ c\in\Lambda c ∈ Λ
Definition. ネット
集合 X X X ( Λ , ≤ ) (\Lambda,\leq) ( Λ , ≤ ) Λ → X , λ ↦ x λ \Lambda\to X,\lambda\mapsto x_\lambda Λ → X , λ ↦ x λ ( Λ , ≤ ) (\Lambda,\leq) ( Λ , ≤ ) X X X net in X X X ) といい, ( x λ ) λ ∈ Λ (x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} ( x λ ) λ ∈ Λ
特に, 非負整数全体は大小関係により有向集合となるため, それにより添字付けられたネットを 点列 (sequence of points ) という.
Definition. 部分ネット
有向集合 ( Λ , ≤ Λ ) (\Lambda,\leq_\Lambda) ( Λ , ≤ Λ ) X X X x = ( x λ ) λ ∈ Λ x=(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} x = ( x λ ) λ ∈ Λ 部分ネット (subnet ) とは, 有向集合 ( I , ≤ I ) (I,\leq_I) ( I , ≤ I ) X X X y = ( y i ) i ∈ I y=(y_i)_{i\in I} y = ( y i ) i ∈ I s : I → Λ s:I\to\Lambda s : I → Λ
y = x ∘ s y=x\circ s y = x ∘ s ∀ i ∈ I , y i = x s ( i ) \forall i\in I,y_i=x_{s(i)} ∀ i ∈ I , y i = x s ( i ) 単調性 : 任意の i , i ′ ∈ I i,i'\in I i , i ′ ∈ I i ≤ I i ′ i\leq_I i' i ≤ I i ′ s ( i ) ≤ Λ s ( i ′ ) s(i)\leq_\Lambda s(i') s ( i ) ≤ Λ s ( i ′ ) 共終性 : 任意の λ ∈ Λ \lambda\in\Lambda λ ∈ Λ λ ≤ Λ s ( i ) \lambda\leq_\Lambda s(i) λ ≤ Λ s ( i ) i ∈ I i\in I i ∈ I
点列 ( x n ) (x_n) ( x n ) 部分点列 (subsequence of points ) とは, 点列 ( y n ) (y_n) ( y n ) s s s
y = x ∘ s y=x\circ s y = x ∘ s ∀ i ∈ I , y i = x s ( i ) \forall i\in I,y_i=x_{s(i)} ∀ i ∈ I , y i = x s ( i ) 狭義単調性 : 任意の非負整数 m , n m,n m , n m < n m<n m < n s ( m ) < s ( n ) s(m)<s(n) s ( m ) < s ( n ) 共終性 : 任意の非負整数 n n n n ≤ s ( m ) n\leq s(m) n ≤ s ( m ) m m m
Definition. 最終的に属することと頻繁に属すること
集合 X X X ( x λ ) λ ∈ Λ (x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} ( x λ ) λ ∈ Λ A ⊆ X A\subseteq X A ⊆ X
ネット ( x λ ) λ ∈ Λ (x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} ( x λ ) λ ∈ Λ A A A 最終的に属する (eventually in A A A ) とは, ⟺ def \mathrel{\overset{\text{def}}{\iff}} ⟺ def ∃ λ 0 ∈ Λ s.t. ∀ λ ∈ Λ , λ 0 ≤ λ ⇒ x λ ∈ A \exists\lambda_0\in\Lambda\text{ s.t. }\forall\lambda\in\Lambda,\lambda_0\leq\lambda\Rightarrow x_\lambda\in A ∃ λ 0 ∈ Λ s.t. ∀ λ ∈ Λ , λ 0 ≤ λ ⇒ x λ ∈ A
ネット ( x λ ) λ ∈ Λ (x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} ( x λ ) λ ∈ Λ A A A 頻繁に属する (frequently in A A A ) とは, ⟺ def \mathrel{\overset{\text{def}}{\iff}} ⟺ def ∀ λ ∈ Λ , ∃ λ 0 ∈ Λ s.t. λ ≤ λ 0 ∧ x λ 0 ∈ A \forall\lambda\in\Lambda,\exists\lambda_0\in\Lambda\text{ s.t. }\lambda\leq\lambda_0\land x_{\lambda_0}\in A ∀ λ ∈ Λ , ∃ λ 0 ∈ Λ s.t. λ ≤ λ 0 ∧ x λ 0 ∈ A
定義より, ( x λ ) λ ∈ Λ (x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} ( x λ ) λ ∈ Λ A A A A A A
Proposition.
( x λ ) λ ∈ Λ (x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} ( x λ ) λ ∈ Λ A A A ⟺ \iff ⟺ ( x λ ) λ ∈ Λ (x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} ( x λ ) λ ∈ Λ X ∖ A X\setminus A X ∖ A
proof.
ある添字以後すべての項が A A A X ∖ A X\setminus A X ∖ A X ∖ A X\setminus A X ∖ A
Definition. 普遍ネット
集合 X X X ( x λ ) λ ∈ Λ (x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} ( x λ ) λ ∈ Λ 普遍ネット (universal net ) あるいは 超ネット (ultranet ) であるとは, 任意の A ⊆ X A\subseteq X A ⊆ X
( x λ ) λ ∈ Λ (x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} ( x λ ) λ ∈ Λ A A A ( x λ ) λ ∈ Λ (x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} ( x λ ) λ ∈ Λ X ∖ A X\setminus A X ∖ A
Theorem. 普遍部分ネットの存在
任意のネットに対して普遍ネットであるような部分ネットが存在する.
proof.
ネットの尾部集合全体が生成するフィルターを F \mathcal F F F \mathcal F F M \mathcal M M M \mathcal M M A A A A ∈ M A\in\mathcal M A ∈ M A ∁ ∈ M A^\complement\in\mathcal M A ∁ ∈ M A A A A ∁ A^\complement A ∁
Definition. ネットの収束
位相空間 X X X X X X ( x λ ) λ ∈ Λ (x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} ( x λ ) λ ∈ Λ x ∈ X x\in X x ∈ X
∀ U ∈ N X ( x ) , ( x λ ) λ ∈ Λ が U に最終的に属する
\forall U\in\mathcal{N}_X(x),(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\text{ が }U\text{ に最終的に属する}
∀ U ∈ N X ( x ) , ( x λ ) λ ∈ Λ が U に最終的に属する
を満たすとき, x x x ネット ( x n ) (x_n) ( x n ) (limit point of a net ( x n ) (x_n) ( x n ) ) といい, 極限の存在するネットは収束する (converge ) といい, 収束しないネットは発散する (diverge ) という.
Definition. ネットの堆積
位相空間 X X X X X X ( x λ ) λ ∈ Λ (x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} ( x λ ) λ ∈ Λ x ∈ X x\in X x ∈ X
∀ U ∈ N X ( x ) , ( x λ ) λ ∈ Λ が U に頻繁に属する
\forall U\in\mathcal{N}_X(x),(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\text{ が }U\text{ に頻繁に属する}
∀ U ∈ N X ( x ) , ( x λ ) λ ∈ Λ が U に頻繁に属する
を満たすとき, x x x ネット ( x n ) (x_n) ( x n ) (cluster point of a net ( x n ) (x_n) ( x n ) ) という.
Theorem. 堆積点の特徴づけ
位相空間 X X X X X X ( x λ ) λ ∈ Λ (x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} ( x λ ) λ ∈ Λ x ∈ X x\in X x ∈ X
x x x ( x n ) (x_n) ( x n ) ( x n ) (x_n) ( x n ) x x x
proof.
(2) から (1) は, 部分ネットの共終性により明らかである.x x x U U U λ \lambda λ x λ ∈ U x_\lambda\in U x λ ∈ U U U U x x x
Theorem.
位相空間 X X X A ⊆ X A\subseteq X A ⊆ X x ∈ X x\in X x ∈ X
x ∈ A ‾ x\in\overline{A} x ∈ A x x x A A A
proof.
x ∈ A ‾ x\in\overline A x ∈ A x x x U U U a U ∈ U ∩ A a_U\in U\cap A a U ∈ U ∩ A U ↦ a U U\mapsto a_U U ↦ a U A A A x x x A A A x x x x x x A A A x ∈ A ‾ x\in\overline A x ∈ A
Theorem.
位相空間 X , Y X,Y X , Y f : X → Y f:X\to Y f : X → Y x ∈ X x\in X x ∈ X
f f f x x x x x x ( x λ ) λ ∈ Λ (x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} ( x λ ) λ ∈ Λ ( f ( x λ ) ) λ ∈ Λ (f(x_\lambda))_{\lambda\in\Lambda} ( f ( x λ ) ) λ ∈ Λ f ( x ) f(x) f ( x )
proof.
f f f x x x f ( x ) f(x) f ( x ) V V V x x x x λ → x x_\lambda\to x x λ → x f ( x λ ) f(x_\lambda) f ( x λ ) V V V f f f f ( x ) f(x) f ( x ) V V V f − 1 ( V ) f^{-1}(V) f − 1 ( V ) x x x x x x U U U U ∖ f − 1 ( V ) U\setminus f^{-1}(V) U ∖ f − 1 ( V ) x x x V V V
Arens-Fort 空間
Arens-Fort 空間は, 点列だけでは近傍構造を十分に検出できない例として, ネットを導入する動機を与える.
Definition. Arens-Fort 空間
集合
A = ( N × N ) ∪ { ∞ }
A=(\mathbb N\times\mathbb N)\cup\{\infty\}
A = ( N × N ) ∪ { ∞ }
に次の位相を入れる.N × N \mathbb N\times\mathbb N N × N ∞ \infty ∞ ∞ \infty ∞ n ∈ N n\in\mathbb N n ∈ N m n m_n m n
{ ( n , m ) ∣ m ≥ m n } ⊆ U
\{(n,m)\mid m\geq m_n\}\subseteq U
{( n , m ) ∣ m ≥ m n } ⊆ U
を満たす集合 U U U Arens-Fort 空間 (Arens-Fort space ) と呼ぶ.
Proposition. Arens-Fort 空間の性質
Arens-Fort 空間は可算 Hausdorff 空間であり, ∞ \infty ∞
proof.
∞ \infty ∞ ( n , m ) (n,m) ( n , m ) ∞ \infty ∞ N × N \mathbb N\times\mathbb N N × N ∞ \infty ∞ ( U k ) k ≥ 0 (U_k)_{k\geq0} ( U k ) k ≥ 0 k k k U k U_k U k k k k ( k , m k ) (k,m_k) ( k , m k ) V = A ∖ { ( k , m k ) ∣ k ∈ N } V=A\setminus\{(k,m_k)\mid k\in\mathbb N\} V = A ∖ {( k , m k ) ∣ k ∈ N } ∞ \infty ∞ U k U_k U k V V V ( U k ) (U_k) ( U k ) U = A ∖ { ( n , 0 ) ∣ n ∈ N } U=A\setminus\{(n,0)\mid n\in\mathbb N\} U = A ∖ {( n , 0 ) ∣ n ∈ N } { ( n , 0 ) } \{(n,0)\} {( n , 0 )} U U U A A A A A A
位相空間上のフィルター
Definition. 有限交叉性
集合 X X X F \mathcal{F} F 有限交叉性 (finite intersection property ) を持つとは, F \mathcal{F} F F i F_i F i i = 1 , 2 , … , n i=1,2,\ldots,n i = 1 , 2 , … , n ⋂ i = 1 n F i ≠ ∅ \bigcap_{i=1}^{n}F_i\neq\emptyset ⋂ i = 1 n F i = ∅
半順序集合 ( 2 X , ⊆ ) (2^X,\subseteq) ( 2 X , ⊆ ) ∅ \emptyset ∅ X X X ( 2 X , ⊆ ) (2^X,\subseteq) ( 2 X , ⊆ ) X X X F , G \mathcal{F},\mathcal{G} F , G
G \mathcal{G} G F \mathcal{F} F 包含関係 F ⊆ G \mathcal{F}\subseteq\mathcal{G} F ⊆ G
Definition. フィルターの両立
X X X F , G \mathcal{F},\mathcal{G} F , G
∀ F ∈ F , ∀ G ∈ G , F ∩ G ≠ ∅
\forall F\in\mathcal{F},\forall G\in\mathcal{G},F\cap G\neq\emptyset
∀ F ∈ F , ∀ G ∈ G , F ∩ G = ∅
を満たすとき, F \mathcal{F} F G \mathcal{G} G
Proposition.
X X X F , G \mathcal{F},\mathcal{G} F , G
F \mathcal{F} F G \mathcal{G} G F \mathcal{F} F G \mathcal{G} G
proof.
(1) を仮定する.{ F ∩ G ∣ F ∈ F , G ∈ G } \{F\cap G\mid F\in\mathcal{F},G\in\mathcal{G}\} { F ∩ G ∣ F ∈ F , G ∈ G } F \mathcal{F} F G \mathcal{G} G H \mathcal{H} H F ∈ F F\in\mathcal{F} F ∈ F G ∈ G G\in\mathcal{G} G ∈ G H \mathcal{H} H F ∩ G ∈ H F\cap G\in\mathcal{H} F ∩ G ∈ H F ∩ G ≠ ∅ F\cap G\neq\emptyset F ∩ G = ∅
Definition.
両立している X X X F , G \mathcal{F},\mathcal{G} F , G 交わり (meet ) とは, X X X F ∧ G \mathcal{F}\wedge\mathcal{G} F ∧ G
F ∧ G ≔ { H ⊆ X ∣ ∃ F ∈ F , ∃ G ∈ G , F ∩ G ⊆ H }
\mathcal{F}\wedge\mathcal{G}\coloneqq\{H\subseteq X\mid \exists F\in\mathcal{F},\exists G\in\mathcal{G},F\cap G\subseteq H\}
F ∧ G : = { H ⊆ X ∣ ∃ F ∈ F , ∃ G ∈ G , F ∩ G ⊆ H }
これは F \mathcal{F} F G \mathcal{G} G
Proposition. 有限交叉族の生成するフィルター基
集合 X X X X X X F \mathcal{F} F X X X F ∗ \mathcal{F}^\ast F ∗
F ∗ ≔ { ⋂ i = 1 n F i | F i ∈ F ( i = 1 , 2 , … , n ) , n ∈ Z ≥ 1 }
\mathcal{F}^\ast\coloneqq\left\{\bigcap_{i=1}^{n}F_i\mathrel{}\middle|\mathrel{}F_i\in\mathcal{F}(i=1,2,\ldots,n),n\in\mathbf{Z}_{\geq1}\right\}
F ∗ : = { i = 1 ⋂ n F i F i ∈ F ( i = 1 , 2 , … , n ) , n ∈ Z ≥ 1 }
とすると, F ∗ \mathcal{F}^\ast F ∗ F \mathcal{F} F
proof.
F \mathcal{F} F n = 1 n=1 n = 1 F ∗ \mathcal{F}^\ast F ∗ F ∗ \mathcal{F}^\ast F ∗ F ∗ \mathcal{F}^\ast F ∗ F \mathcal{F} F F ∗ \mathcal{F}^\ast F ∗
有限交叉性を持つ X X X F \mathcal{F} F F ∗ \mathcal{F}^\ast F ∗ F ∗ \mathcal{F}^\ast F ∗ ⟨ F ⟩ \langle\mathcal{F}\rangle ⟨ F ⟩ F \mathcal{F} F
⟨ F ⟩ = { H ⊆ X ∣ ∃ F ∈ F ∗ , F ⊆ H } .
\langle\mathcal{F}\rangle
=\{H\subseteq X\mid\exists F\in\mathcal{F}^\ast, F\subseteq H\}.
⟨ F ⟩ = { H ⊆ X ∣ ∃ F ∈ F ∗ , F ⊆ H } .
これは F \mathcal{F} F A ⊆ X A\subseteq X A ⊆ X { A } \{A\} { A } ⟨ { A } ⟩ \langle\{A\}\rangle ⟨{ A }⟩ A A A
Theorem. 超フィルターの存在
集合 X X X A A A A A A X X X
proof.
A A A A A A { F i } i ∈ I \{\mathcal{F}_i\}_{i\in I} { F i } i ∈ I F i \mathcal{F}_i F i M \mathcal{M} M M \mathcal{M} M A A A
Proposition. 超フィルターの特徴づけ
集合 X X X M \mathcal{M} M
M \mathcal{M} M 任意の A ∈ 2 X A\in2^X A ∈ 2 X M ∈ M M\in\mathcal{M} M ∈ M A ∩ M ≠ ∅ A\cap M\neq\emptyset A ∩ M = ∅ A ∈ M A\in\mathcal{M} A ∈ M
任意の A , B ⊆ X A,B\subseteq X A , B ⊆ X A ∪ B ∈ M A\cup B\in\mathcal{M} A ∪ B ∈ M A ∈ M A\in\mathcal{M} A ∈ M B ∈ M B\in\mathcal{M} B ∈ M
任意の A ∈ 2 X A\in2^X A ∈ 2 X A ∈ M A\in\mathcal{M} A ∈ M A ∁ ∈ M A^\complement\in\mathcal{M} A ∁ ∈ M
proof.
(1)⇒ \Rightarrow ⇒ A A A M ∈ M M\in\mathcal{M} M ∈ M M ∪ { A } \mathcal{M}\cup\{A\} M ∪ { A } M \mathcal{M} M A ∈ M A\in\mathcal{M} A ∈ M ⇒ \Rightarrow ⇒ A ∪ B ∈ M A\cup B\in\mathcal{M} A ∪ B ∈ M A ∉ M A\notin\mathcal{M} A ∈ / M M ∈ M M\in\mathcal{M} M ∈ M A ∩ M = ∅ A\cap M=\emptyset A ∩ M = ∅ ( A ∪ B ) ∩ M ∈ M (A\cup B)\cap M\in\mathcal{M} ( A ∪ B ) ∩ M ∈ M ( A ∪ B ) ∩ M ⊆ B (A\cup B)\cap M\subseteq B ( A ∪ B ) ∩ M ⊆ B B ∈ M B\in\mathcal{M} B ∈ M ⇒ \Rightarrow ⇒ X = A ∪ A ∁ ∈ M X=A\cup A^\complement\in\mathcal{M} X = A ∪ A ∁ ∈ M ⇒ \Rightarrow ⇒ M \mathcal{M} M G \mathcal{G} G A ∈ G ∖ M A\in\mathcal{G}\setminus\mathcal{M} A ∈ G ∖ M A ∁ ∈ M ⊆ G A^\complement\in\mathcal{M}\subseteq\mathcal{G} A ∁ ∈ M ⊆ G ∅ = A ∩ A ∁ ∈ G \emptyset=A\cap A^\complement\in\mathcal{G} ∅ = A ∩ A ∁ ∈ G M \mathcal{M} M
Definition. フィルターの制限と拡張
集合 X X X A ⊆ X A\subseteq X A ⊆ X
X X X F \mathcal{F} F A ∈ F A\in\mathcal{F} A ∈ F
F ∣ A ≔ { B ⊆ A ∣ ∃ F ∈ F , F ∩ A ⊆ B }
\mathcal{F}|_A\coloneqq\{B\subseteq A\mid\exists F\in\mathcal{F},F\cap A\subseteq B\}
F ∣ A : = { B ⊆ A ∣ ∃ F ∈ F , F ∩ A ⊆ B }
は A A A F ∣ A \mathcal{F}|_A F ∣ A F \mathcal{F} F A A A
A A A G \mathcal{G} G G ^ ≔ { F ∈ 2 X ∣ ∃ G ∈ G s.t. G ⊆ F } \hat{\mathcal{G}}\coloneqq\{F\in2^X\mid\exists G\in\mathcal{G}\text{ s.t. }G\subseteq F\} G ^ : = { F ∈ 2 X ∣ ∃ G ∈ G s.t. G ⊆ F } X X X G ^ \hat{\mathcal{G}} G ^ G \mathcal{G} G X X X
さらに, 対応 F ↦ F ∣ A \mathcal{F}\mapsto\mathcal{F}|_A F ↦ F ∣ A G ↦ G ^ \mathcal{G}\mapsto\hat{\mathcal{G}} G ↦ G ^ A A A X X X A A A
以後, この対応により A A A X X X A A A
Proposition. フィルターの像
集合 X X X F \mathcal{F} F f : X → Y f:X\to Y f : X → Y F \mathcal{F} F f f f
f [ F ] ≔ { G ∈ 2 Y ∣ f − 1 ( G ) ∈ F }
f[\mathcal{F}]\coloneqq\{G\in2^Y\mid f^{-1}(G)\in\mathcal{F}\}
f [ F ] : = { G ∈ 2 Y ∣ f − 1 ( G ) ∈ F }
は Y Y Y F \mathcal{F} F f [ F ] f[\mathcal{F}] f [ F ]
proof.
逆像は全体集合と有限交叉を保ち, 包含関係を保つ.F \mathcal{F} F B ⊆ Y B\subseteq Y B ⊆ Y f − 1 ( B ) f^{-1}(B) f − 1 ( B ) f − 1 ( B ∁ ) f^{-1}(B^\complement) f − 1 ( B ∁ ) F \mathcal{F} F B B B B ∁ B^\complement B ∁ f [ F ] f[\mathcal{F}] f [ F ] f [ F ] f[\mathcal{F}] f [ F ]
Definition. フィルターの収束
位相空間 X X X X X X F \mathcal{F} F x ∈ X x\in X x ∈ X F \mathcal{F} F x x x N X ( x ) \mathcal{N}_X(x) N X ( x ) x x x フィルター F \mathcal{F} F (limit point of a filter F \mathcal{F} F ) といい, 極限の存在するフィルターは収束する (converge ) といい, 収束しないフィルターは発散する (diverge ) という.
Definition. フィルターの堆積
位相空間 X X X X X X F \mathcal{F} F x ∈ X x\in X x ∈ X F \mathcal{F} F x x x N X ( x ) \mathcal{N}_X(x) N X ( x ) x x x フィルター F \mathcal{F} F (cluster point of a filter F \mathcal{F} F ) という.
フィルター基 F \mathcal{F} F F \mathcal{F} F F \mathcal{F} F
Theorem. 堆積点の特徴づけ
位相空間 X X X X X X F \mathcal{F} F x ∈ X x\in X x ∈ X
x x x F \mathcal{F} F F \mathcal{F} F x x x
proof. (1) を仮定する.F \mathcal{F} F N X ( x ) \mathcal{N}_X(x) N X ( x ) F \mathcal{F} F N X ( x ) \mathcal{N}_X(x) N X ( x ) x x x G \mathcal{G} G F \mathcal{F} F x x x F ∈ F F\in\mathcal{F} F ∈ F U ∈ N X ( x ) U\in\mathcal{N}_X(x) U ∈ N X ( x ) G \mathcal{G} G F ∩ U ≠ ∅ F\cap U\neq\emptyset F ∩ U = ∅ F \mathcal{F} F N X ( x ) \mathcal{N}_X(x) N X ( x ) x x x
Theorem.
位相空間 X X X A ⊆ X A\subseteq X A ⊆ X x ∈ X x\in X x ∈ X
x ∈ A ‾ x\in\overline{A} x ∈ A x x x A A A
proof. x ∈ A ‾ x\in\overline{A} x ∈ A x x x A A A ⟨ { A } ⟩ \langle\{A\}\rangle ⟨{ A }⟩ N X ( x ) \mathcal{N}_X(x) N X ( x ) ⟨ { A } ⟩ \langle\{A\}\rangle ⟨{ A }⟩ x x x A A A A A A A A A X X X Theorem.
位相空間 X X X X X X F \mathcal{F} F ⋂ F ∈ F F ‾ \bigcap_{F\in\mathcal{F}}\overline{F} ⋂ F ∈ F F
proof. x x x F \mathcal{F} F F ∈ F F\in\mathcal{F} F ∈ F x x x F ∈ F F\in\mathcal{F} F ∈ F x ∈ F ‾ x\in\overline{F} x ∈ F Theorem.
位相空間 X , Y X,Y X , Y f : X → Y f:X\to Y f : X → Y x ∈ X x\in X x ∈ X
f f f x x x x x x X X X F \mathcal{F} F F \mathcal{F} F f f f f [ F ] f[\mathcal{F}] f [ F ] f ( x ) f(x) f ( x )
proof. (1) は f − 1 ( V ) ∈ N X ( x ) f^{-1}(V)\in\mathcal{N}_X(x) f − 1 ( V ) ∈ N X ( x ) V ∈ N Y ( f ( x ) ) V\in\mathcal{N}_Y(f(x)) V ∈ N Y ( f ( x )) F \mathcal{F} F x x x f − 1 ( V ) ∈ F f^{-1}(V)\in\mathcal{F} f − 1 ( V ) ∈ F V ∈ f [ F ] V\in f[\mathcal{F}] V ∈ f [ F ] F = N X ( x ) \mathcal{F}=\mathcal{N}_X(x) F = N X ( x ) f [ N X ( x ) ] f[\mathcal{N}_X(x)] f [ N X ( x )] f ( x ) f(x) f ( x )
フィルターとネットの相互変換
Proposition. ネットの生成するフィルター基
位相空間 X X X X X X p = ( p λ ) λ ∈ Λ p=(p_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} p = ( p λ ) λ ∈ Λ
F ≔ { F λ ∣ λ ∈ Λ } , F λ ≔ { p j ∣ j ∈ Λ , λ ≤ j }
\mathcal{F}\coloneqq\{F_\lambda\mid\lambda\in\Lambda\},\quad
F_\lambda\coloneqq\{p_j\mid j\in\Lambda,\lambda\leq j\}
F : = { F λ ∣ λ ∈ Λ } , F λ : = { p j ∣ j ∈ Λ , λ ≤ j }
とすると, F \mathcal{F} F X X X x ∈ X x\in X x ∈ X
( p λ ) λ ∈ Λ (p_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} ( p λ ) λ ∈ Λ x x x F \mathcal{F} F x x x
F \mathcal{F} F p = ( p λ ) λ ∈ Λ p=(p_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} p = ( p λ ) λ ∈ Λ φ ( p ) \varphi(p) φ ( p )
proof.
各 F λ F_\lambda F λ p λ p_\lambda p λ λ , μ ∈ Λ \lambda,\mu\in\Lambda λ , μ ∈ Λ ν \nu ν F ν ⊆ F λ ∩ F μ F_\nu\subseteq F_\lambda\cap F_\mu F ν ⊆ F λ ∩ F μ F \mathcal{F} F p p p x x x x x x U U U λ \lambda λ F λ ⊆ U F_\lambda\subseteq U F λ ⊆ U U U U F \mathcal{F} F
Proposition. フィルター基の生成するネット
位相空間 X X X X X X F \mathcal{F} F
Λ ≔ { ( a , A ) ∣ a ∈ A ∈ F } , ( a , A ) ≤ ( b , B ) ⟺ def B ⊆ A
\Lambda\coloneqq\{(a,A)\mid a\in A\in\mathcal{F}\},\quad
(a,A)\leq(b,B)\mathrel{\overset{\text{def}}{\iff}}B\subseteq A
Λ : = {( a , A ) ∣ a ∈ A ∈ F } , ( a , A ) ≤ ( b , B ) ⟺ def B ⊆ A
とすると, ( Λ , ≤ ) (\Lambda,\leq) ( Λ , ≤ ) p : Λ → X p:\Lambda\to X p : Λ → X p ( a , A ) ≔ a p_{(a,A)}\coloneqq a p ( a , A ) : = a p p p X X X x ∈ X x\in X x ∈ X
F \mathcal{F} F x x x ( p ( a , A ) ) (p_{(a,A)}) ( p ( a , A ) ) x x x
( p ( a , A ) ) (p_{(a,A)}) ( p ( a , A ) ) F \mathcal{F} F ψ ( F ) \psi(\mathcal{F}) ψ ( F )
proof.
二つの添字 ( a , A ) , ( b , B ) (a,A),(b,B) ( a , A ) , ( b , B ) C ∈ F C\in\mathcal{F} C ∈ F C ⊆ A ∩ B C\subseteq A\cap B C ⊆ A ∩ B c ∈ C c\in C c ∈ C ( c , C ) (c,C) ( c , C ) Λ \Lambda Λ F \mathcal{F} F x x x U U U x x x A ∈ F A\in\mathcal{F} A ∈ F A ⊆ U A\subseteq U A ⊆ U ( a , A ) (a,A) ( a , A ) ( b , B ) (b,B) ( b , B ) B ⊆ A B\subseteq A B ⊆ A p ( b , B ) = b ∈ U p_{(b,B)}=b\in U p ( b , B ) = b ∈ U x x x x x x U U U x x x ( a , A ) (a,A) ( a , A ) U U U b ∈ A b\in A b ∈ A ( b , A ) (b,A) ( b , A ) ( a , A ) (a,A) ( a , A ) b ∈ U b\in U b ∈ U A ⊆ U A\subseteq U A ⊆ U F \mathcal{F} F x x x
Proposition. ネットとフィルター基の合成
集合 X X X p = ( p λ ) λ ∈ Λ p=(p_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} p = ( p λ ) λ ∈ Λ ( ψ ∘ φ ) ( p ) (\psi\circ\varphi)(p) ( ψ ∘ φ ) ( p ) p p p
proof.
φ ( p ) \varphi(p) φ ( p ) F λ F_\lambda F λ ( p j , F λ , j ) (p_j,F_\lambda,j) ( p j , F λ , j ) j ≥ λ j\geq\lambda j ≥ λ j j j λ \lambda λ ( ψ ∘ φ ) ( p ) (\psi\circ\varphi)(p) ( ψ ∘ φ ) ( p ) j j j Λ \Lambda Λ p j p_j p j ( ψ ∘ φ ) ( p ) (\psi\circ\varphi)(p) ( ψ ∘ φ ) ( p ) p p p
Proposition. フィルター基とネットの合成
集合 X X X F \mathcal{F} F F = ( φ ∘ ψ ) ( F ) \mathcal{F}=(\varphi\circ\psi)(\mathcal{F}) F = ( φ ∘ ψ ) ( F )
proof.
A ∈ F A\in\mathcal{F} A ∈ F a ∈ A a\in A a ∈ A ψ ( F ) \psi(\mathcal{F}) ψ ( F ) ( a , A ) (a,A) ( a , A ) A A A ( b , B ) (b,B) ( b , B ) B ⊆ A B\subseteq A B ⊆ A b ∈ A b\in A b ∈ A b ∈ A b\in A b ∈ A ( b , A ) (b,A) ( b , A ) ( a , A ) (a,A) ( a , A ) b b b F \mathcal{F} F
空間の構成
新しい位相空間は, 既知の空間を積, 余積, 商, 部分空間として組み合わせることで得られる.
積と余積
Definition. 積空間
位相空間の列 ( X λ ∣ λ ∈ Λ ) (X_\lambda\mid\lambda\in\Lambda) ( X λ ∣ λ ∈ Λ ) π λ : ∏ λ ∈ Λ ( X λ ) 0 → ( X λ ) 0 \pi_\lambda:\prod_{\lambda\in\Lambda}(X_\lambda)_0\to(X_\lambda)_0 π λ : ∏ λ ∈ Λ ( X λ ) 0 → ( X λ ) 0
S ≔ ⋃ λ ∈ Λ { π λ − 1 ( G λ ) ∣ G λ ∈ O X λ }
\mathbf{S}\coloneqq\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\{\pi_\lambda^{-1}(G_\lambda)\mid G_\lambda\in\mathbf{O}_{X_\lambda}\}
S : = λ ∈ Λ ⋃ { π λ − 1 ( G λ ) ∣ G λ ∈ O X λ }
として, S \mathbf{S} S O \mathbf{O} O O \mathbf{O} O ( X λ ∣ λ ∈ Λ ) (X_\lambda\mid\lambda\in\Lambda) ( X λ ∣ λ ∈ Λ ) 積空間 (product space ) といい
∏ λ ∈ Λ X λ
\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda
λ ∈ Λ ∏ X λ
と表す.
Proposition. 積空間の近傍系
積空間 Y = ∏ λ ∈ Λ X λ Y=\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda Y = ∏ λ ∈ Λ X λ y y y
N × ( y ) ≔ { U ⊆ Y | ∃ F ⊆ Λ , F is finite , ∃ ( U λ ) λ ∈ F , ( ∀ λ ∈ F , U λ ∈ N X λ ( π λ ( y ) ) ) ∧ ⋂ λ ∈ F π λ − 1 ( U λ ) ⊆ U }
\mathcal N^{\times}(y)\coloneqq
\left\{U\subseteq Y\mathrel{}\middle|\mathrel{}
\begin{array}{l}
\exists F\subseteq\Lambda,\ F\text{ is finite},\ \exists(U_\lambda)_{\lambda\in F},\\
\left(\forall\lambda\in F,\ U_\lambda\in\mathcal N_{X_\lambda}(\pi_\lambda(y))\right)\ \land\\
\displaystyle\bigcap_{\lambda\in F}\pi_\lambda^{-1}(U_\lambda)\subseteq U
\end{array}\right\}
N × ( y ) : = ⎩ ⎨ ⎧ U ⊆ Y ∃ F ⊆ Λ , F is finite , ∃ ( U λ ) λ ∈ F , ( ∀ λ ∈ F , U λ ∈ N X λ ( π λ ( y )) ) ∧ λ ∈ F ⋂ π λ − 1 ( U λ ) ⊆ U ⎭ ⎬ ⎫
と定めると, N × \mathcal N^{\times} N × F = ∅ F=\emptyset F = ∅ Y Y Y
proof.
まず N × ( y ) \mathcal N^{\times}(y) N × ( y ) Y Y Y U ∈ N × ( y ) U\in\mathcal N^{\times}(y) U ∈ N × ( y ) F F F ( U λ ) λ ∈ F (U_\lambda)_{\lambda\in F} ( U λ ) λ ∈ F U λ U_\lambda U λ π λ ( y ) \pi_\lambda(y) π λ ( y ) y y y y ∈ U y\in U y ∈ U U , V ∈ N × ( y ) U,V\in\mathcal N^{\times}(y) U , V ∈ N × ( y ) U ∩ V ∈ N × ( y ) U\cap V\in\mathcal N^{\times}(y) U ∩ V ∈ N × ( y ) U ⊆ W U\subseteq W U ⊆ W U ∈ N × ( y ) U\in\mathcal N^{\times}(y) U ∈ N × ( y ) W W W W ∈ N × ( y ) W\in\mathcal N^{\times}(y) W ∈ N × ( y ) N × ( y ) \mathcal N^{\times}(y) N × ( y ) U ∈ N × ( y ) U\in\mathcal N^{\times}(y) U ∈ N × ( y ) B = ⋂ λ ∈ F π λ − 1 ( U λ ) ⊆ U B=\bigcap_{\lambda\in F}\pi_\lambda^{-1}(U_\lambda)\subseteq U B = ⋂ λ ∈ F π λ − 1 ( U λ ) ⊆ U V λ ∈ N X λ ( π λ ( y ) ) V_\lambda\in\mathcal N_{X_\lambda}(\pi_\lambda(y)) V λ ∈ N X λ ( π λ ( y ))
∀ z ∈ V λ , U λ ∈ N X λ ( z )
\forall z\in V_\lambda,\quad U_\lambda\in\mathcal N_{X_\lambda}(z)
∀ z ∈ V λ , U λ ∈ N X λ ( z )
となるように選べる.V = ⋂ λ ∈ F π λ − 1 ( V λ ) V=\bigcap_{\lambda\in F}\pi_\lambda^{-1}(V_\lambda) V = ⋂ λ ∈ F π λ − 1 ( V λ ) V ∈ N × ( y ) V\in\mathcal N^{\times}(y) V ∈ N × ( y ) z ∈ V z\in V z ∈ V U λ U_\lambda U λ π λ ( z ) \pi_\lambda(z) π λ ( z ) B ∈ N × ( z ) B\in\mathcal N^{\times}(z) B ∈ N × ( z ) B ⊆ U B\subseteq U B ⊆ U U ∈ N × ( z ) U\in\mathcal N^{\times}(z) U ∈ N × ( z ) N × \mathcal N^{\times} N ×
Proposition.
位相空間の列 ( X λ ∣ λ ∈ Λ ) (X_\lambda\mid\lambda\in\Lambda) ( X λ ∣ λ ∈ Λ ) X = ∏ λ ∈ Λ X λ X=\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda X = ∏ λ ∈ Λ X λ
各射影 π λ : X → X λ \pi_\lambda:X\to X_\lambda π λ : X → X λ
位相空間 Y Y Y f : Y → X f:Y\to X f : Y → X
f f f 各 λ ∈ Λ \lambda\in\Lambda λ ∈ Λ π λ ∘ f : Y → X λ \pi_\lambda\circ f:Y\to X_\lambda π λ ∘ f : Y → X λ
proof.
積位相の生成元 π λ − 1 ( G ) \pi_\lambda^{-1}(G) π λ − 1 ( G ) G ⊆ X λ G\subseteq X_\lambda G ⊆ X λ π λ \pi_\lambda π λ X X X U U U π λ ( U ) \pi_\lambda(U) π λ ( U ) B = ⋂ i = 1 n π λ i − 1 ( G i ) B=\bigcap_{i=1}^n\pi_{\lambda_i}^{-1}(G_i) B = ⋂ i = 1 n π λ i − 1 ( G i ) λ \lambda λ π λ ( B ) \pi_\lambda(B) π λ ( B ) λ \lambda λ G i G_i G i π λ ( B ) = X λ \pi_\lambda(B)=X_\lambda π λ ( B ) = X λ B B B λ \lambda λ B B B π λ ( B ) \pi_\lambda(B) π λ ( B ) f f f π λ ∘ f \pi_\lambda\circ f π λ ∘ f π λ ∘ f \pi_\lambda\circ f π λ ∘ f
f − 1 ( π λ − 1 ( G ) ) = ( π λ ∘ f ) − 1 ( G )
f^{-1}\bigl(\pi_\lambda^{-1}(G)\bigr)=(\pi_\lambda\circ f)^{-1}(G)
f − 1 ( π λ − 1 ( G ) ) = ( π λ ∘ f ) − 1 ( G )
が開集合である.f f f
Proposition. 有限個の位相空間の積空間
位相空間の有限列 ( X i ∣ i = 1 , 2 , … , n ) (X_i\mid i=1,2,\ldots,n) ( X i ∣ i = 1 , 2 , … , n )
{ ∏ i = 1 n G i | G i ∈ O X i , i = 1 , … , n }
\left\{\prod_{i=1}^{n}G_i\mathrel{}\middle|\mathrel{}G_i\in\mathbf{O}_{X_i},i=1,\ldots,n\right\}
{ i = 1 ∏ n G i G i ∈ O X i , i = 1 , … , n }
は積空間 ∏ λ ∈ Λ X λ \prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda ∏ λ ∈ Λ X λ
proof.
積位相の部分基は, 一つの座標だけを開集合で制限した円筒集合である.G i G_i G i
∏ i = 1 n G i
\prod_{i=1}^{n}G_i
i = 1 ∏ n G i
と表せる.G i = X i G_i=X_i G i = X i G i G_i G i ∏ i G i \prod_iG_i ∏ i G i
箱位相
Definition. 箱位相
位相空間の族 ( X λ ) λ ∈ Λ (X_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} ( X λ ) λ ∈ Λ ∏ λ ∈ Λ X λ \prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda ∏ λ ∈ Λ X λ
∏ λ ∈ Λ U λ
\prod_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda
λ ∈ Λ ∏ U λ
ただし各 U λ U_\lambda U λ X λ X_\lambda X λ 箱位相 (box topology ) と呼ぶ.
Proposition. 箱位相と積位相
箱位相は積位相より細かい.Λ \Lambda Λ
proof.
積位相の基本開集合は有限個の座標だけを制限する.U λ = X λ U_\lambda=X_\lambda U λ = X λ
Definition. 余積空間
位相空間の列 ( X λ ∣ λ ∈ Λ ) (X_\lambda\mid\lambda\in\Lambda) ( X λ ∣ λ ∈ Λ ) ι λ : ( X λ ) 0 → ∐ λ ∈ Λ ( X λ ) 0 \iota_\lambda:(X_\lambda)_0\to\coprod_{\lambda\in\Lambda}(X_\lambda)_0 ι λ : ( X λ ) 0 → ∐ λ ∈ Λ ( X λ ) 0
O ≔ { G ⊆ ∐ λ ∈ Λ ( X λ ) 0 | ∀ λ ∈ Λ , ι λ − 1 ( G ) ∈ O X λ }
\mathbf{O}\coloneqq\left\{G\subseteq\coprod_{\lambda\in\Lambda}(X_\lambda)_0\mathrel{}\middle|\mathrel{}\forall\lambda\in\Lambda,\ \iota_\lambda^{-1}(G)\in\mathbf{O}_{X_\lambda}\right\}
O : = { G ⊆ λ ∈ Λ ∐ ( X λ ) 0 ∀ λ ∈ Λ , ι λ − 1 ( G ) ∈ O X λ }
とすると, O \mathbf{O} O ∐ λ ∈ Λ ( X λ ) 0 \coprod_{\lambda\in\Lambda}(X_\lambda)_0 ∐ λ ∈ Λ ( X λ ) 0 O \mathbf{O} O ( X λ ∣ λ ∈ Λ ) (X_\lambda\mid\lambda\in\Lambda) ( X λ ∣ λ ∈ Λ ) 余積空間 (coproduct space ) といい
∐ λ ∈ Λ X λ
\coprod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda
λ ∈ Λ ∐ X λ
と表す.
Proposition. 余積空間の近傍系
余積空間 Y = ∐ λ ∈ Λ X λ Y=\coprod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda Y = ∐ λ ∈ Λ X λ y y y
N ⨿ ( y ) ≔ { U ⊆ Y | ∃ λ ∈ Λ , ∃ x ∈ X λ , y = ι λ ( x ) ∧ ι λ − 1 ( U ) ∈ N X λ ( x ) }
\mathcal N^{\amalg}(y)\coloneqq
\left\{U\subseteq Y\mathrel{}\middle|\mathrel{}
\exists\lambda\in\Lambda,\exists x\in X_\lambda,
\ y=\iota_\lambda(x)\ \land
\iota_\lambda^{-1}(U)\in\mathcal N_{X_\lambda}(x)\right\}
N ⨿ ( y ) : = { U ⊆ Y ∃ λ ∈ Λ , ∃ x ∈ X λ , y = ι λ ( x ) ∧ ι λ − 1 ( U ) ∈ N X λ ( x ) }
と定めると, N ⨿ \mathcal N^{\amalg} N ⨿
proof.
タグ付き和の表示の一意性により, 各 y ∈ Y y\in Y y ∈ Y λ \lambda λ x ∈ X λ x\in X_\lambda x ∈ X λ y = ι λ ( x ) y=\iota_\lambda(x) y = ι λ ( x ) N ⨿ ( y ) \mathcal N^{\amalg}(y) N ⨿ ( y ) ι λ − 1 \iota_\lambda^{-1} ι λ − 1 N X λ ( x ) \mathcal N_{X_\lambda}(x) N X λ ( x ) N ⨿ ( y ) \mathcal N^{\amalg}(y) N ⨿ ( y ) ι λ − 1 ( U ) \iota_\lambda^{-1}(U) ι λ − 1 ( U ) x x x x ∈ ι λ − 1 ( U ) x\in\iota_\lambda^{-1}(U) x ∈ ι λ − 1 ( U ) y ∈ U y\in U y ∈ U U ∈ N ⨿ ( y ) U\in\mathcal N^{\amalg}(y) U ∈ N ⨿ ( y ) ι λ − 1 ( U ) \iota_\lambda^{-1}(U) ι λ − 1 ( U ) x x x x x x X λ X_\lambda X λ V λ V_\lambda V λ V λ ⊆ ι λ − 1 ( U ) V_\lambda\subseteq\iota_\lambda^{-1}(U) V λ ⊆ ι λ − 1 ( U ) V = ι λ ( V λ ) V=\iota_\lambda(V_\lambda) V = ι λ ( V λ ) y ∈ V ⊆ U y\in V\subseteq U y ∈ V ⊆ U z ∈ V z\in V z ∈ V V V V z z z V ⊆ U V\subseteq U V ⊆ U U ∈ N ⨿ ( z ) U\in\mathcal N^{\amalg}(z) U ∈ N ⨿ ( z )
Proposition. 余積空間の標準入射と普遍性
位相空間の列 ( X λ ∣ λ ∈ Λ ) (X_\lambda\mid\lambda\in\Lambda) ( X λ ∣ λ ∈ Λ ) Y = ∐ λ ∈ Λ X λ Y=\coprod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda Y = ∐ λ ∈ Λ X λ
各標準入射 ι λ : X λ → Y \iota_\lambda:X_\lambda\to Y ι λ : X λ → Y
位相空間 Z Z Z f : Y → Z f:Y\to Z f : Y → Z
f f f 各 λ ∈ Λ \lambda\in\Lambda λ ∈ Λ f ∘ ι λ : X λ → Z f\circ\iota_\lambda:X_\lambda\to Z f ∘ ι λ : X λ → Z
proof.
余積の定義から, G ⊆ Y G\subseteq Y G ⊆ Y λ \lambda λ ι λ − 1 ( G ) \iota_\lambda^{-1}(G) ι λ − 1 ( G ) X λ X_\lambda X λ ι λ \iota_\lambda ι λ ι λ ( X λ ) \iota_\lambda(X_\lambda) ι λ ( X λ ) ι λ \iota_\lambda ι λ ι λ \iota_\lambda ι λ f f f f ∘ ι λ f\circ\iota_\lambda f ∘ ι λ f ∘ ι λ f\circ\iota_\lambda f ∘ ι λ G ⊆ Z G\subseteq Z G ⊆ Z
ι λ − 1 ( f − 1 ( G ) ) = ( f ∘ ι λ ) − 1 ( G )
\iota_\lambda^{-1}\bigl(f^{-1}(G)\bigr)=(f\circ\iota_\lambda)^{-1}(G)
ι λ − 1 ( f − 1 ( G ) ) = ( f ∘ ι λ ) − 1 ( G )
が各 λ \lambda λ f − 1 ( G ) f^{-1}(G) f − 1 ( G ) Y Y Y f f f
Theorem. 位相空間の直和分解
位相空間 X X X X X X { G λ ∣ λ ∈ Λ } \{G_\lambda\mid\lambda\in\Lambda\} { G λ ∣ λ ∈ Λ }
∐ λ ∈ Λ G λ
\coprod_{\lambda\in\Lambda}G_\lambda
λ ∈ Λ ∐ G λ
は X X X
proof.
各 G λ G_\lambda G λ X X X j λ : G λ → X j_\lambda:G_\lambda\to X j λ : G λ → X X = ⋃ λ ∈ Λ G λ X=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}G_\lambda X = ⋃ λ ∈ Λ G λ
h : ∐ λ ∈ Λ G λ ⟶ X , h ∘ ι λ = j λ
h:\coprod_{\lambda\in\Lambda}G_\lambda\longrightarrow X,\qquad h\circ\iota_\lambda=j_\lambda
h : λ ∈ Λ ∐ G λ ⟶ X , h ∘ ι λ = j λ
は一意に定まり, 全単射である.j λ j_\lambda j λ h h h h − 1 h^{-1} h − 1 W ⊆ ∐ λ G λ W\subseteq\coprod_\lambda G_\lambda W ⊆ ∐ λ G λ ι λ − 1 ( W ) \iota_\lambda^{-1}(W) ι λ − 1 ( W ) G λ G_\lambda G λ W W W ι λ − 1 ( W ) \iota_\lambda^{-1}(W) ι λ − 1 ( W ) X X X O λ O_\lambda O λ G λ G_\lambda G λ G λ G_\lambda G λ X X X ι λ − 1 ( W ) \iota_\lambda^{-1}(W) ι λ − 1 ( W ) X X X ι λ − 1 ( W ) \iota_\lambda^{-1}(W) ι λ − 1 ( W ) X X X
h ( W ) = ⋃ λ ∈ Λ ι λ − 1 ( W )
h(W)=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\iota_\lambda^{-1}(W)
h ( W ) = λ ∈ Λ ⋃ ι λ − 1 ( W )
は X X X h − 1 h^{-1} h − 1 h h h
商と等化
商写像による商空間の定義は, 「位相空間と連続写像」の章で与えたものを用いる.
Proposition. 商空間と商写像の特徴づけ
全射連続写像 q : X → Y q:X\to Y q : X → Y X q X_q X q X q X_q X q Y Y Y
id : X q ⟶ Y
\operatorname{id}:X_q\longrightarrow Y
id : X q ⟶ Y
が同相写像であることと, q q q
proof.
商空間の定義により, X q X_q X q
O X q = { G ⊆ Y ∣ q − 1 ( G ) ∈ O X }
\mathbf O_{X_q}=\{G\subseteq Y\mid q^{-1}(G)\in\mathbf O_X\}
O X q = { G ⊆ Y ∣ q − 1 ( G ) ∈ O X }
である.O X q = O Y \mathbf O_{X_q}=\mathbf O_Y O X q = O Y q q q
Definition. 等化空間
位相空間 X X X X 0 X_0 X 0 ∼ \sim ∼ π : X 0 → X 0 / ∼ \pi:X_0\to X_0/\sim π : X 0 → X 0 / ∼ X π X_\pi X π ∼ \sim ∼ 等化空間 (identification space ) といい X / ∼ X/\sim X / ∼
また, 位相空間 X X X A A A A A A X / A X/A X / A
A A A ∼ A ≔ Δ ( X ) ∪ ( A × A ) \sim_A\coloneqq\Delta(X)\cup(A\times A) ∼ A : = Δ ( X ) ∪ ( A × A ) A A A ∞ \infty ∞ X X X X X X { ∞ } \{\infty\} { ∞ }
として定義する.
Proposition. 等化写像の基本性質
等化空間 X / ∼ X/\sim X / ∼
π : X ⟶ X / ∼
\pi:X\longrightarrow X/\sim
π : X ⟶ X / ∼
は連続全射かつ商写像である.
proof.
π \pi π G ⊆ X / ∼ G\subseteq X/\sim G ⊆ X / ∼ π − 1 ( G ) \pi^{-1}(G) π − 1 ( G ) X X X π \pi π
Proposition. 等化空間の写像の普遍性
位相空間 Y Y Y f : X → Y f:X\to Y f : X → Y
x ∼ x ′ ⟹ f ( x ) = f ( x ′ )
x\sim x'\Longrightarrow f(x)=f(x')
x ∼ x ′ ⟹ f ( x ) = f ( x ′ )
を満たすとする.f = f ‾ ∘ π f=\overline f\circ\pi f = f ∘ π
f ‾ : X / ∼ ⟶ Y
\overline f:X/\sim\longrightarrow Y
f : X / ∼⟶ Y
が一意に存在する.f f f f ‾ \overline f f
proof.
[ x ] ∈ X / ∼ [x]\in X/\sim [ x ] ∈ X / ∼ f ‾ ( [ x ] ) = f ( x ) \overline f([x])=f(x) f ([ x ]) = f ( x ) x ∼ x ′ x\sim x' x ∼ x ′ f ( x ) = f ( x ′ ) f(x)=f(x') f ( x ) = f ( x ′ ) f = f ‾ ∘ π f=\overline f\circ\pi f = f ∘ π π \pi π f ‾ \overline f f f = f ‾ ∘ π f=\overline f\circ\pi f = f ∘ π f f f G ⊆ Y G\subseteq Y G ⊆ Y
π − 1 ( f ‾ − 1 ( G ) ) = f − 1 ( G )
\pi^{-1}\bigl(\overline f^{-1}(G)\bigr)=f^{-1}(G)
π − 1 ( f − 1 ( G ) ) = f − 1 ( G )
は X X X π \pi π f ‾ − 1 ( G ) \overline f^{-1}(G) f − 1 ( G ) X / ∼ X/\sim X / ∼ f ‾ \overline f f
Proposition. 等化空間と飽和集合
A ⊆ X A\subseteq X A ⊆ X
A A A ∼ \sim ∼ A = π − 1 ( π ( A ) ) A=\pi^{-1}(\pi(A)) A = π − 1 ( π ( A ))
さらに, X / ∼ X/\sim X / ∼ B B B A A A
B ⟼ π − 1 ( B ) , A ⟼ π ( A )
B\longmapsto\pi^{-1}(B),\qquad A\longmapsto\pi(A)
B ⟼ π − 1 ( B ) , A ⟼ π ( A )
は互いに逆であり, B B B π − 1 ( B ) \pi^{-1}(B) π − 1 ( B ) X X X
proof.
A A A x ∈ π − 1 ( π ( A ) ) x\in\pi^{-1}(\pi(A)) x ∈ π − 1 ( π ( A )) a ∈ A a\in A a ∈ A x ∼ a x\sim a x ∼ a x ∈ A x\in A x ∈ A x ∈ A x\in A x ∈ A π ( x ) ∈ π ( A ) \pi(x)\in\pi(A) π ( x ) ∈ π ( A ) x ∈ A x\in A x ∈ A x ∼ x ′ x\sim x' x ∼ x ′ π ( x ′ ) = π ( x ) ∈ π ( A ) \pi(x')=\pi(x)\in\pi(A) π ( x ′ ) = π ( x ) ∈ π ( A ) x ′ ∈ A x'\in A x ′ ∈ A B ⊆ X / ∼ B\subseteq X/\sim B ⊆ X / ∼ π ( π − 1 ( B ) ) = B \pi(\pi^{-1}(B))=B π ( π − 1 ( B )) = B π \pi π A A A π − 1 ( π ( A ) ) = A \pi^{-1}(\pi(A))=A π − 1 ( π ( A )) = A
Definition. 接着空間
位相空間 X , Y X,Y X , Y A ⊆ Y A\subseteq Y A ⊆ Y f : A → X f:A\to X f : A → X i : A → Y i:A\to Y i : A → Y X ∐ Y X\coprod Y X ∐ Y ∼ f \sim_f ∼ f
ι X ( f ( a ) ) ∼ f ι Y ( i ( a ) ) ( a ∈ A )
\iota_X(f(a))\sim_f\iota_Y(i(a))\qquad(a\in A)
ι X ( f ( a )) ∼ f ι Y ( i ( a )) ( a ∈ A )
を満たすものとして定める.
X ∪ f Y ≔ ( X ∐ Y ) / ∼ f
X\cup_fY\coloneqq(X\coprod Y)/\sim_f
X ∪ f Y : = ( X ∐ Y ) / ∼ f
を f f f Y Y Y X X X 接着空間 (attaching space ) と呼ぶ.q : X ∐ Y → X ∪ f Y q:X\coprod Y\to X\cup_fY q : X ∐ Y → X ∪ f Y
j X = q ∘ ι X : X → X ∪ f Y , j Y = q ∘ ι Y : Y → X ∪ f Y
j_X=q\circ\iota_X:X\to X\cup_fY,\qquad
j_Y=q\circ\iota_Y:Y\to X\cup_fY
j X = q ∘ ι X : X → X ∪ f Y , j Y = q ∘ ι Y : Y → X ∪ f Y
とおく.
Proposition. 接着空間の標準写像
接着空間の標準写像 j X , j Y j_X,j_Y j X , j Y
j X ∘ f = j Y ∘ i
j_X\circ f=j_Y\circ i
j X ∘ f = j Y ∘ i
を満たす.
proof.
q q q ι X , ι Y \iota_X,\iota_Y ι X , ι Y j X , j Y j_X,j_Y j X , j Y a ∈ A a\in A a ∈ A ι X ( f ( a ) ) ∼ f ι Y ( i ( a ) ) \iota_X(f(a))\sim_f\iota_Y(i(a)) ι X ( f ( a )) ∼ f ι Y ( i ( a )) j X ( f ( a ) ) = j Y ( i ( a ) ) j_X(f(a))=j_Y(i(a)) j X ( f ( a )) = j Y ( i ( a ))
Proposition. 接着空間の普遍性
位相空間 Z Z Z g : X → Z g:X\to Z g : X → Z h : Y → Z h:Y\to Z h : Y → Z
g ∘ f = h ∘ i
g\circ f=h\circ i
g ∘ f = h ∘ i
を満たすとする.
u : X ∪ f Y → Z , u ∘ j X = g , u ∘ j Y = h
u:X\cup_fY\to Z,\qquad u\circ j_X=g,\quad u\circ j_Y=h
u : X ∪ f Y → Z , u ∘ j X = g , u ∘ j Y = h
を満たす連続写像 u u u
proof.
余積の普遍性により, g , h g,h g , h k : X ∐ Y → Z k:X\coprod Y\to Z k : X ∐ Y → Z
k ∘ ι X = g , k ∘ ι Y = h
k\circ\iota_X=g,\qquad k\circ\iota_Y=h
k ∘ ι X = g , k ∘ ι Y = h
を満たすものが一意に存在する.g ∘ f = h ∘ i g\circ f=h\circ i g ∘ f = h ∘ i k k k ∼ f \sim_f ∼ f k = u ∘ q k=u\circ q k = u ∘ q u : X ∪ f Y → Z u:X\cup_fY\to Z u : X ∪ f Y → Z q q q k k k u u u j X = q ∘ ι X j_X=q\circ\iota_X j X = q ∘ ι X j Y = q ∘ ι Y j_Y=q\circ\iota_Y j Y = q ∘ ι Y k ∘ ι X = g k\circ\iota_X=g k ∘ ι X = g k ∘ ι Y = h k\circ\iota_Y=h k ∘ ι Y = h u ∘ j X = g u\circ j_X=g u ∘ j X = g u ∘ j Y = h u\circ j_Y=h u ∘ j Y = h
Proposition. 接着空間の開集合
部分集合 W ⊆ X ∪ f Y W\subseteq X\cup_fY W ⊆ X ∪ f Y
W W W j X − 1 ( W ) j_X^{-1}(W) j X − 1 ( W ) X X X j Y − 1 ( W ) j_Y^{-1}(W) j Y − 1 ( W ) Y Y Y
proof.
q q q W W W q − 1 ( W ) q^{-1}(W) q − 1 ( W ) X ∐ Y X\coprod Y X ∐ Y q − 1 ( W ) q^{-1}(W) q − 1 ( W ) ι X − 1 ( q − 1 ( W ) ) \iota_X^{-1}(q^{-1}(W)) ι X − 1 ( q − 1 ( W )) ι Y − 1 ( q − 1 ( W ) ) \iota_Y^{-1}(q^{-1}(W)) ι Y − 1 ( q − 1 ( W )) j X − 1 ( W ) j_X^{-1}(W) j X − 1 ( W ) j Y − 1 ( W ) j_Y^{-1}(W) j Y − 1 ( W )
Proposition. 空集合に沿う接着
A = ∅ A=\emptyset A = ∅ X ∪ f Y X\cup_fY X ∪ f Y X ∐ Y X\coprod Y X ∐ Y
proof.
A = ∅ A=\emptyset A = ∅ ∼ f \sim_f ∼ f q : X ∐ Y → X ∪ f Y q:X\coprod Y\to X\cup_fY q : X ∐ Y → X ∪ f Y q q q q q q
Proposition. 同相写像に沿う接着
f : A → X f:A\to X f : A → X j Y : Y → X ∪ f Y j_Y:Y\to X\cup_fY j Y : Y → X ∪ f Y
proof.
j Y j_Y j Y f f f j Y j_Y j Y j Y ( a ) = j Y ( a ′ ) j_Y(a)=j_Y(a') j Y ( a ) = j Y ( a ′ ) f f f a = a ′ a=a' a = a ′ j Y j_Y j Y W ⊆ Y W\subseteq Y W ⊆ Y j Y ( W ) j_Y(W) j Y ( W ) j Y j_Y j Y W W W j X j_X j X f ( W ∩ A ) f(W\cap A) f ( W ∩ A ) A A A Y Y Y f f f f ( W ∩ A ) f(W\cap A) f ( W ∩ A ) X X X j Y ( W ) j_Y(W) j Y ( W ) j Y j_Y j Y j Y j_Y j Y
Definition. 写像錐
位相空間 A A A A × { 0 } A\times\{0\} A × { 0 } { ∗ } \{\ast\} { ∗ } c c c
C A ≔ { ∗ } ∪ c ( A × [ 0 , 1 ] )
CA\coloneqq\{\ast\}\cup_c(A\times[0,1])
C A : = { ∗ } ∪ c ( A × [ 0 , 1 ])
を A A A 写像錐 (mapping cone ) と呼ぶ.
Proposition. 写像錐の商空間表示
写像錐 C A CA C A
( A × [ 0 , 1 ] ) / ( A × { 0 } )
(A\times[0,1])/(A\times\{0\})
( A × [ 0 , 1 ]) / ( A × { 0 })
と同相である.
proof.
{ ∗ } ∪ c ( A × [ 0 , 1 ] ) \{\ast\}\cup_c(A\times[0,1]) { ∗ } ∪ c ( A × [ 0 , 1 ]) A × { 0 } A\times\{0\} A × { 0 } ∗ \ast ∗ A × { 0 } A\times\{0\} A × { 0 } A × { 0 } A\times\{0\} A × { 0 }
誘導と余誘導
Definition. 誘導位相
集合 X X X ( Y λ ∣ λ ∈ Λ ) (Y_\lambda\mid\lambda\in\Lambda) ( Y λ ∣ λ ∈ Λ ) f = ( f λ : X → Y λ ∣ λ ∈ Λ ) f=(f_\lambda:X\to Y_\lambda\mid\lambda\in\Lambda) f = ( f λ : X → Y λ ∣ λ ∈ Λ ) f λ f_\lambda f λ X X X f f f 誘導位相 (induced topology ) あるいは 始位相 (initial topology ), 射影位相 (projective topology ) という.
Proposition. 誘導位相の構成
集合 X X X ( Y λ ∣ λ ∈ Λ ) (Y_\lambda\mid\lambda\in\Lambda) ( Y λ ∣ λ ∈ Λ ) f = ( f λ : X → Y λ ∣ λ ∈ Λ ) f=(f_\lambda:X\to Y_\lambda\mid\lambda\in\Lambda) f = ( f λ : X → Y λ ∣ λ ∈ Λ ) X X X
⋃ λ ∈ Λ { f λ − 1 ( G λ ) ∣ G λ ∈ O Y λ }
\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\{f_\lambda^{-1}(G_\lambda)\mid G_\lambda\in\mathbf{O}_{Y_\lambda}\}
λ ∈ Λ ⋃ { f λ − 1 ( G λ ) ∣ G λ ∈ O Y λ }
から生成される開集合系は f f f
proof.
この部分集合族の各元は, 対応する f λ f_\lambda f λ f λ f_\lambda f λ f λ f_\lambda f λ
Proposition.
集合 X X X ( Y λ ∣ λ ∈ Λ ) (Y_\lambda\mid\lambda\in\Lambda) ( Y λ ∣ λ ∈ Λ ) A A A f : A → X f:A\to X f : A → X g = ( g λ : X → Y λ ∣ λ ∈ Λ ) g=(g_\lambda:X\to Y_\lambda\mid\lambda\in\Lambda) g = ( g λ : X → Y λ ∣ λ ∈ Λ )
g g g f f f A A A 各 λ ∈ Λ \lambda\in\Lambda λ ∈ Λ g λ ∘ f g_\lambda\circ f g λ ∘ f A A A Y λ Y_\lambda Y λ
proof.
f f f g λ g_\lambda g λ g λ ∘ f g_\lambda\circ f g λ ∘ f g λ − 1 ( G ) g_\lambda^{-1}(G) g λ − 1 ( G ) f f f ( g λ ∘ f ) − 1 ( G ) (g_\lambda\circ f)^{-1}(G) ( g λ ∘ f ) − 1 ( G ) f f f
Definition. 余誘導位相
位相空間の列 ( X λ ∣ λ ∈ Λ ) (X_\lambda\mid\lambda\in\Lambda) ( X λ ∣ λ ∈ Λ ) Y Y Y f = ( f λ : X λ → Y ∣ λ ∈ Λ ) f=(f_\lambda:X_\lambda\to Y\mid\lambda\in\Lambda) f = ( f λ : X λ → Y ∣ λ ∈ Λ ) f λ f_\lambda f λ Y Y Y f f f 余誘導位相 (coinduced topology ) あるいは 終位相 (final topology ), 帰納位相 (inductive topology ) という.
Proposition. 余誘導位相の構成
位相空間の列 ( X λ ∣ λ ∈ Λ ) (X_\lambda\mid\lambda\in\Lambda) ( X λ ∣ λ ∈ Λ ) Y Y Y f = ( f λ : X λ → Y ∣ λ ∈ Λ ) f=(f_\lambda:X_\lambda\to Y\mid\lambda\in\Lambda) f = ( f λ : X λ → Y ∣ λ ∈ Λ )
⋂ λ ∈ Λ { G ⊆ Y ∣ f λ − 1 ( G ) ∈ O X λ }
\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\{G\subseteq Y\mid f_\lambda^{-1}(G)\in\mathbf{O}_{X_\lambda}\}
λ ∈ Λ ⋂ { G ⊆ Y ∣ f λ − 1 ( G ) ∈ O X λ }
は, f f f
proof.
右辺の集合族を O \mathbf{O} O O \mathbf{O} O f λ f_\lambda f λ f λ f_\lambda f λ f λ f_\lambda f λ O \mathbf{O} O O \mathbf{O} O
Proposition.
位相空間の列 ( X λ ∣ λ ∈ Λ ) (X_\lambda\mid\lambda\in\Lambda) ( X λ ∣ λ ∈ Λ ) Y Y Y A A A f = ( f λ : X λ → Y ∣ λ ∈ Λ ) f=(f_\lambda:X_\lambda\to Y\mid\lambda\in\Lambda) f = ( f λ : X λ → Y ∣ λ ∈ Λ ) g : Y → A g:Y\to A g : Y → A
f f f g g g A A A 各 λ ∈ Λ \lambda\in\Lambda λ ∈ Λ g ∘ f λ g\circ f_\lambda g ∘ f λ X λ X_\lambda X λ A A A
proof.
g g g f λ f_\lambda f λ g ∘ f λ g\circ f_\lambda g ∘ f λ A A A G G G ( g ∘ f λ ) − 1 ( G ) = f λ − 1 ( g − 1 ( G ) ) (g\circ f_\lambda)^{-1}(G)=f_\lambda^{-1}(g^{-1}(G)) ( g ∘ f λ ) − 1 ( G ) = f λ − 1 ( g − 1 ( G )) λ \lambda λ g − 1 ( G ) g^{-1}(G) g − 1 ( G ) g g g
位相的性質
Definition. 位相的性質
位相空間における性質 P P P 位相的性質 (topological property ) あるいは 位相不変量 (topological invariant ) であるとは, 任意の同相な位相空間 X , Y X,Y X , Y X X X P P P Y Y Y P P P
Definition. 局所的性質
位相的性質 P P P 局所的 (locally ) であるとは, 任意の位相空間 X X X
X X X P P P 任意の点 x ∈ X x\in X x ∈ X x ∈ G x\in G x ∈ G P P P
また, 位相空間 X X X P P P X X X 局所的に P P P (locally P P P ) であるという.
Definition. 遺伝的性質
位相的性質 P P P 遺伝的 (hereditary ) であるとは, 任意の位相空間 X X X
X X X P P P 位相空間 X X X S S S P P P
また, 位相空間 X X X P P P X X X 遺伝的に P P P (hereditary P P P ) であるという.
位相的性質 P P P 弱遺伝的 (weakly hereditary ) であるとは, P P P X X X F F F P P P
Definition. 乗法的性質
κ \kappa κ P P P κ \kappa κ κ \kappa κ P P P ( X j ∣ j ∈ κ ) (X_j\mid j\in\kappa) ( X j ∣ j ∈ κ ) ∏ j ∈ κ X j \prod_{j\in\kappa}X_j ∏ j ∈ κ X j P P P P P P κ \kappa κ κ \kappa κ ℵ 0 \aleph_0 ℵ 0 可算乗法的 (countable multiplicative ) であるといい, 有限基数 κ \kappa κ κ \kappa κ 有限乗法的 (finite multiplicative ) であるという.Definition. 除法的性質
位相的性質 P P P 除法的 (divisible ) であるとは, P P P X X X f : X → Y f:X\to Y f : X → Y f f f Y Y Y P P P
分離性
異なる点や閉集合を開近傍でどこまで区別できるかは, 位相空間の性質を大きく左右する.
Definition. 分離公理
位相空間 X X X N X \mathcal{N}_X N X X X X A , B A,B A , B
A , B A,B A , B 位相的に識別可能 (topologically distinguishable ) であるとは, 各 a ∈ A , b ∈ B a\in A,b\in B a ∈ A , b ∈ B
N X ( a ) ≠ N X ( b )
\mathcal{N}_X(a)\neq\mathcal{N}_X(b)
N X ( a ) = N X ( b )
であるときいう.
A , B A,B A , B 分離される (separated ) とは,
A ‾ ∩ B = A ∩ B ‾ = ∅
\overline{A}\cap B=A\cap\overline{B}=\emptyset
A ∩ B = A ∩ B = ∅
であるときいう.
A , B A,B A , B 近傍で分離される (separated by neighbourhoods ) とは, 次を満たすときいう:
∃ U ∈ N X [ A ] , ∃ V ∈ N X [ B ] , s.t. U ∩ V = ∅ .
\exists U\in\mathcal{N}_X[A],\exists V\in\mathcal{N}_X[B],\text{ s.t. }U\cap V=\emptyset.
∃ U ∈ N X [ A ] , ∃ V ∈ N X [ B ] , s.t. U ∩ V = ∅.
A , B A,B A , B 閉近傍で分離される (closed separated by neighbourhoods ) とは, 次を満たすときいう:
∃ U ∈ N X [ A ] , ∃ V ∈ N X [ B ] , s.t. U ‾ ∩ V ‾ = ∅ .
\exists U\in\mathcal{N}_X[A],\exists V\in\mathcal{N}_X[B],\text{ s.t. }\overline{U}\cap\overline{V}=\emptyset.
∃ U ∈ N X [ A ] , ∃ V ∈ N X [ B ] , s.t. U ∩ V = ∅.
A , B A,B A , B 函数で分離される (separated by a continuous function ) とは, X X X f f f f ( A ) = { 0 } f(A)=\{0\} f ( A ) = { 0 } f ( B ) = { 1 } f(B)=\{1\} f ( B ) = { 1 }
A , B A,B A , B 函数でちょうど分離される (precisely separated by a continuous function ) とは, X X X f f f f − 1 ( { 0 } ) = A f^{-1}(\{0\})=A f − 1 ({ 0 }) = A f − 1 ( { 1 } ) = B f^{-1}(\{1\})=B f − 1 ({ 1 }) = B
Proposition. 分離概念の含意系列
空でない部分集合 A , B ⊆ X A,B\subseteq X A , B ⊆ X
函数でちょうど分離される ⟹ 函数で分離される ⟹ 近傍で分離される ⟹ 分離される ⟹ 位相的に識別可能 ⟹ 互いに素 .
\begin{aligned}
&\text{函数でちょうど分離される}
\Longrightarrow \text{函数で分離される}
\Longrightarrow \text{近傍で分離される}\\
&\Longrightarrow \text{分離される}
\Longrightarrow \text{位相的に識別可能}
\Longrightarrow \text{互いに素}.
\end{aligned}
函数でちょうど分離される ⟹ 函数で分離される ⟹ 近傍で分離される ⟹ 分離される ⟹ 位相的に識別可能 ⟹ 互いに素 .
proof.
A = f − 1 ( { 0 } ) A=f^{-1}(\{0\}) A = f − 1 ({ 0 }) B = f − 1 ( { 1 } ) B=f^{-1}(\{1\}) B = f − 1 ({ 1 }) f f f A , B A,B A , B f ( A ) = { 0 } f(A)=\{0\} f ( A ) = { 0 } f ( B ) = { 1 } f(B)=\{1\} f ( B ) = { 1 } f : X → R f:X\to\mathbb R f : X → R U = f − 1 ( ( − 1 / 2 , 1 / 2 ) ) U=f^{-1}((-1/2,1/2)) U = f − 1 (( − 1/2 , 1/2 )) V = f − 1 ( ( 1 / 2 , 3 / 2 ) ) V=f^{-1}((1/2,3/2)) V = f − 1 (( 1/2 , 3/2 )) U , V U,V U , V A ⊆ U A\subseteq U A ⊆ U B ⊆ V B\subseteq V B ⊆ V A , B A,B A , B U , V U,V U , V p ∈ A ‾ ∩ B p\in\overline A\cap B p ∈ A ∩ B V V V p p p V ∩ A ≠ ∅ V\cap A\neq\emptyset V ∩ A = ∅ A ⊆ U A\subseteq U A ⊆ U U ∩ V = ∅ U\cap V=\emptyset U ∩ V = ∅ A ∩ B ‾ = ∅ A\cap\overline B=\emptyset A ∩ B = ∅ A , B A,B A , B a ∈ A a\in A a ∈ A b ∈ B b\in B b ∈ B b ∈ { a } ‾ b\in\overline{\{a\}} b ∈ { a } a ∈ { b } ‾ a\in\overline{\{b\}} a ∈ { b } A , B A,B A , B
点同士の分離性
Definition. Kolmogorov 空間
位相空間 X X X Kolmogorov 空間 (Kolmogorov space ) であるとは, X X X
これは古典的な T 0 \mathbf{T}_0 T 0
Definition. T 1 \mathbf{T}_1 T 1
位相空間 X X X T 1 \mathbf{T}_1 T 1 T 1 \mathbf{T}_1 T 1 X X X
T 1 \mathbf{T}_1 T 1 Fréchet 空間 (Fréchet space ) または 到達可能空間 (accessible space ) と呼ばれることがある。ただし現代では "Fréchet space" が関数解析における Fréchet–Urysohn 性を指す場合も多いため, 本書では T 1 \mathbf{T}_1 T 1
Definition. 前正則空間
位相空間 X X X 前正則 (preregular ) であるとは, X X X
Definition. Hausdorff 空間
位相空間 X X X Hausdorff 空間 (Hausdorff space ) であるとは, X X X
これは古典的な T 2 \mathbf{T}_2 T 2
Definition. Urysohn 空間
位相空間 X X X Urysohn 空間 (Urysohn space ) であるとは, X X X
古典的には T 2 1 2 \mathbf{T}_{2\frac12} T 2 2 1
点と閉集合の分離
Definition. 正則
位相空間 X X X 正則 (regular ) であるとは, X X X x x x F F F x ∉ F x\notin F x ∈ / F { x } , F \{x\},F { x } , F
Definition. 完全正則
位相空間 X X X 完全正則 (completely regular ) であるとは, X X X x x x F F F x ∉ F x\notin F x ∈ / F { x } , F \{x\},F { x } , F
閉集合同士の分離
Definition. 正規
位相空間 X X X 正規 (normal ) であるとは, 任意の閉集合 F , E F,E F , E F ∩ E = ∅ F\cap E=\emptyset F ∩ E = ∅ F , E F,E F , E
Theorem. Urysohn の補題
正規 T 1 \mathbf{T}_1 T 1 X X X A , B A,B A , B
f : X ⟶ [ 0 , 1 ]
f:X\longrightarrow[0,1]
f : X ⟶ [ 0 , 1 ]
であって f ( A ) = { 0 } f(A)=\{0\} f ( A ) = { 0 } f ( B ) = { 1 } f(B)=\{1\} f ( B ) = { 1 }
proof.
正規性により, 閉集合 C C C U U U
C ⊆ V ⊆ V ‾ ⊆ U
C\subseteq V\subseteq\overline{V}\subseteq U
C ⊆ V ⊆ V ⊆ U
を満たす開集合 V V V r ∈ [ 0 , 1 ] r\in[0,1] r ∈ [ 0 , 1 ] ( U r ) (U_r) ( U r )
A ⊆ U 0 , U r ‾ ⊆ U s ( r < s ) , U r ‾ ∩ B = ∅
A\subseteq U_0,\qquad \overline{U_r}\subseteq U_s\quad(r<s),\qquad \overline{U_r}\cap B=\emptyset
A ⊆ U 0 , U r ⊆ U s ( r < s ) , U r ∩ B = ∅
となるように構成できる.f : X → [ 0 , 1 ] f:X\to[0,1] f : X → [ 0 , 1 ]
f ( x ) ≔ inf { r ∈ D ∩ [ 0 , 1 ] ∣ x ∈ U r } ,
f(x)\coloneqq\inf\{r\in\mathbb{D}\cap[0,1]\mid x\in U_r\},
f ( x ) : = inf { r ∈ D ∩ [ 0 , 1 ] ∣ x ∈ U r } ,
ただし集合が空の場合は f ( x ) = 1 f(x)=1 f ( x ) = 1 t ∈ [ 0 , 1 ] t\in[0,1] t ∈ [ 0 , 1 ] f − 1 ( [ 0 , t ) ) f^{-1}([0,t)) f − 1 ([ 0 , t )) f − 1 ( ( t , 1 ] ) f^{-1}((t,1]) f − 1 (( t , 1 ]) f f f A A A f = 0 f=0 f = 0 B B B f = 1 f=1 f = 1
Corollary. 正規 Hausdorff 空間の完全正則性
正規 T 1 \mathbf{T}_1 T 1
proof.
x ∈ X x\in X x ∈ X x x x F F F T 1 \mathbf{T}_1 T 1 { x } \{x\} { x } { x } \{x\} { x } F F F f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0 f ( F ) = { 1 } f(F)=\{1\} f ( F ) = { 1 } f : X → [ 0 , 1 ] f:X\to[0,1] f : X → [ 0 , 1 ] { x } \{x\} { x } F F F X X X
Tietze の拡張定理
Theorem. Tietze の拡張定理
正規 T 1 \mathbf{T}_1 T 1 X X X A A A f : A → [ − 1 , 1 ] f:A\to[-1,1] f : A → [ − 1 , 1 ] f ‾ : X → [ − 1 , 1 ] \overline{f}:X\to[-1,1] f : X → [ − 1 , 1 ]
f ‾ ∣ A = f
\overline{f}|_A=f
f ∣ A = f
を満たす.
proof.
[ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ] h : A → R h:A\to\mathbb R h : A → R [ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ] g : X → R g:X\to\mathbb R g : X → R g ∣ A = h g|_A=h g ∣ A = h h = f h=f h = f f ‾ \overline f f
Corollary.
正規 T 1 \mathbf{T}_1 T 1
proof.
まず有界値の場合を示す.∣ f ∣ ≤ 1 |f|\leq1 ∣ f ∣ ≤ 1 r 0 = f r_0=f r 0 = f r n r_n r n
r n − 1 ( ( − ∞ , − 1 / 3 ] ) , r n − 1 ( [ 1 / 3 , ∞ ) )
r_n^{-1}(({-}\infty,-1/3]),\qquad r_n^{-1}([1/3,\infty))
r n − 1 (( − ∞ , − 1/3 ]) , r n − 1 ([ 1/3 , ∞ ))
は A A A 1 / 3 1/3 1/3 − 1 / 3 , 1 / 3 -1/3,1/3 − 1/3 , 1/3 g n : X → R g_n:X\to\mathbb R g n : X → R r n + 1 = r n − g n ∣ A r_{n+1}=r_n-g_n|_A r n + 1 = r n − g n ∣ A ∣ r n + 1 ∣ ≤ ( 2 / 3 ) ∣ r n ∣ |r_{n+1}|\leq(2/3)|r_n| ∣ r n + 1 ∣ ≤ ( 2/3 ) ∣ r n ∣ ∑ n g n \sum_n g_n ∑ n g n A A A f f f f f f
1 1 1
Definition. 1 1 1
位相空間 X X X N X \mathcal{N}_X N X 従属する 1 1 1 (partition of unity subordinate to N X \mathcal{N}_X N X ) とは, 連続写像の族
( φ i : X → [ 0 , 1 ] ∣ i ∈ I )
(\varphi_i:X\to[0,1]\mid i\in I)
( φ i : X → [ 0 , 1 ] ∣ i ∈ I )
であって, 次を満たすものをいう.
族 ( supp φ i ∣ i ∈ I ) (\operatorname{supp}\varphi_i\mid i\in I) ( supp φ i ∣ i ∈ I )
各 i ∈ I i\in I i ∈ I supp φ i ⊆ U i \operatorname{supp}\varphi_i\subseteq U_i supp φ i ⊆ U i U i ∈ N X U_i\in\mathcal{N}_X U i ∈ N X
各 x ∈ X x\in X x ∈ X
∑ i ∈ I φ i ( x ) = 1
\sum_{i\in I}\varphi_i(x)=1
i ∈ I ∑ φ i ( x ) = 1
が成り立つ.
ここで supp φ \operatorname{supp}\varphi supp φ { x ∈ X ∣ φ ( x ) ≠ 0 } \{x\in X\mid\varphi(x)\neq0\} { x ∈ X ∣ φ ( x ) = 0 }
Theorem. 1 1 1
パラコンパクト Hausdorff 空間の任意の開被覆には従属する 1 1 1
proof.
開被覆 N X \mathcal{N}_X N X X X X ( W i ) i ∈ I (W_i)_{i\in I} ( W i ) i ∈ I ( V i ) i ∈ I (V_i)_{i\in I} ( V i ) i ∈ I U i ∈ N X U_i\in\mathcal{N}_X U i ∈ N X
W i ‾ ⊆ V i , V i ‾ ⊆ U i
\overline{W_i}\subseteq V_i,\qquad \overline{V_i}\subseteq U_i
W i ⊆ V i , V i ⊆ U i
となるように選ぶ.i i i ψ i : X → [ 0 , 1 ] \psi_i:X\to[0,1] ψ i : X → [ 0 , 1 ]
ψ i ∣ W i ‾ = 1 , ψ i ∣ X ∖ V i = 0
\psi_i|_{\overline{W_i}}=1,\qquad \psi_i|_{X\setminus V_i}=0
ψ i ∣ W i = 1 , ψ i ∣ X ∖ V i = 0
となるように選べる.supp ψ i ⊆ V i ‾ ⊆ U i \operatorname{supp}\psi_i\subseteq\overline{V_i}\subseteq U_i supp ψ i ⊆ V i ⊆ U i ψ i \psi_i ψ i
ψ ( x ) ≔ ∑ i ∈ I ψ i ( x )
\psi(x)\coloneqq\sum_{i\in I}\psi_i(x)
ψ ( x ) : = i ∈ I ∑ ψ i ( x )
は連続である.( V i ) (V_i) ( V i ) ψ ( x ) > 0 \psi(x)>0 ψ ( x ) > 0 x ∈ X x\in X x ∈ X φ i ( x ) = ψ i ( x ) / ψ ( x ) \varphi_i(x)=\psi_i(x)/\psi(x) φ i ( x ) = ψ i ( x ) / ψ ( x ) supp φ i \operatorname{supp}\varphi_i supp φ i U i U_i U i ∑ i φ i ( x ) = 1 \sum_i\varphi_i(x)=1 ∑ i φ i ( x ) = 1 ( φ i ) i ∈ I (\varphi_i)_{i\in I} ( φ i ) i ∈ I N X \mathcal{N}_X N X 1 1 1
Remark.
局所有限性により, 各点の近傍では上の和の非零項が有限個しかない.1 1 1
Theorem. 遺伝的正規性の特徴づけ
位相空間 X X X
X X X X X X 任意の部分集合 A , B A,B A , B A , B A,B A , B A , B A,B A , B
遺伝的正規空間は古典的には 全部分正規空間 (completely normal space ) と呼ばれる.
proof.
(1) を仮定し, 分離された部分集合 A , B ⊆ X A,B\subseteq X A , B ⊆ X S = A ∪ B S=A\cup B S = A ∪ B A , B A,B A , B S S S S S S A , B A,B A , B X X X A , B A,B A , B X X X S ⊆ X S\subseteq X S ⊆ X C , D C,D C , D C ‾ ∩ D = C ∩ D ‾ = ∅ \overline C\cap D=C\cap\overline D=\emptyset C ∩ D = C ∩ D = ∅ C , D C,D C , D X X X X X X S S S S S S C , D C,D C , D
Definition. 完全正規
位相空間 X X X 完全正規 (perfectly normal ) であるとは, 任意の閉集合 F , E F,E F , E F ∩ E = ∅ F\cap E=\emptyset F ∩ E = ∅ F , E F,E F , E
Theorem. 完全正規 (perfectly normal)
位相空間 X X X
X X X X X X G δ G_\delta G δ
proof.
(1) なら函数による分離は近傍による分離を与えるので X X X F F F f : X → [ 0 , 1 ] f:X\to[0,1] f : X → [ 0 , 1 ] F = f − 1 ( 1 ) F=f^{-1}(1) F = f − 1 ( 1 ) g = 1 − f g=1-f g = 1 − f F = g − 1 ( 0 ) F=g^{-1}(0) F = g − 1 ( 0 )
F = ⋂ n ≥ 1 g − 1 ( [ 0 , 1 / n ) )
F=\bigcap_{n\geq1}g^{-1}([0,1/n))
F = n ≥ 1 ⋂ g − 1 ([ 0 , 1/ n ))
であり, F F F G δ G_\delta G δ F F F F F F G δ G_\delta G δ F F F [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] 2 − n 2^{-n} 2 − n x ∉ F x\notin F x ∈ / F u − 1 ( 0 ) = F u^{-1}(0)=F u − 1 ( 0 ) = F u : X → [ 0 , 1 ] u:X\to[0,1] u : X → [ 0 , 1 ] F , E F,E F , E u − 1 ( 0 ) = F u^{-1}(0)=F u − 1 ( 0 ) = F v − 1 ( 0 ) = E v^{-1}(0)=E v − 1 ( 0 ) = E u + v u+v u + v h = u / ( u + v ) h=u/(u+v) h = u / ( u + v ) h − 1 ( 0 ) = F h^{-1}(0)=F h − 1 ( 0 ) = F h − 1 ( 1 ) = E h^{-1}(1)=E h − 1 ( 1 ) = E
Proposition. 正則性の近傍閉包による特徴づけ
位相空間 X X X U U U x ∈ U x\in U x ∈ U
∃ V ∈ O X x ∈ V ⊆ V ‾ ⊆ U
\exists V\in\mathbf O_X\quad
x\in V\subseteq\overline{V}\subseteq U
∃ V ∈ O X x ∈ V ⊆ V ⊆ U
を満たす開集合 V V V
proof.
X X X x ∈ U x\in U x ∈ U { x } \{x\} { x } X ∖ U X\setminus U X ∖ U x ∈ V x\in V x ∈ V X ∖ U ⊆ W X\setminus U\subseteq W X ∖ U ⊆ W V , W V,W V , W V ⊆ X ∖ W V\subseteq X\setminus W V ⊆ X ∖ W X ∖ W X\setminus W X ∖ W V ‾ ⊆ X ∖ W ⊆ U \overline V\subseteq X\setminus W\subseteq U V ⊆ X ∖ W ⊆ U x ∉ F x\notin F x ∈ / F F F F x x x U = X ∖ F U=X\setminus F U = X ∖ F x ∈ V ⊆ V ‾ ⊆ U x\in V\subseteq\overline V\subseteq U x ∈ V ⊆ V ⊆ U V V V X ∖ V ‾ X\setminus\overline V X ∖ V F F F V V V { x } \{x\} { x } F F F
Proposition. 正規性の近傍閉包による特徴づけ
位相空間 X X X F F F U U U
F ⊆ U ⟹ ∃ V ∈ O X F ⊆ V ⊆ V ‾ ⊆ U
F\subseteq U\quad\Longrightarrow\quad
\exists V\in\mathbf O_X\quad
F\subseteq V\subseteq\overline{V}\subseteq U
F ⊆ U ⟹ ∃ V ∈ O X F ⊆ V ⊆ V ⊆ U
が成り立つことは同値である.
proof.
X X X F ⊆ U F\subseteq U F ⊆ U F F F X ∖ U X\setminus U X ∖ U F ⊆ V F\subseteq V F ⊆ V X ∖ U ⊆ W X\setminus U\subseteq W X ∖ U ⊆ W V , W V,W V , W V ⊆ X ∖ W V\subseteq X\setminus W V ⊆ X ∖ W V ‾ ⊆ X ∖ W ⊆ U \overline V\subseteq X\setminus W\subseteq U V ⊆ X ∖ W ⊆ U F , E F,E F , E U = X ∖ E U=X\setminus E U = X ∖ E F ⊆ V ⊆ V ‾ ⊆ X ∖ E F\subseteq V\subseteq\overline V\subseteq X\setminus E F ⊆ V ⊆ V ⊆ X ∖ E V V V X ∖ V ‾ X\setminus\overline V X ∖ V E E E V V V X X X
Proposition. 完全正規性と零点集合
位相空間 X X X X X X u : X → R u:X\to\mathbb R u : X → R u − 1 ( { 0 } ) u^{-1}(\{0\}) u − 1 ({ 0 })
proof.
X X X F F F F F F f : X → [ 0 , 1 ] f:X\to[0,1] f : X → [ 0 , 1 ] F = f − 1 ( { 0 } ) F=f^{-1}(\{0\}) F = f − 1 ({ 0 }) F , E F,E F , E u − 1 ( { 0 } ) = F u^{-1}(\{0\})=F u − 1 ({ 0 }) = F v − 1 ( { 0 } ) = E v^{-1}(\{0\})=E v − 1 ({ 0 }) = E u , v : X → R u,v:X\to\mathbb R u , v : X → R F ∩ E = ∅ F\cap E=\emptyset F ∩ E = ∅ ∣ u ∣ + ∣ v ∣ |u|+|v| ∣ u ∣ + ∣ v ∣ X X X
h = ∣ u ∣ ∣ u ∣ + ∣ v ∣
h=\frac{|u|}{|u|+|v|}
h = ∣ u ∣ + ∣ v ∣ ∣ u ∣
とおけば h h h h − 1 ( { 0 } ) = F h^{-1}(\{0\})=F h − 1 ({ 0 }) = F h − 1 ( { 1 } ) = E h^{-1}(\{1\})=E h − 1 ({ 1 }) = E X X X
Proposition. Hausdorff 性と対角線
位相空間 X X X
Δ X = { ( x , x ) ∣ x ∈ X }
\Delta_X=\{(x,x)\mid x\in X\}
Δ X = {( x , x ) ∣ x ∈ X }
が積空間 X × X X\times X X × X X X X A A A f , g : A → X f,g:A\to X f , g : A → X { a ∈ A ∣ f ( a ) = g ( a ) } \{a\in A\mid f(a)=g(a)\} { a ∈ A ∣ f ( a ) = g ( a )} A A A f f f A × X A\times X A × X
proof.
X X X ( x , y ) ∉ Δ X (x,y)\notin\Delta_X ( x , y ) ∈ / Δ X x ≠ y x\neq y x = y x ∈ U x\in U x ∈ U y ∈ V y\in V y ∈ V U , V U,V U , V U × V U\times V U × V ( x , y ) (x,y) ( x , y ) Δ X \Delta_X Δ X Δ X \Delta_X Δ X x ≠ y x\neq y x = y ( x , y ) ∉ Δ X (x,y)\notin\Delta_X ( x , y ) ∈ / Δ X ( x , y ) (x,y) ( x , y ) U × V U\times V U × V U ∩ V = ∅ U\cap V=\emptyset U ∩ V = ∅ X X X ( f , g ) : A → X × X (f,g):A\to X\times X ( f , g ) : A → X × X Δ X \Delta_X Δ X f ( a ) ≠ y f(a)\neq y f ( a ) = y ( a , y ) ∈ A × X (a,y)\in A\times X ( a , y ) ∈ A × X f f f a a a U U U y y y V V V f ( U ) ∩ V = ∅ f(U)\cap V=\emptyset f ( U ) ∩ V = ∅
Proposition. 分離性の部分空間への遺伝
位相空間 X X X T 0 \mathbf{T}_0 T 0 T 1 \mathbf{T}_1 T 1 S ⊆ X S\subseteq X S ⊆ X
proof.
S S S X X X T 0 \mathbf{T}_0 T 0 T 1 \mathbf{T}_1 T 1 S S S F F F S S S x ∈ S ∖ F x\in S\setminus F x ∈ S ∖ F F = S ∩ F ‾ X F=S\cap\overline F^{X} F = S ∩ F X x ∉ F ‾ X x\notin\overline F^{X} x ∈ / F X X X X { x } \{x\} { x } F ‾ X \overline F^{X} F X S S S { x } \{x\} { x } F F F F ‾ X \overline F^{X} F X X X X S S S
Proposition. 分離性の積空間への遺伝
位相空間族 ( X λ ) λ ∈ Λ (X_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} ( X λ ) λ ∈ Λ T 0 \mathbf{T}_0 T 0 T 1 \mathbf{T}_1 T 1 ∏ λ ∈ Λ X λ \prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda ∏ λ ∈ Λ X λ
proof.
二点 x , y x,y x , y λ \lambda λ x λ ≠ y λ x_\lambda\neq y_\lambda x λ = y λ T 0 \mathbf{T}_0 T 0 T 1 \mathbf{T}_1 T 1 x ∈ U x\in U x ∈ U U U U L ⊆ Λ L\subseteq\Lambda L ⊆ Λ U λ ⊆ X λ U_\lambda\subseteq X_\lambda U λ ⊆ X λ B B B x ∈ B ⊆ U x\in B\subseteq U x ∈ B ⊆ U λ ∈ L \lambda\in L λ ∈ L x λ ∈ V λ ⊆ V λ ‾ ⊆ U λ x_\lambda\in V_\lambda\subseteq\overline{V_\lambda}\subseteq U_\lambda x λ ∈ V λ ⊆ V λ ⊆ U λ λ ∉ L \lambda\notin L λ ∈ / L V λ = X λ V_\lambda=X_\lambda V λ = X λ V = ∏ λ V λ V=\prod_\lambda V_\lambda V = ∏ λ V λ x ∈ V ⊆ V ‾ ⊆ B ⊆ U x\in V\subseteq\overline V\subseteq B\subseteq U x ∈ V ⊆ V ⊆ B ⊆ U x ∈ U x\in U x ∈ U B ⊆ U B\subseteq U B ⊆ U L L L L = ∅ L=\emptyset L = ∅ f = 0 f=0 f = 0 x x x L ≠ ∅ L\neq\emptyset L = ∅ λ ∈ L \lambda\in L λ ∈ L x λ x_\lambda x λ X λ ∖ U λ X_\lambda\setminus U_\lambda X λ ∖ U λ f λ : X λ → [ 0 , 1 ] f_\lambda:X_\lambda\to[0,1] f λ : X λ → [ 0 , 1 ]
f ( z ) = max λ ∈ L f λ ( z λ )
f(z)=\max_{\lambda\in L}f_\lambda(z_\lambda)
f ( z ) = λ ∈ L max f λ ( z λ )
と定めると, f f f f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0 z ∉ B z\notin B z ∈ / B λ ∈ L \lambda\in L λ ∈ L z λ ∉ U λ z_\lambda\notin U_\lambda z λ ∈ / U λ f ( z ) = 1 f(z)=1 f ( z ) = 1 f f f x x x X ∖ U X\setminus U X ∖ U
Remark. 正規性の積空間による保存に関する注意
正規性は各因子から任意の積空間へ一般には遺伝しない.
Kolmogorov 商
2 点 x , y x,y x , y x ∼ y x\sim y x ∼ y ∼ \sim ∼ 位相的不可識別性 (topological indistinguishability ) と呼ぶ.
Proposition.
位相的不可識別性は同値関係である.
proof.
任意の点の近傍系は自分自身と一致するから反射的である.N ( x ) = N ( y ) \mathcal{N}(x)=\mathcal{N}(y) N ( x ) = N ( y ) N ( y ) = N ( z ) \mathcal{N}(y)=\mathcal{N}(z) N ( y ) = N ( z ) N ( x ) = N ( z ) \mathcal{N}(x)=\mathcal{N}(z) N ( x ) = N ( z )
Definition. Kolmogorov 商
位相空間 X X X ∼ \sim ∼ X / ∼ X/\sim X / ∼ X X X Kolmogorov 商 (Kolmogorov quotient ) といい, KQ X \operatorname{KQ}X KQ X
Theorem. Kolmogorov 商の普遍性
位相空間 X X X X 0 X_0 X 0 Y Y Y f : X → Y f:X\to Y f : X → Y f ‾ : KQ X → Y \overline{f}:\operatorname{KQ}X\to Y f : KQ X → Y f = f ‾ ∘ π f=\overline{f}\circ\pi f = f ∘ π π : X → KQ X \pi:X\to\operatorname{KQ}X π : X → KQ X
proof.
X X X KQ X \operatorname{KQ}X KQ X T 0 T_0 T 0
次に連続写像 f : X → Y f:X\to Y f : X → Y x ∼ x ′ x\sim x' x ∼ x ′ f ( x ) ≠ f ( x ′ ) f(x)\neq f(x') f ( x ) = f ( x ′ ) Y Y Y T 0 T_0 T 0 f ( x ) , f ( x ′ ) f(x),f(x') f ( x ) , f ( x ′ ) G G G f − 1 ( G ) f^{-1}(G) f − 1 ( G ) x , x ′ x,x' x , x ′ x ∼ x ′ x\sim x' x ∼ x ′ f f f
f ‾ ( [ x ] ) ≔ f ( x )
\overline f([x])\coloneqq f(x)
f ([ x ]) : = f ( x )
は well-defined であり, f = f ‾ ∘ π f=\overline f\circ\pi f = f ∘ π π \pi π f ‾ ∘ π = f \overline f\circ\pi=f f ∘ π = f f ‾ \overline f f π \pi π f ‾ \overline f f
この定理より対応 X ↦ KQ X X\mapsto\operatorname{KQ}X X ↦ KQ X
T 0 \mathbf{T}_0 T 0
Definition. 対称的空間
位相空間 X X X 対称的 (symmetric ) であるとは, 任意の 2 点 x , y x,y x , y x , y x,y x , y
Proposition. 対称的
位相空間 X X X
X X X X X X T 1 \mathbf{T}_1 T 1
proof. 位相的に識別不能な点を同一視しているため, Kolmogorov 商では異なる二点は識別可能である.T 0 T_0 T 0 T 0 T_0 T 0 T 1 T_1 T 1 T 1 T_1 T 1 X X X
Proposition.
位相空間 X X X
X X X X X X
proof. 前正則性とは, 位相的に識別可能な二点が近傍で分離されるという性質である.
古典的には前正則性を R 1 \mathbf{R}_1 R 1
Definition. 弱 Urysohn 性
位相空間 X X X 弱 Urysohn 性 を持つとは, X X X x , y x,y x , y x , y x,y x , y
この名称は本書での便宜的なものであり, 古典的な記号では R 1 1 2 R_{1\frac12} R 1 2 1
Proposition.
位相空間 X X X
X X X X X X
proof. Kolmogorov 商では, 異なる二点はちょうど元の空間で識別可能な二点に対応する.
名前付き T 0 \mathbf{T}_0 T 0
Definition. Vietoris 空間
正則かつ Kolmogorov な位相空間を Vietoris 空間 (Vietoris space ) という.
同値に, 正則 Hausdorff 空間である.
古典的には T 3 \mathbf{T}_3 T 3
Definition. Tychonoff 空間
完全正則かつ Kolmogorov な位相空間を Tychonoff 空間 (Tychonoff space ) という.
同値に, 完全正則 Hausdorff 空間である.
古典的には T 3 1 2 \mathbf{T}_{3\frac12} T 3 2 1
Definition. Tietze 空間
正規かつ T 1 \mathbf{T}_1 T 1 Tietze 空間 (Tietze space ) という.
同値に, 正規 Hausdorff 空間である.
古典的には T 4 \mathbf{T}_4 T 4
Definition. T 5 \mathbf{T}_5 T 5
遺伝的正規かつ T 1 \mathbf{T}_1 T 1 T 5 \mathbf{T}_5 T 5
古典的には 全部分正規 Hausdorff (completely normal Hausdorff space ) とも呼ばれる.
Definition. T 6 \mathbf{T}_6 T 6
完全正規かつ T 1 \mathbf{T}_1 T 1 T 6 \mathbf{T}_6 T 6
古典的には 完全正規 Hausdorff (perfectly normal Hausdorff space ) とも呼ばれる.
古典的分離公理との対応
古典的な T n \mathbf{T}_n T n
古典記号
現代的な記述
T 0 \mathbf{T}_0 T 0 Kolmogorov
T 1 \mathbf{T}_1 T 1 T 1 \mathbf{T}_1 T 1
T 2 \mathbf{T}_2 T 2 Hausdorff
T 2 1 2 \mathbf{T}_{2\frac{1}{2}} T 2 2 1 Urysohn
T 3 \mathbf{T}_3 T 3 regular + T 0 \mathbf{T}_0 T 0
T 3 1 2 \mathbf{T}_{3\frac{1}{2}} T 3 2 1 completely regular + T 0 \mathbf{T}_0 T 0
T 4 \mathbf{T}_4 T 4 normal + T 1 \mathbf{T}_1 T 1
T 5 \mathbf{T}_5 T 5 hereditarily normal + T 1 \mathbf{T}_1 T 1
T 6 \mathbf{T}_6 T 6 perfectly normal + T 1 \mathbf{T}_1 T 1
この表から分かるように, T 0 , T 1 , T 2 , … \mathbf{T}_0,\mathbf{T}_1,\mathbf{T}_2,\dots T 0 , T 1 , T 2 , …
実際,
T 0 , T 1 , T 2 \mathbf{T}_0,\mathbf{T}_1,\mathbf{T}_2 T 0 , T 1 , T 2 regularity は点と閉集合の分離,
complete regularity は連続函数による点と閉集合の分離,
normality は閉集合同士の分離,
hereditary normality は normality の遺伝性,
perfect normality は normality に閉集合の G δ G_\delta G δ
という異なる方向の強化を含んでいる.
したがって, 本書では T n \mathbf{T}_n T n T n \mathbf{T}_n T n
連結性
連結性は, 空間が二つの互いに交わらない開集合へ分解できるかを測る性質である.
連結空間
Definition. 連結空間
位相空間 X X X 不連結 (disconnected ) であるとは, 次を満たす開集合 G , H G,H G , H
G ∪ H = X , G ∩ H = ∅ , G ≠ ∅ , H ≠ ∅
G\cup H=X,\quad G\cap H=\emptyset,\quad G\neq\emptyset,\quad H\neq\emptyset
G ∪ H = X , G ∩ H = ∅ , G = ∅ , H = ∅
位相空間が不連結でないとき 連結 (connected ) であるといい, 連結な位相空間を 連結空間 (connected space ) という.
位相空間の部分集合が, 相対位相により連結空間になるとき 連結集合 (connected set ) という.
Theorem. 連結性の特徴づけ
位相空間 X X X
X X X 開かつ閉な部分集合は ∅ \emptyset ∅ X X X
2 点離散空間 B B B X → B X\to B X → B
proof.
X X X U , V U,V U , V X = U ∪ V X=U\cup V X = U ∪ V U = X ∖ V U=X\setminus V U = X ∖ V U U U ∅ \emptyset ∅ X X X U U U U U U X ∖ U X\setminus U X ∖ U
条件 2 を仮定し, 連続全射 f : X → B f:X\to B f : X → B B B B X X X
最後に条件 2 が成り立たないとする.∅ ≠ U ≠ X \emptyset\neq U\neq X ∅ = U = X U U U U U U X ∖ U X\setminus U X ∖ U X → B X\to B X → B
Theorem.
位相空間 X , Y X,Y X , Y X X X X → Y X\to Y X → Y Y Y Y
proof.
連続全射写像を f : X → Y f:X\to Y f : X → Y Y Y Y U , V U,V U , V Y = U ∪ V Y=U\cup V Y = U ∪ V f f f f − 1 ( U ) , f − 1 ( V ) f^{-1}(U),f^{-1}(V) f − 1 ( U ) , f − 1 ( V ) X X X X X X Y Y Y
Theorem.
位相空間 X , Y X,Y X , Y f : X → Y f:X\to Y f : X → Y
Y Y Y 各 y ∈ Y y\in Y y ∈ Y f − 1 ( { y } ) ⊆ X f^{-1}(\{y\})\subseteq X f − 1 ({ y }) ⊆ X
を満たすとき, X X X
proof.
X X X A , B A,B A , B X = A ∪ B X=A\cup B X = A ∪ B f − 1 ( { y } ) f^{-1}(\{y\}) f − 1 ({ y }) A A A B B B
f − 1 ( f ( A ) ) = A , f − 1 ( f ( B ) ) = B
f^{-1}(f(A))=A,\qquad f^{-1}(f(B))=B
f − 1 ( f ( A )) = A , f − 1 ( f ( B )) = B
である.f f f f ( A ) f(A) f ( A ) f ( B ) f(B) f ( B ) Y Y Y Y Y Y A , B A,B A , B f ( A ) , f ( B ) f(A),f(B) f ( A ) , f ( B ) Y Y Y X X X
Theorem. 中間値の定理
連結空間 X X X f : X → R f:X\to\mathbb{R} f : X → R f ( a ) < f ( b ) f(a)<f(b) f ( a ) < f ( b ) a , b ∈ X a,b\in X a , b ∈ X
∀ t ∈ [ f ( a ) , f ( b ) ] , ∃ c ∈ X s.t. f ( c ) = t
\forall t\in[f(a),f(b)],\exists c\in X\text{ s.t. }f(c)=t
∀ t ∈ [ f ( a ) , f ( b )] , ∃ c ∈ X s.t. f ( c ) = t
proof.
連結空間の連続像 f ( X ) f(X) f ( X ) R \mathbb{R} R f ( a ) , f ( b ) ∈ f ( X ) f(a),f(b)\in f(X) f ( a ) , f ( b ) ∈ f ( X ) f ( a ) < f ( b ) f(a)<f(b) f ( a ) < f ( b )
[ f ( a ) , f ( b ) ] ⊆ f ( X )
[f(a),f(b)]\subseteq f(X)
[ f ( a ) , f ( b )] ⊆ f ( X )
となる.t ∈ [ f ( a ) , f ( b ) ] t\in[f(a),f(b)] t ∈ [ f ( a ) , f ( b )] f ( c ) = t f(c)=t f ( c ) = t c ∈ X c\in X c ∈ X
Proposition. 連結集合の貼り合わせ
位相空間 X X X C \mathcal{C} C
∃ C 0 ∈ C s.t. ∀ C ∈ C , C ∩ C 0 ≠ ∅
\exists C_0\in\mathcal{C}\text{ s.t. }\forall C\in\mathcal{C},C\cap C_0\neq\emptyset
∃ C 0 ∈ C s.t. ∀ C ∈ C , C ∩ C 0 = ∅
を満たすとき, ⋃ C \bigcup\mathcal{C} ⋃ C X X X
proof.
C 0 ∈ C C_0\in\mathcal{C} C 0 ∈ C ⋃ C \bigcup\mathcal{C} ⋃ C U , V U,V U , V C 0 C_0 C 0 C 0 ⊆ U C_0\subseteq U C 0 ⊆ U C 0 ⊆ V C_0\subseteq V C 0 ⊆ V C 0 ⊆ U C_0\subseteq U C 0 ⊆ U C ∈ C C\in\mathcal{C} C ∈ C C ∩ C 0 ≠ ∅ C\cap C_0\neq\emptyset C ∩ C 0 = ∅ C ∩ U ≠ ∅ C\cap U\neq\emptyset C ∩ U = ∅ C C C C ⊆ U C\subseteq U C ⊆ U ⋃ C ⊆ U \bigcup\mathcal{C}\subseteq U ⋃ C ⊆ U V V V ⋃ C \bigcup\mathcal{C} ⋃ C
Definition. 局所連結空間
位相空間 X X X 局所連結 (locally connected ) であるとは, 任意の点 x ∈ X x\in X x ∈ X U U U
x ∈ V ⊆ U
x\in V\subseteq U
x ∈ V ⊆ U
を満たす連結な開集合 V V V 局所連結空間 (locally connected space ) という.
Theorem. 局所連結性の性質
位相空間 X , Y X,Y X , Y X X X X → Y X\to Y X → Y Y Y Y
proof.
開商写像を q : X → Y q:X\to Y q : X → Y y ∈ Y y\in Y y ∈ Y W W W x ∈ q − 1 ( y ) x\in q^{-1}(y) x ∈ q − 1 ( y ) q − 1 ( W ) q^{-1}(W) q − 1 ( W ) x x x x x x U U U U ⊆ q − 1 ( W ) U\subseteq q^{-1}(W) U ⊆ q − 1 ( W ) q q q q ( U ) q(U) q ( U ) y y y U U U q ( U ) q(U) q ( U ) q ( U ) ⊆ W q(U)\subseteq W q ( U ) ⊆ W Y Y Y
連結成分
Definition. 連結成分
位相空間 X X X X X X ∼ \sim ∼
x ∼ y x\sim y x ∼ y ⟺ def \mathrel{\overset{\text{def}}{\iff}} ⟺ def x , y ∈ C x,y\in C x , y ∈ C X X X C C C
として定義すると ∼ \sim ∼ x ∈ X x\in X x ∈ X 連結成分 (connected component ) を x ∈ Γ x\in\Gamma x ∈ Γ X / ∼ X/\sim X / ∼ Γ \Gamma Γ
Theorem. 連結成分の性質
位相空間 X X X x ∈ X x\in X x ∈ X Γ \Gamma Γ x x x X X X
proof.
x x x C x C_x C x { x } \{x\} { x } C x C_x C x x x x C x C_x C x C x C_x C x C x ‾ \overline{C_x} C x x ∈ C x ⊆ C x ‾ x\in C_x\subseteq\overline{C_x} x ∈ C x ⊆ C x C x ‾ ⊆ C x \overline{C_x}\subseteq C_x C x ⊆ C x C x ‾ = C x \overline{C_x}=C_x C x = C x
Definition. 完全不連結空間
各連結成分がすべて 1 点のみからなるような位相空間を 完全不連結空間 (totally disconnected space ) という.
弧状連結
Definition. 道
位相空間 X X X a , b ∈ X a,b\in X a , b ∈ X a a a b b b path from a a a b b b ) とは, f ( 0 ) = a f(0)=a f ( 0 ) = a f ( 1 ) = b f(1)=b f ( 1 ) = b f : [ 0 , 1 ] → X f:[0,1]\to X f : [ 0 , 1 ] → X a a a b b b
Definition. 道連結
位相空間が 道連結 (path-connected ) であるとは, 任意の 2 点の間に道が存在するときいう. 道連結な位相空間を 道連結空間 (path-connected space ) という.弧連結 (arcwise connected ) であるといい, そのような位相空間を 弧連結空間 (arcwise connected space ) という.
Theorem. 道の性質
位相空間 X X X
始点と終点が一致するような道は存在する.
a a a b b b f f f f ‾ : [ 0 , 1 ] → X \overline{f}:[0,1]\to X f : [ 0 , 1 ] → X
f ‾ ( t ) ≔ f ( 1 − t ) , 0 ≤ t ≤ 1
\overline{f}(t)\coloneqq f(1-t),\quad 0\leq t\leq 1
f ( t ) : = f ( 1 − t ) , 0 ≤ t ≤ 1
とすると, f ‾ \overline{f} f b b b a a a f f f
a a a b b b f f f b b b c c c g g g f ∗ g : [ 0 , 1 ] → X f\ast g:[0,1]\to X f ∗ g : [ 0 , 1 ] → X
( f ∗ g ) ( t ) ≔ { f ( 2 t ) , 0 ≤ t ≤ 1 / 2. g ( 2 t − 1 ) , 1 / 2 < t ≤ 1.
(f\ast g)(t)\coloneqq
\begin{cases}
f(2t),&0\leq t\leq 1/2.\\
g(2t-1),&1/2< t\leq 1.
\end{cases}
( f ∗ g ) ( t ) : = { f ( 2 t ) , g ( 2 t − 1 ) , 0 ≤ t ≤ 1/2. 1/2 < t ≤ 1.
とすると, f ∗ g f\ast g f ∗ g a a a c c c f f f g g g
proof. 定数写像 [ 0 , 1 ] → X [0,1]\to X [ 0 , 1 ] → X t ↦ a t\mapsto a t ↦ a a a a r ( t ) = 1 − t r(t)=1-t r ( t ) = 1 − t f ‾ = f ∘ r \overline f=f\circ r f = f ∘ r f ‾ ( 0 ) = f ( 1 ) = b \overline f(0)=f(1)=b f ( 0 ) = f ( 1 ) = b f ‾ ( 1 ) = f ( 0 ) = a \overline f(1)=f(0)=a f ( 1 ) = f ( 0 ) = a [ 0 , 1 / 2 ] [0,1/2] [ 0 , 1/2 ] [ 1 / 2 , 1 ] [1/2,1] [ 1/2 , 1 ] f ( 1 ) = b = g ( 0 ) f(1)=b=g(0) f ( 1 ) = b = g ( 0 ) f ∗ g f\ast g f ∗ g ( f ∗ g ) ( 0 ) = f ( 0 ) = a (f\ast g)(0)=f(0)=a ( f ∗ g ) ( 0 ) = f ( 0 ) = a ( f ∗ g ) ( 1 ) = g ( 1 ) = c (f\ast g)(1)=g(1)=c ( f ∗ g ) ( 1 ) = g ( 1 ) = c
Theorem.
道連結なら連結である.
proof. 弧状連結空間 X X X U , V U,V U , V X = U ∪ V X=U\cup V X = U ∪ V a ∈ U a\in U a ∈ U b ∈ V b\in V b ∈ V a a a b b b f : [ 0 , 1 ] → X f:[0,1]\to X f : [ 0 , 1 ] → X f − 1 ( U ) f^{-1}(U) f − 1 ( U ) f − 1 ( V ) f^{-1}(V) f − 1 ( V ) [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] X X X
位相学者の正弦曲線
Example. 位相学者の正弦曲線
R 2 \mathbb{R}^2 R 2
S = { ( x , sin ( 1 / x ) ) ∣ 0 < x ≤ 1 } ∪ ( { 0 } × [ − 1 , 1 ] )
S=\{(x,\sin(1/x))\mid 0<x\leq1\}
\cup(\{0\}\times[-1,1])
S = {( x , sin ( 1/ x )) ∣ 0 < x ≤ 1 } ∪ ({ 0 } × [ − 1 , 1 ])
に部分空間位相を入れた空間を 位相学者の正弦曲線 (Topologist's sine curve ) と呼ぶ.
Proposition. 位相学者の正弦曲線の性質
位相学者の正弦曲線はコンパクトかつ連結であるが, 道連結でない.
proof.
S S S [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] R 2 \mathbb{R}^2 R 2 { ( x , sin ( 1 / x ) ) ∣ 0 < x ≤ 1 } \{(x,\sin(1/x))\mid0<x\leq1\} {( x , sin ( 1/ x )) ∣ 0 < x ≤ 1 } x x x sin ( 1 / x ) \sin(1/x) sin ( 1/ x ) S S S
ハワイの耳飾り
Example. ハワイの耳飾り
原点に接する円
C n = { ( x , y ) ∈ R 2 | ( x − 1 n ) 2 + y 2 = 1 n 2 }
C_n=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mathrel{}\middle|\mathrel{}
\left(x-\frac1n\right)^2+y^2=\frac1{n^2}\right\}
C n = { ( x , y ) ∈ R 2 ( x − n 1 ) 2 + y 2 = n 2 1 }
の和集合
H = ⋃ n = 1 ∞ C n
\mathbb H=\bigcup_{n=1}^{\infty}C_n
H = n = 1 ⋃ ∞ C n
に部分空間位相を入れた空間を ハワイの耳飾り (Hawaiian earring ) と呼ぶ.
Proposition. ハワイの耳飾りの性質
ハワイの耳飾りはコンパクトかつ道連結である.
proof.
各 C n C_n C n C n C_n C n 2 / n 2/n 2/ n 0 0 0 H \mathbb H H H \mathbb H H n n n C n C_n C n
既約空間
Definition. 既約空間
位相空間 X X X 既約 (irreducible ) あるいは 超連結 (hyperconnected ) であるとは, X X X F , E F,E F , E F ∪ E ≠ X F\cup E\neq X F ∪ E = X
位相空間の部分集合が, 相対位相により既約空間になるとき 既約集合 (irreducible set ) という.
Proposition. 既約空間の特徴づけ
位相空間 X X X
X X X 任意の空でない開集合 G , H G, H G , H G ∩ H ≠ ∅ G\cap H\neq\emptyset G ∩ H = ∅
任意の空でない開集合 G G G X X X
任意の開集合は連結である.
proof.
条件 1 が成り立つとする.G , H G,H G , H X ∖ G X\setminus G X ∖ G X ∖ H X\setminus H X ∖ H X X X F , E F,E F , E X X X X ∖ F , X ∖ E X\setminus F,X\setminus E X ∖ F , X ∖ E
開集合 G G G H H H G G G
条件 2 を仮定する.O O O O O O X X X O O O G , H G,H G , H G ∪ H G\cup H G ∪ H
Definition. 既約成分
位相空間 X X X X X X ∼ \sim ∼
x ∼ y x\sim y x ∼ y ⟺ \iff ⟺ x , y ∈ I x,y\in I x , y ∈ I X X X I I I
として定義すると ∼ \sim ∼ x ∈ X x\in X x ∈ X 既約成分 (irreducible component ) を x ∈ I x\in I x ∈ I X / ∼ X/\sim X / ∼ I I I
Theorem. 既約成分の性質
位相空間 X X X x ∈ X x\in X x ∈ X I I I x x x X X X
proof.
x x x I x I_x I x x x x I x I_x I x x x x I x I_x I x I x I_x I x I x ‾ \overline{I_x} I x x x x I x ‾ ⊆ I x \overline{I_x}\subseteq I_x I x ⊆ I x I x = I x ‾ I_x=\overline{I_x} I x = I x
順序位相
順序位相は, 線型順序を位相構造へ変換する基本的な構成である.
Definition. 順序位相
線型順序集合 ( X , ≤ ) (X,\leq) ( X , ≤ )
B ≤ = { ( a , b ) ∣ a , b ∈ X , a < b } ∪ { ( − ∞ , b ) ∣ b ∈ X } ∪ { ( a , ∞ ) ∣ a ∈ X }
\mathcal{B}_{\leq}
=\{(a,b)\mid a,b\in X, a<b\}
\cup\{(-\infty,b)\mid b\in X\}
\cup\{(a,\infty)\mid a\in X\}
B ≤ = {( a , b ) ∣ a , b ∈ X , a < b } ∪ {( − ∞ , b ) ∣ b ∈ X } ∪ {( a , ∞ ) ∣ a ∈ X }
を開基として生成される位相を X X X 順序位相 (order topology ) と呼ぶ.
( a , b ) = { x ∈ X ∣ a < x < b } , ( − ∞ , b ) = { x ∈ X ∣ x < b } , ( a , ∞ ) = { x ∈ X ∣ a < x }
(a,b)=\{x\in X\mid a<x<b\},\quad
(-\infty,b)=\{x\in X\mid x<b\},\quad
(a,\infty)=\{x\in X\mid a<x\}
( a , b ) = { x ∈ X ∣ a < x < b } , ( − ∞ , b ) = { x ∈ X ∣ x < b } , ( a , ∞ ) = { x ∈ X ∣ a < x }
と定める.
Proposition. 順序位相の Hausdorff 性
順序位相を備えた線型順序集合 X X X
proof.
異なる二点 x , y ∈ X x,y\in X x , y ∈ X x < y x<y x < y x < z < y x<z<y x < z < y z ∈ X z\in X z ∈ X ( − ∞ , z ) (-\infty,z) ( − ∞ , z ) ( z , ∞ ) (z,\infty) ( z , ∞ ) x x x y y y z z z ( − ∞ , y ) (-\infty,y) ( − ∞ , y ) ( x , ∞ ) (x,\infty) ( x , ∞ ) x x x y y y X X X
Example. 順序位相の例
実数全体に通常の大小関係による順序位相を与えると, 通常の実数直線が得られる.ω 1 \omega_1 ω 1
Definition. 線型連続体
線型順序集合 ( X , ≤ ) (X,\leq) ( X , ≤ ) 線型連続体 (linear continuum ) であるとは, 次の条件を満たすときいう.
x < y x<y x < y x < z < y x<z<y x < z < y z ∈ X z\in X z ∈ X 空でなく上に有界な任意の部分集合 A ⊆ X A\subseteq X A ⊆ X X X X
線型連続体に順序位相を与えた空間を線型連続体空間とも呼ぶ.
Example. 線型連続体の例
R \mathbb R R [ a , b ] [a,b] [ a , b ] Q \mathbb Q Q Z \mathbb Z Z
Theorem. 線型連続体と連結性
線型順序集合 X X X
X X X X X X
特に, 線型連続体の任意の区間と半直線も連結である.
proof.
X X X x < y x<y x < y ( − ∞ , y ) (-\infty,y) ( − ∞ , y ) ( x , ∞ ) (x,\infty) ( x , ∞ ) X X X X X X X X X A ⊆ X A\subseteq X A ⊆ X A A A X X X X X X
逆に X X X X = U ∪ V X=U\cup V X = U ∪ V u ∈ U u\in U u ∈ U v ∈ V v\in V v ∈ V u < v u<v u < v U U U V V V c c c c c c U U U V V V c c c U U U V V V X X X
位相不変量
位相不変量は, 同相写像で保存される空間の量または代数的対象である.
基数不変量
Definition. 位相的密度
位相空間 X X X X X X 位相的密度 (topological density ) あるいは単に 密度 (density ) という.
Definition. 位相的指標
位相空間 X X X x ∈ X x\in X x ∈ X x x x X X X x x x 位相的指標 (topological character ) あるいは単に 指標 (character ) という.X X X X X X
Definition. 位相的荷重
位相空間 X X X X X X 位相的荷重 (topological weight ) あるいは単に 荷重 (weight ) という.
Definition. network weight
位相空間 X X X U U U x ∈ U x\in U x ∈ U x ∈ N ⊆ U x\in N\subseteq U x ∈ N ⊆ U N N N n w ( X ) nw(X) n w ( X ) network weight と呼ぶ.
Definition. Lindelöf 度数
位相空間 X X X κ \kappa κ L ( X ) L(X) L ( X ) Lindelöf 度数 (Lindelöf number ) と呼ぶ.L ( X ) ≤ ℵ 0 L(X)\leq\aleph_0 L ( X ) ≤ ℵ 0
Definition. 弱被覆度数
位相空間 X X X X X X κ \kappa κ 弱被覆度数 といい w c ( X ) wc(X) w c ( X ) w c ( X ) ≤ L ( X ) wc(X)\leq L(X) w c ( X ) ≤ L ( X )
Definition. cellularity
位相空間 X X X c ( X ) c(X) c ( X ) cellularity と呼ぶ.
Definition. spread と extent
位相空間 X X X spread s ( X ) s(X) s ( X ) e ( X ) e(X) e ( X ) e ( X ) ≤ s ( X ) e(X)\leq s(X) e ( X ) ≤ s ( X )
Definition. tightness
位相空間 X X X tightness t ( X ) t(X) t ( X ) A ⊆ X A\subseteq X A ⊆ X x ∈ cl ( A ) x\in\operatorname{cl}(A) x ∈ cl ( A ) ∣ B ∣ ≤ κ |B|\leq\kappa ∣ B ∣ ≤ κ B ⊆ A B\subseteq A B ⊆ A x ∈ cl ( B ) x\in\operatorname{cl}(B) x ∈ cl ( B ) B B B κ \kappa κ
Proposition. 基数不変量の基本不等式
任意の位相空間 X X X w c ( X ) ≤ d ( X ) ≤ w ( X ) wc(X)\leq d(X)\leq w(X) w c ( X ) ≤ d ( X ) ≤ w ( X ) n w ( X ) ≤ w ( X ) nw(X)\leq w(X) n w ( X ) ≤ w ( X ) t ( X ) ≤ χ ( X ) ≤ w ( X ) t(X)\leq\chi(X)\leq w(X) t ( X ) ≤ χ ( X ) ≤ w ( X ) e ( X ) ≤ s ( X ) e(X)\leq s(X) e ( X ) ≤ s ( X ) n w ( X ) = w ( X ) nw(X)=w(X) n w ( X ) = w ( X )
proof. 開基はネットワークであり, 近傍基は閉包を検出するため t ( X ) ≤ χ ( X ) t(X)\leq\chi(X) t ( X ) ≤ χ ( X )
代数的不変量
Definition. ホモトピー群
点付き位相空間 ( X , x 0 ) (X,x_0) ( X , x 0 ) n ≥ 1 n\geq 1 n ≥ 1 n n n S n S^n S n X X X π n ( X , x 0 ) \pi_n(X,x_0) π n ( X , x 0 ) n n n n n n n = 1 n=1 n = 1 π 1 ( X , x 0 ) \pi_1(X,x_0) π 1 ( X , x 0 )
Definition. 特異ホモロジー群
位相空間 X X X G G G n n n C n ( X ; G ) C_n(X;G) C n ( X ; G ) n n n X X X G G G ∂ n \partial_n ∂ n n n n n n n H n ( X ; G ) = ker ∂ n / im ∂ n + 1 H_n(X;G)=\ker\partial_n/\operatorname{im}\partial_{n+1} H n ( X ; G ) = ker ∂ n / im ∂ n + 1
Definition. 特異コホモロジー群
特異鎖複体に対して n n n C n ( X ; G ) = Hom ( C n ( X ; Z ) , G ) C^n(X;G)=\operatorname{Hom}(C_n(X;\mathbb{Z}),G) C n ( X ; G ) = Hom ( C n ( X ; Z ) , G ) δ n \delta^n δ n n n n n n n H n ( X ; G ) = ker δ n / im δ n − 1 H^n(X;G)=\ker\delta^n/\operatorname{im}\delta^{n-1} H n ( X ; G ) = ker δ n / im δ n − 1
Theorem. 代数的不変量の同相不変性
同相写像 f : X → Y f:X\to Y f : X → Y
proof. f f f f − 1 f^{-1} f − 1
可算性
可算性公理は, 空間の局所情報を可算個の開集合で記録できるかを表す.
可算公理
Definition. 可分空間
位相空間 X X X 可分 (separable ) であるとは, X X X 可分空間 (separable space ) という.
Definition. 第一可算空間
位相空間 X X X 第一可算 (first-countable ) であるとは, X X X 第一可算空間 (first-countable space ) という.第一可算公理 (first axiom of countability ) という.
Definition. 第二可算空間
位相空間 X X X 第二可算 (second-countable ) であるとは, X X X 第二可算空間 (second-countable space ) という.第二可算公理 (second axiom of countability ) という.
Proposition.
第二可算空間は可分である.
proof. X X X B \mathcal{B} B B ∈ B B\in\mathcal{B} B ∈ B x B ∈ B x_B\in B x B ∈ B D D D B \mathcal{B} B D D D U ⊆ X U\subseteq X U ⊆ X B ∈ B B\in\mathcal{B} B ∈ B ∅ ≠ B ⊆ U \emptyset\neq B\subseteq U ∅ = B ⊆ U x B ∈ D ∩ U x_B\in D\cap U x B ∈ D ∩ U D D D X X X
被覆と次元
開被覆は局所的な情報を空間全体へ配置するための道具であり, 細分はその情報をより細かくする操作である.
局所有限性
Definition. 局所有限性
位相空間 X X X σ \sigma σ 局所有限 (locally finite ) であるとは, 任意の点 x ∈ X x\in X x ∈ X x ∈ G x\in G x ∈ G { S ∈ σ ∣ S ∩ G ≠ ∅ } \{S\in\sigma\mid S\cap G\neq\emptyset\} { S ∈ σ ∣ S ∩ G = ∅ } G G G
Definition. 星有限性
位相空間 X X X σ \sigma σ 星有限 (star finite ) であるとは, 任意の A ∈ σ A\in\sigma A ∈ σ { S ∈ σ ∣ S ∩ A ≠ ∅ } \{S\in\sigma\mid S\cap A\neq\emptyset\} { S ∈ σ ∣ S ∩ A = ∅ }
Proposition.
位相空間 X , Y X,Y X , Y Y Y Y σ \sigma σ f : X → Y f:X\to Y f : X → Y σ \sigma σ { f − 1 ( S ) ∣ S ∈ σ } \{f^{-1}(S)\mid S\in\sigma\} { f − 1 ( S ) ∣ S ∈ σ }
proof.
x ∈ X x\in X x ∈ X σ \sigma σ f ( x ) f(x) f ( x ) V V V V V V σ \sigma σ f − 1 ( V ) f^{-1}(V) f − 1 ( V ) x x x f − 1 ( V ) f^{-1}(V) f − 1 ( V ) f − 1 ( S ) f^{-1}(S) f − 1 ( S ) V ∩ S ≠ ∅ V\cap S\neq\emptyset V ∩ S = ∅ f − 1 ( V ) f^{-1}(V) f − 1 ( V ) x x x
Proposition.
位相空間 X X X σ \sigma σ σ ‾ ≔ { S ‾ ∣ S ∈ σ } \overline{\sigma}\coloneqq\{\overline{S}\mid S\in\sigma\} σ : = { S ∣ S ∈ σ } ⋃ σ ‾ ⊆ ⋃ σ ‾ \bigcup\overline{\sigma}\subseteq\overline{\bigcup\sigma} ⋃ σ ⊆ ⋃ σ
proof.
x ∈ X x\in X x ∈ X σ \sigma σ x x x G G G G ∩ S ‾ ≠ ∅ G\cap\overline{S}\neq\emptyset G ∩ S = ∅ G G G G ∩ S ≠ ∅ G\cap S\neq\emptyset G ∩ S = ∅ G G G σ ‾ \overline{\sigma} σ σ ‾ \overline{\sigma} σ
各 S ∈ σ S\in\sigma S ∈ σ ⋃ σ \bigcup\sigma ⋃ σ S ‾ ⊆ ⋃ σ ‾ \overline{S}\subseteq\overline{\bigcup\sigma} S ⊆ ⋃ σ S S S ⋃ σ ‾ ⊆ ⋃ σ ‾ \bigcup\overline{\sigma}\subseteq\overline{\bigcup\sigma} ⋃ σ ⊆ ⋃ σ
Definition. 位数
集合 X X X σ \sigma σ σ \sigma σ 点 x ∈ X x\in X x ∈ X (order of a point x ∈ X x\in X x ∈ X ) を集合族 { S ∈ σ ∣ x ∈ S } \{S\in\sigma\mid x\in S\} { S ∈ σ ∣ x ∈ S } ord x σ \operatorname{ord}_x\sigma ord x σ σ \sigma σ 位数 (order ) を各点での位数の上限とし, ord σ \operatorname{ord}\sigma ord σ σ \sigma σ 点可算 (pointwise countable ) といい, 各点での位数が有限であるとき σ \sigma σ 点有限 (pointwise finite ) という.
被覆
Definition. 被覆
集合 X X X (covering of a set X X X ) とは, X X X C \mathbf{C} C X = ⋃ C X=\bigcup\mathbf{C} X = ⋃ C κ \kappa κ κ \kappa κ κ \kappa κ κ \kappa κ ℵ 0 \aleph_0 ℵ 0 可算被覆 (countable covering ) といい, 有限基数 κ \kappa κ κ \kappa κ 有限被覆 (finite covering ) という.
特に, 位相空間 X X X 開被覆 (open covering ) とは, X X X X X X X X X 閉被覆 (closed covering ) とは, X X X X X X
集合 X X X C 1 , C 2 \mathbf{C}_1,\mathbf{C}_2 C 1 , C 2 C 1 ⊆ C 2 \mathbf{C}_1\subseteq\mathbf{C}_2 C 1 ⊆ C 2 C 1 \mathbf{C}_1 C 1 C 2 \mathbf{C}_2 C 2 部分被覆 (subcovering ) という.
細分関係
集合 X X X ( 2 X , ⊆ ) (2^X,\subseteq) ( 2 X , ⊆ ) ≤ \leq ≤
G ≤ H ⟺ ∀ G ∈ G , ∃ H ∈ H s.t. G ⊆ H
\mathbf{G}\leq\mathbf{H}\iff\forall G\in\mathbf{G},\exists H\in\mathbf{H}\text{ s.t. }G\subseteq H
G ≤ H ⟺ ∀ G ∈ G , ∃ H ∈ H s.t. G ⊆ H
この細分関係により, X X X ( C λ ∣ λ ∈ Λ ) (\mathbf{C}_\lambda\mid\lambda\in\Lambda) ( C λ ∣ λ ∈ Λ )
⋁ λ ∈ Λ C λ = { ⋃ λ ∈ Λ U λ | U λ ∈ C λ , λ ∈ Λ } , ⋀ λ ∈ Λ C λ = { ⋂ λ ∈ Λ U λ | U λ ∈ C λ , λ ∈ Λ }
\bigvee_{\lambda\in\Lambda}\mathbf{C}_\lambda=\left\{\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda\mathrel{}\middle|\mathrel{}U_\lambda\in\mathbf{C}_\lambda,\lambda\in\Lambda\right\}
,\quad
\bigwedge_{\lambda\in\Lambda}\mathbf{C}_\lambda=\left\{\bigcap_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda\mathrel{}\middle|\mathrel{}U_\lambda\in\mathbf{C}_\lambda,\lambda\in\Lambda\right\}
λ ∈ Λ ⋁ C λ = { λ ∈ Λ ⋃ U λ U λ ∈ C λ , λ ∈ Λ } , λ ∈ Λ ⋀ C λ = { λ ∈ Λ ⋂ U λ U λ ∈ C λ , λ ∈ Λ }
はそれぞれ X X X
Definition. 星型集合
集合 X X X U \mathbf{U} U A ⊆ X A\subseteq X A ⊆ X
U ( A ) ≔ ⋃ { U ∈ U ∣ U ∩ A ≠ ∅ }
\mathbf{U}(A)\coloneqq\bigcup\{U\in\mathbf{U}\mid U\cap A\neq\emptyset\}
U ( A ) : = ⋃ { U ∈ U ∣ U ∩ A = ∅ }
を U \mathbf{U} U A A A star of a set A A A U \mathbf{U} U ) という.A A A x ∈ X x\in X x ∈ X U ( x ) \mathbf{U}(x) U ( x ) n ∈ N n\in\mathbb N n ∈ N
U n ≔ { ⋃ i = 1 n U i | U i ∈ U , U i ∩ U i + 1 ≠ ∅ } , U 0 = 2 X
\mathbf{U}^n\coloneqq\left\{\bigcup_{i=1}^{n}U_i\mathrel{}\middle|\mathrel{}U_i\in\mathbf{U},U_i\cap U_{i+1}\neq\emptyset\right\},\quad \mathbf{U}^0=2^X
U n : = { i = 1 ⋃ n U i U i ∈ U , U i ∩ U i + 1 = ∅ } , U 0 = 2 X
とする.
Proposition.
集合 X X X U , V \mathbf{U},\mathbf{V} U , V m , n ∈ N m,n\in\mathbb N m , n ∈ N U m n = ( U m ) n \mathbf{U}^{mn}=(\mathbf{U}^m)^n U mn = ( U m ) n
proof.
左辺の元は, 隣り合うものが交わる m n mn mn U \mathbf U U m m m n n n U m \mathbf U^m U m ( U m ) n (\mathbf U^m)^n ( U m ) n ( U m ) n (\mathbf U^m)^n ( U m ) n m m m m n mn mn U \mathbf U U
Proposition.
集合 X X X U \mathbf{U} U A ∈ 2 X A\in2^X A ∈ 2 X U ( A ) = ⋃ a ∈ A U ( a ) \mathbf{U}(A)=\bigcup_{a\in A}\mathbf{U}(a) U ( A ) = ⋃ a ∈ A U ( a )
proof.
x ∈ U ( A ) x\in\mathbf U(A) x ∈ U ( A ) x ∈ U x\in U x ∈ U U ∩ A ≠ ∅ U\cap A\neq\emptyset U ∩ A = ∅ U ∈ U U\in\mathbf U U ∈ U a ∈ A a\in A a ∈ A a ∈ U a\in U a ∈ U x ∈ U ( a ) x\in\mathbf U(a) x ∈ U ( a ) x ∈ ⋃ a ∈ A U ( a ) x\in\bigcup_{a\in A}\mathbf U(a) x ∈ ⋃ a ∈ A U ( a )
Proposition.
集合 X X X U , V \mathbf{U},\mathbf{V} U , V A , B ∈ 2 X A,B\in2^X A , B ∈ 2 X U ≤ V \mathbf{U}\leq\mathbf{V} U ≤ V A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B U ( A ) ⊆ V ( B ) \mathbf{U}(A)\subseteq\mathbf{V}(B) U ( A ) ⊆ V ( B )
proof.
x ∈ U ( A ) x\in\mathbf U(A) x ∈ U ( A ) U ∈ U U\in\mathbf U U ∈ U a ∈ A ∩ U a\in A\cap U a ∈ A ∩ U x ∈ U x\in U x ∈ U U ⊆ V U\subseteq V U ⊆ V V ∈ V V\in\mathbf V V ∈ V a ∈ A ⊆ B a\in A\subseteq B a ∈ A ⊆ B V ∩ B ≠ ∅ V\cap B\neq\emptyset V ∩ B = ∅ x ∈ V ⊆ V ( B ) x\in V\subseteq\mathbf V(B) x ∈ V ⊆ V ( B )
Proposition.
集合 X X X U , V \mathbf{U},\mathbf{V} U , V x , y ∈ X x,y\in X x , y ∈ X x ∈ U ( y ) ⟺ y ∈ U ( x ) x\in\mathbf{U}(y)\iff y\in\mathbf{U}(x) x ∈ U ( y ) ⟺ y ∈ U ( x )
proof.
x ∈ U ( y ) x\in\mathbf U(y) x ∈ U ( y ) x , y ∈ U x,y\in U x , y ∈ U U ∈ U U\in\mathbf U U ∈ U x , y x,y x , y y ∈ U ( x ) y\in\mathbf U(x) y ∈ U ( x )
Proposition.
集合 X X X U , V \mathbf{U},\mathbf{V} U , V A , B ∈ 2 X A,B\in2^X A , B ∈ 2 X
m ∈ N m\in\mathbb N m ∈ N A ∩ U m ( B ) ≠ ∅ ⟺ U m ( A ) ∩ B ≠ ∅ A\cap\mathbf{U}^m(B)\neq\emptyset\iff\mathbf{U}^m(A)\cap B\neq\emptyset A ∩ U m ( B ) = ∅ ⟺ U m ( A ) ∩ B = ∅ m , n ∈ N m,n\in\mathbb N m , n ∈ N U m + n ( A ) = U m ( U n ( A ) ) \mathbf{U}^{m+n}(A)=\mathbf{U}^m(\mathbf{U}^n(A)) U m + n ( A ) = U m ( U n ( A ))
proof.
(1) は, U \mathbf{U} U A A A B B B m m m B B B A A A n n n m m m m + n m+n m + n
Definition. 重心細分と星型細分
集合 X X X U , V \mathbf{U},\mathbf{V} U , V
U Δ ≔ { U ( x ) ∣ x ∈ X } , U ∗ ≔ { U ( U ) ∣ U ∈ U }
\mathbf{U}^\varDelta\coloneqq\{\mathbf{U}(x)\mid x\in X\},\quad
\mathbf{U}^\ast\coloneqq\{\mathbf{U}(U)\mid U\in\mathbf{U}\}
U Δ : = { U ( x ) ∣ x ∈ X } , U ∗ : = { U ( U ) ∣ U ∈ U }
とし, ≤ \leq ≤
U ≤ Δ V ⟺ def U Δ ≤ V , U ≤ ∗ V ⟺ def U ∗ ≤ V
\mathbf{U}\leq^\varDelta\mathbf{V}\mathrel{\overset{\text{def}}{\iff}}\mathbf{U}^\varDelta\leq\mathbf{V},\quad
\mathbf{U}\leq^\ast\mathbf{V}\mathrel{\overset{\text{def}}{\iff}}\mathbf{U}^\ast\leq\mathbf{V}
U ≤ Δ V ⟺ def U Δ ≤ V , U ≤ ∗ V ⟺ def U ∗ ≤ V
とする. このとき, ≤ Δ \leq^\varDelta ≤ Δ 重心細分 (barycentric refinement ) といい, ≤ ∗ \leq^\ast ≤ ∗ 星細分 (star refinement ) という.
Proposition.
集合 X X X U \mathbf{U} U A ∈ 2 X A\in2^X A ∈ 2 X U 2 ( A ) = U Δ ( A ) \mathbf{U}^2(A)=\mathbf{U}^\varDelta(A) U 2 ( A ) = U Δ ( A ) U 3 ( A ) = U ∗ ( A ) \mathbf{U}^3(A)=\mathbf{U}^\ast(A) U 3 ( A ) = U ∗ ( A )
proof.
x ∈ U ( A ) x\in\mathbf U(A) x ∈ U ( A ) A A A U ∈ U U\in\mathbf U U ∈ U x x x x x x U ( x ) \mathbf U(x) U ( x ) A A A U ∈ U U\in\mathbf U U ∈ U U ( U ) \mathbf U(U) U ( U )
Proposition.
集合 X X X U \mathbf{U} U U ≤ U Δ ≤ U ∗ ≤ ( U Δ ) Δ = { U 2 ( x ) ∣ x ∈ X } \mathbf{U}\leq\mathbf{U}^\varDelta\leq\mathbf{U}^\ast\leq(\mathbf{U}^\varDelta)^\varDelta=\{\mathbf{U}^2(x)\mid x\in X\} U ≤ U Δ ≤ U ∗ ≤ ( U Δ ) Δ = { U 2 ( x ) ∣ x ∈ X }
proof.
x ∈ U x\in U x ∈ U U ⊆ U ( x ) U\subseteq\mathbf U(x) U ⊆ U ( x ) U ( x ) \mathbf U(x) U ( x ) x x x U U U A = { x } A=\{x\} A = { x }
Proposition.
位相空間 X X X U \mathbf{U} U A ∈ 2 X A\in2^X A ∈ 2 X A ‾ ⊆ U ( A ) \overline{A}\subseteq\mathbf{U}(A) A ⊆ U ( A )
proof.
x ∈ A ‾ x\in\overline A x ∈ A x ∈ U x\in U x ∈ U U ∈ U U\in\mathbf U U ∈ U U U U x x x x ∈ A ‾ x\in\overline A x ∈ A U ∩ A ≠ ∅ U\cap A\neq\emptyset U ∩ A = ∅ U U U U ( A ) \mathbf U(A) U ( A ) x ∈ U ⊆ U ( A ) x\in U\subseteq\mathbf U(A) x ∈ U ⊆ U ( A )
帰納次元と被覆次元
位相次元は, 空間を小さい開集合で覆ったときに, それらの重なりをどこまで減らせるかを測る不変量である.
以下, 空集合の次元を − 1 -1 − 1 n n n 0 0 0 V ⊆ X V\subseteq X V ⊆ X
∂ V ≔ V ‾ ∖ V ∘
\partial V\coloneqq\overline V\setminus V^\circ
∂ V : = V ∖ V ∘
と表す.
Definition. 被覆の次数
集合 X X X U \mathcal U U 次数高々 n n n (of order at most n n n ) であるとは, 任意の相異なる n + 2 n+2 n + 2 U 1 , … , U n + 2 ∈ U U_1,\ldots,U_{n+2}\in\mathcal U U 1 , … , U n + 2 ∈ U
U 1 ∩ ⋯ ∩ U n + 2 = ∅
U_1\cap\cdots\cap U_{n+2}=\emptyset
U 1 ∩ ⋯ ∩ U n + 2 = ∅
が成り立つことをいう.n + 1 n+1 n + 1
Definition. Lebesgue 被覆次元
位相空間 X X X Lebesgue 被覆次元高々 n n n (of Lebesgue covering dimension at most n n n ) であるとは, 任意の有限開被覆が次数高々 n n n n n n dim X \dim X dim X n n n dim X = ∞ \dim X=\infty dim X = ∞
次数高々 0 0 0 dim X = 0 \dim X=0 dim X = 0
Definition. 小さい帰納次元
正則 T 1 \mathbf T_1 T 1 X X X 小さい帰納次元高々 n n n (small inductive dimension at most n n n ) を次で帰納的に定める.
ind X ≤ − 1 \operatorname{ind}X\leq-1 ind X ≤ − 1 X = ∅ X=\emptyset X = ∅
n ≥ 0 n\geq0 n ≥ 0 ind X ≤ n \operatorname{ind}X\leq n ind X ≤ n x ∈ X x\in X x ∈ X x x x U U U
x ∈ V ⊆ V ‾ ⊆ U , ind ∂ V ≤ n − 1
x\in V\subseteq\overline V\subseteq U,
\qquad \operatorname{ind}\partial V\leq n-1
x ∈ V ⊆ V ⊆ U , ind ∂ V ≤ n − 1
を満たす開集合 V V V
この条件を満たす最小の n n n ind X \operatorname{ind}X ind X
Definition. 大きな帰納次元
正規 T 1 \mathbf T_1 T 1 X X X 大きな帰納次元高々 n n n (large inductive dimension at most n n n ) を次で帰納的に定める.
Ind X ≤ − 1 \operatorname{Ind}X\leq-1 Ind X ≤ − 1 X = ∅ X=\emptyset X = ∅
n ≥ 0 n\geq0 n ≥ 0 Ind X ≤ n \operatorname{Ind}X\leq n Ind X ≤ n F ⊆ X F\subseteq X F ⊆ X U U U
F ⊆ V ⊆ V ‾ ⊆ U , Ind ∂ V ≤ n − 1
F\subseteq V\subseteq\overline V\subseteq U,
\qquad \operatorname{Ind}\partial V\leq n-1
F ⊆ V ⊆ V ⊆ U , Ind ∂ V ≤ n − 1
を満たす開集合 V V V
この条件を満たす最小の n n n Ind X \operatorname{Ind}X Ind X
Proposition. 次元の同相不変性
h : X → Y h:X\to Y h : X → Y X , Y X,Y X , Y
dim X = dim Y
\dim X=\dim Y
dim X = dim Y
が成り立つ.X , Y X,Y X , Y T 1 \mathbf T_1 T 1 ind X = ind Y \operatorname{ind}X=\operatorname{ind}Y ind X = ind Y T 1 \mathbf T_1 T 1 Ind X = Ind Y \operatorname{Ind}X=\operatorname{Ind}Y Ind X = Ind Y
proof.
Y Y Y h − 1 h^{-1} h − 1 X X X X X X n n n h h h n n n h − 1 h^{-1} h − 1 dim X = dim Y \dim X=\dim Y dim X = dim Y
同相写像は開集合, 閉集合, 閉包, 内部を保つので, h ( ∂ V ) = ∂ h ( V ) h(\partial V)=\partial h(V) h ( ∂ V ) = ∂ h ( V ) n n n
Theorem. 零次元空間の特徴づけ
可分距離化可能空間 X X X
dim X = 0 \dim X=0 dim X = 0 X X X ind X = 0 \operatorname{ind}X=0 ind X = 0 Ind X = 0 \operatorname{Ind}X=0 Ind X = 0
proof.
可分距離化可能空間に対する次元一致定理から, (1), (3), (4) は同値である.ind X = 0 \operatorname{ind}X=0 ind X = 0 1 , 2
Cantor 空間
Definition. Cantor 空間
2 = { 0 , 1 } 2=\{0,1\} 2 = { 0 , 1 }
2 N = ∏ n ∈ N 2
2^{\mathbb N}=\prod_{n\in\mathbb N}2
2 N = n ∈ N ∏ 2
を Cantor 空間 と呼ぶ.
Proposition. Cantor 空間の基本性質
Cantor 空間 C C C C C C 2 ℵ 0 2^{\aleph_0} 2 ℵ 0
proof.
各因子 2 2 2 C C C
[ s ] = { x ∈ 2 N ∣ x ∣ { 0 , … , n − 1 } = s }
[s]=\{x\in 2^{\mathbb N}\mid x|_{\{0,\ldots,n-1\}}=s\}
[ s ] = { x ∈ 2 N ∣ x ∣ { 0 , … , n − 1 } = s }
は開かつ閉であり, これらが可算基をなす.C C C ∣ C ∣ = 2 ℵ 0 |C|=2^{\aleph_0} ∣ C ∣ = 2 ℵ 0
Theorem. Cantor 空間の特徴づけ
位相空間 X X X X X X
proof.
X X X 2 − n 2^{-n} 2 − n x ∈ X x\in X x ∈ X ( a n ( x ) ) n ≥ 0 (a_n(x))_{n\geq0} ( a n ( x ) ) n ≥ 0 0 0 0 X ≅ 2 N X\cong2^{\mathbb N} X ≅ 2 N
Theorem. 帰納次元と被覆次元の一致定理
可分距離化可能空間 X X X
ind X = dim X = Ind X
\operatorname{ind}X=\dim X=\operatorname{Ind}X
ind X = dim X = Ind X
が成り立つ.
proof.
この定理の証明は, 可算な局所有限開被覆を用いて被覆の次数を制御する構成と, 境界の次元についての帰納法を組み合わせる.1 および2 を参照されたい.
Theorem. Euclid 空間と基本的な多様体の次元
n ≥ 0 n\geq0 n ≥ 0
dim R n = dim [ 0 , 1 ] n = dim S n = n
\dim\mathbb R^n
=\dim[0,1]^n
=\dim S^n
=n
dim R n = dim [ 0 , 1 ] n = dim S n = n
が成り立つ.n n n
proof.
上からの不等式は, 格子による小立方体の開被覆を十分に細かく取り, 重なりの次数を n n n n n n S n S^n S n 1 , 2
Theorem. 部分空間, 閉和, 積に対する次元不等式
X , Y X,Y X , Y
部分空間 A ⊆ X A\subseteq X A ⊆ X dim A ≤ dim X \dim A\leq\dim X dim A ≤ dim X
閉部分空間 A , B ⊆ X A,B\subseteq X A , B ⊆ X X = A ∪ B X=A\cup B X = A ∪ B
dim X ≤ max { dim A , dim B } .
\dim X\leq\max\{\dim A,\dim B\}.
dim X ≤ max { dim A , dim B } .
dim X , dim Y < ∞ \dim X,\dim Y<\infty dim X , dim Y < ∞
dim ( X × Y ) ≤ dim X + dim Y .
\dim(X\times Y)\leq\dim X+\dim Y.
dim ( X × Y ) ≤ dim X + dim Y .
proof.
(1) では, 距離空間の被覆次元に対する制限補題を用いる.A A A d ( x , A ) d(x,A) d ( x , A ) dim X ≤ n \dim X\leq n dim X ≤ n n n n dim A ≤ dim X \dim A\leq\dim X dim A ≤ dim X A A A B B B X X X Y Y Y 1 および2 を参照されたい.
Corollary. Euclid 空間の直積
m , n ≥ 0 m,n\geq0 m , n ≥ 0
dim ( R m × R n ) = m + n
\dim(\mathbb R^m\times\mathbb R^n)=m+n
dim ( R m × R n ) = m + n
が成り立つ.
proof.
標準的な同相写像 R m × R n ≅ R m + n \mathbb R^m\times\mathbb R^n\cong\mathbb R^{m+n} R m × R n ≅ R m + n
有限次元空間の埋込み
Remark. Nöbeling＝Pontryagin の定理
可分距離化可能空間 X X X dim X < ∞ \dim X<\infty dim X < ∞ m ≥ 0 m\geq0 m ≥ 0 X → R m X\to\mathbb R^m X → R m
Remark. Menger＝Nöbeling の定理（1932）
コンパクト距離空間 X X X dim X ≤ n \dim X\leq n dim X ≤ n
X ⟶ R 2 n + 1
X\longrightarrow\mathbb R^{2n+1}
X ⟶ R 2 n + 1
が存在する.C ( X , R 2 n + 1 ) C(X,\mathbb R^{2n+1}) C ( X , R 2 n + 1 ) G δ G_\delta G δ
立方体の被覆と色つき被覆
Remark. Lebesgue 被覆定理
I n = [ 0 , 1 ] n I^n=[0,1]^n I n = [ 0 , 1 ] n D 1 , … , D r D_1,\ldots,D_r D 1 , … , D r D j D_j D j { x ∣ x i = 0 } \{x\mid x_i=0\} { x ∣ x i = 0 } { x ∣ x i = 1 } \{x\mid x_i=1\} { x ∣ x i = 1 } n + 1 n+1 n + 1 j 0 , … , j n j_0,\ldots,j_n j 0 , … , j n
D j 0 ∩ ⋯ ∩ D j n ≠ ∅
D_{j_0}\cap\cdots\cap D_{j_n}\neq\emptyset
D j 0 ∩ ⋯ ∩ D j n = ∅
となる.
Definition. 離散な開族
位相空間 X X X V \mathcal V V 離散な開族 (discrete open family ) であるとは, 各元が開集合であり, 任意の x ∈ X x\in X x ∈ X V ∈ V V\in\mathcal V V ∈ V
Remark. 色つき次元に関する Ostrand の定理
距離化可能空間 X X X n ≥ 0 n\geq0 n ≥ 0 dim X ≤ n \dim X\leq n dim X ≤ n U \mathcal U U V 1 , V 2 , … \mathcal V_1,\mathcal V_2,\ldots V 1 , V 2 , … V i \mathcal V_i V i U \mathcal U U n + 1 n+1 n + 1 i 1 , … , i n + 1 i_1,\ldots,i_{n+1} i 1 , … , i n + 1 V i 1 ∪ ⋯ ∪ V i n + 1 \mathcal V_{i_1}\cup\cdots\cup\mathcal V_{i_{n+1}} V i 1 ∪ ⋯ ∪ V i n + 1 X X X n + 1 n+1 n + 1 n + 1 n+1 n + 1 n n n
コンパクト性
コンパクト性は, 任意の開被覆から有限個だけを選んでも空間を覆えるという有限性の条件である.
コンパクト空間
Definition. コンパクト空間
位相空間 X X X コンパクト性を持つ (compactness ) とは, X X X コンパクト空間 (compact space ) という.
Noether 空間
Definition. Noether 空間
位相空間 X X X Noether 空間 (Noetherian space ) であるとは, X X X
F 0 ⊇ F 1 ⊇ F 2 ⊇ ⋯
F_0\supseteq F_1\supseteq F_2\supseteq\cdots
F 0 ⊇ F 1 ⊇ F 2 ⊇ ⋯
がある段階で安定する, すなわちある m m m F m = F m + 1 = ⋯ F_m=F_{m+1}=\cdots F m = F m + 1 = ⋯
Theorem. Noether 性と遺伝的コンパクト性
位相空間 X X X
X X X X X X X X X
proof.
Noether 空間の任意の部分集合は, 誘導位相に関して Noether 空間である.( 1 ) ⇒ ( 3 ) (1)\Rightarrow(3) ( 1 ) ⇒ ( 3 ) ( 3 ) ⇒ ( 2 ) (3)\Rightarrow(2) ( 3 ) ⇒ ( 2 ) ( 2 ) ⇒ ( 1 ) (2)\Rightarrow(1) ( 2 ) ⇒ ( 1 ) U 0 ⊊ U 1 ⊊ ⋯ U_0\subsetneq U_1\subsetneq\cdots U 0 ⊊ U 1 ⊊ ⋯ U = ⋃ n ≥ 0 U n U=\bigcup_{n\geq0}U_n U = ⋃ n ≥ 0 U n ( U n ) n ≥ 0 (U_n)_{n\geq0} ( U n ) n ≥ 0 U U U U U U
Remark.
Hausdorff Noether 空間は有限離散空間である.
Theorem. コンパクト性と同値な命題
位相空間 X X X
X X X X X X F \mathbf{F} F ⋂ F ∈ F F ‾ ≠ ∅ \bigcap_{F\in\mathbf{F}}\overline{F}\neq\emptyset ⋂ F ∈ F F = ∅ X X X F \mathbf{F} F ⋂ F ∈ F F ‾ ≠ ∅ \bigcap_{F\in\mathbf{F}}\overline{F}\neq\emptyset ⋂ F ∈ F F = ∅ X X X X X X
proof.
( 1 ) ⇒ ( 2 ) (1)\Rightarrow(2) ( 1 ) ⇒ ( 2 ) F \mathbf F F ⋂ F ∈ F F ‾ = ∅ \bigcap_{F\in\mathbf F}\overline F=\emptyset ⋂ F ∈ F F = ∅ { X ∖ F ‾ ∣ F ∈ F } \{X\setminus\overline F\mid F\in\mathbf F\} { X ∖ F ∣ F ∈ F } F F F
( 2 ) ⇒ ( 3 ) (2)\Rightarrow(3) ( 2 ) ⇒ ( 3 ) ( 3 ) ⇒ ( 4 ) (3)\Rightarrow(4) ( 3 ) ⇒ ( 4 ) F \mathcal F F x x x F ∩ N ( x ) \mathcal F\cap\mathcal N(x) F ∩ N ( x ) F \mathcal F F x x x ( 4 ) ⇒ ( 5 ) (4)\Rightarrow(5) ( 4 ) ⇒ ( 5 )
最後に ( 5 ) ⇒ ( 1 ) (5)\Rightarrow(1) ( 5 ) ⇒ ( 1 ) U \mathcal U U { X ∖ U ∣ U ∈ U } \{X\setminus U\mid U\in\mathcal U\} { X ∖ U ∣ U ∈ U } M \mathcal M M M \mathcal M M x ∈ X x\in X x ∈ X U ∈ U U\in\mathcal U U ∈ U x x x U U U X ∖ U X\setminus U X ∖ U M \mathcal M M M \mathcal M M
Proposition. コンパクト性の連続全射像による保存
コンパクト空間 X X X Y Y Y f : X → Y f:X\to Y f : X → Y Y Y Y
proof.
Y Y Y V \mathcal{V} V { f − 1 ( V ) ∣ V ∈ V } \{f^{-1}(V)\mid V\in\mathcal{V}\} { f − 1 ( V ) ∣ V ∈ V } X X X f f f X X X X X X V 1 , … , V n ∈ V V_1,\ldots,V_n\in\mathcal{V} V 1 , … , V n ∈ V
X = f − 1 ( V 1 ) ∪ ⋯ ∪ f − 1 ( V n )
X=f^{-1}(V_1)\cup\cdots\cup f^{-1}(V_n)
X = f − 1 ( V 1 ) ∪ ⋯ ∪ f − 1 ( V n )
となる.Y = V 1 ∪ ⋯ ∪ V n Y=V_1\cup\cdots\cup V_n Y = V 1 ∪ ⋯ ∪ V n V \mathcal{V} V
Proposition. コンパクト性の閉部分空間への遺伝
コンパクト空間 X X X F F F
proof.
F F F U \mathcal{U} U U ∈ U U\in\mathcal{U} U ∈ U X X X U ∪ { X ∖ F } \mathcal{U}\cup\{X\setminus F\} U ∪ { X ∖ F } X X X X X X X ∖ F X\setminus F X ∖ F F F F F F F
Proposition. Hausdorff 空間のコンパクト部分集合
Hausdorff 空間のコンパクトな部分集合は閉集合となる.
proof.
Hausdorff 空間 X X X K K K x ∈ X ∖ K x\in X\setminus K x ∈ X ∖ K y ∈ K y\in K y ∈ K x ∈ U y x\in U_y x ∈ U y y ∈ V y y\in V_y y ∈ V y U y ∩ V y = ∅ U_y\cap V_y=\emptyset U y ∩ V y = ∅ U y , V y U_y,V_y U y , V y { V y ∣ y ∈ K } \{V_y\mid y\in K\} { V y ∣ y ∈ K } K K K y 1 , … , y n ∈ K y_1,\ldots,y_n\in K y 1 , … , y n ∈ K K ⊆ V y 1 ∪ ⋯ ∪ V y n K\subseteq V_{y_1}\cup\cdots\cup V_{y_n} K ⊆ V y 1 ∪ ⋯ ∪ V y n U = U y 1 ∩ ⋯ ∩ U y n U=U_{y_1}\cap\cdots\cap U_{y_n} U = U y 1 ∩ ⋯ ∩ U y n U U U x x x U ∩ K = ∅ U\cap K=\emptyset U ∩ K = ∅ U ⊆ X ∖ K U\subseteq X\setminus K U ⊆ X ∖ K X ∖ K X\setminus K X ∖ K K K K
Theorem. Heine–Borel の被覆定理の類似
コンパクト距離空間 K K K S ⊆ C ( K , C ) S\subseteq C(K,\mathbb{C}) S ⊆ C ( K , C ) S S S S S S
proof.
S S S f ↦ f ( x ) f\mapsto f(x) f ↦ f ( x ) S S S ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 K K K E ⊆ K E\subseteq K E ⊆ K x ∈ K x\in K x ∈ K e ∈ E e\in E e ∈ E ∣ f ( x ) − f ( e ) ∣ < ε / 3 |f(x)-f(e)|<\varepsilon/3 ∣ f ( x ) − f ( e ) ∣ < ε /3 f ∈ S f\in S f ∈ S { ( f ( e ) ) e ∈ E ∣ f ∈ S } \{(f(e))_{e\in E}\mid f\in S\} {( f ( e ) ) e ∈ E ∣ f ∈ S } ε / 3 \varepsilon/3 ε /3 S S S C ( K , C ) C(K,\mathbb C) C ( K , C ) S S S S S S
Theorem. Dini の定理
コンパクト空間 X X X ( f n : X → R ) n ∈ N (f_n:X\to\mathbb{R})_{n\in\mathbb N} ( f n : X → R ) n ∈ N
( f n ) (f_n) ( f n ) f : X → R f:X\to\mathbb{R} f : X → R ( f n ) (f_n) ( f n ) f n ( x ) ≤ f n + 1 ( x ) , x ∈ X , n ∈ N f_n(x)\leq f_{n+1}(x),x\in X,n\in\mathbb N f n ( x ) ≤ f n + 1 ( x ) , x ∈ X , n ∈ N
を満たすとき, ( f n ) (f_n) ( f n ) f f f
proof.
各 x ∈ X x\in X x ∈ X f n ( x ) ↑ f ( x ) f_n(x)\uparrow f(x) f n ( x ) ↑ f ( x ) f − f n ≥ 0 f-f_n\geq0 f − f n ≥ 0 ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0
U n ≔ { x ∈ X ∣ f ( x ) − f n ( x ) < ε }
U_n\coloneqq\{x\in X\mid f(x)-f_n(x)<\varepsilon\}
U n : = { x ∈ X ∣ f ( x ) − f n ( x ) < ε }
とおく.U n U_n U n ( U n ) n ≥ 1 (U_n)_{n\geq1} ( U n ) n ≥ 1 X X X U n ⊆ U n + 1 U_n\subseteq U_{n+1} U n ⊆ U n + 1 N N N U N = X U_N=X U N = X x ∈ X x\in X x ∈ X 0 ≤ f ( x ) − f N ( x ) < ε 0\leq f(x)-f_N(x)<\varepsilon 0 ≤ f ( x ) − f N ( x ) < ε n ≥ N n\geq N n ≥ N f n f_n f n f f f
Theorem. Tychonoff の定理
すべて空でない位相空間の列 ( X λ ∣ λ ∈ Λ ) (X_\lambda\mid\lambda\in\Lambda) ( X λ ∣ λ ∈ Λ )
各 X λ X_\lambda X λ
積空間 ∏ λ ∈ Λ X λ \prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda ∏ λ ∈ Λ X λ
proof.
選択公理により, 非空な因子の族の積は非空であり, 各射影 π λ : ∏ μ X μ → X λ \pi_\lambda:\prod_\mu X_\mu\to X_\lambda π λ : ∏ μ X μ → X λ ( 2 ) ⇒ ( 1 ) (2)\Rightarrow(1) ( 2 ) ⇒ ( 1 ) ( 1 ) ⇒ ( 2 ) (1)\Rightarrow(2) ( 1 ) ⇒ ( 2 ) U \mathcal{U} U ( π λ ) ∗ U (\pi_\lambda)_*\mathcal{U} ( π λ ) ∗ U X λ X_\lambda X λ λ \lambda λ x λ ∈ X λ x_\lambda\in X_\lambda x λ ∈ X λ x = ( x λ ) λ ∈ Λ x=(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} x = ( x λ ) λ ∈ Λ x λ x_\lambda x λ U \mathcal{U} U U \mathcal{U} U x x x
Lindelöf 空間
Definition. Lindelöf 空間
位相空間 X X X Lindelöf 性を持つ (Lindelöfness ) とは, X X X Lindelöf 空間 (Lindelöf space ) という.
Proposition. Lindelöf 性の連続全射像による保存
Lindelöf 空間 X X X Y Y Y f : X → Y f:X\to Y f : X → Y Y Y Y
proof.
Y Y Y V \mathcal{V} V { f − 1 ( V ) ∣ V ∈ V } \{f^{-1}(V)\mid V\in\mathcal{V}\} { f − 1 ( V ) ∣ V ∈ V } X X X X X X { V n ∣ n ∈ N } ⊆ V \{V_n\mid n\in\mathbb{N}\}\subseteq\mathcal{V} { V n ∣ n ∈ N } ⊆ V
X = ⋃ n ∈ N f − 1 ( V n )
X=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}f^{-1}(V_n)
X = n ∈ N ⋃ f − 1 ( V n )
となる.f f f Y = ⋃ n ∈ N V n Y=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}V_n Y = ⋃ n ∈ N V n Y Y Y
Proposition. Lindelöf 性の閉部分空間への遺伝
Lindelöf 空間 X X X F F F
proof.
F F F U \mathcal{U} U U ∈ U U\in\mathcal{U} U ∈ U X X X U ∪ { X ∖ F } \mathcal{U}\cup\{X\setminus F\} U ∪ { X ∖ F } X X X X X X X ∖ F X\setminus F X ∖ F F F F F F F
Proposition. 第二可算性から Lindelöf 性
第二可算な位相空間は Lindelöf 空間となる.
proof.
可算な開基を B \mathcal{B} B X X X U \mathcal{U} U B \mathcal{B} B U ∈ U U\in\mathcal{U} U ∈ U B ′ \mathcal{B}' B ′ B ′ \mathcal{B}' B ′ x ∈ X x\in X x ∈ X x ∈ U x\in U x ∈ U U ∈ U U\in\mathcal{U} U ∈ U x ∈ B ⊆ U x\in B\subseteq U x ∈ B ⊆ U B ∈ B B\in\mathcal{B} B ∈ B B B B B ′ \mathcal{B}' B ′ B ∈ B ′ B\in\mathcal{B}' B ∈ B ′ B ⊆ U B B\subseteq U_B B ⊆ U B U B ∈ U U_B\in\mathcal{U} U B ∈ U { U B ∣ B ∈ B ′ } \{U_B\mid B\in\mathcal{B}'\} { U B ∣ B ∈ B ′ } U \mathcal{U} U X X X
Proposition. 正則 Lindelöf 空間の正規性
正則な Lindelöf 空間は正規空間となる.
proof.
互いに交わらない閉集合 A , B ⊆ X A,B\subseteq X A , B ⊆ X a ∈ A a\in A a ∈ A a ∈ U a a\in U_a a ∈ U a U a ‾ ∩ B = ∅ \overline{U_a}\cap B=\emptyset U a ∩ B = ∅ U a U_a U a A A A ( U n ) n ∈ N (U_n)_{n\in\mathbb{N}} ( U n ) n ∈ N B B B V n ‾ ∩ A = ∅ \overline{V_n}\cap A=\emptyset V n ∩ A = ∅ ( V n ) n ∈ N (V_n)_{n\in\mathbb{N}} ( V n ) n ∈ N
U = ⋃ n ∈ N ( U n ∖ ⋃ i ≤ n V i ‾ ) , V = ⋃ n ∈ N ( V n ∖ ⋃ i ≤ n U i ‾ ) .
U=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left(U_n\setminus\bigcup_{i\leq n}\overline{V_i}\right),\qquad
V=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left(V_n\setminus\bigcup_{i\leq n}\overline{U_i}\right).
U = n ∈ N ⋃ ( U n ∖ i ≤ n ⋃ V i ) , V = n ∈ N ⋃ ( V n ∖ i ≤ n ⋃ U i ) .
A ⊆ U A\subseteq U A ⊆ U B ⊆ V B\subseteq V B ⊆ V A ∩ V i ‾ = ∅ A\cap\overline{V_i}=\emptyset A ∩ V i = ∅ B ∩ U i ‾ = ∅ B\cap\overline{U_i}=\emptyset B ∩ U i = ∅ x ∈ U n ∖ ⋃ i ≤ n V i ‾ x\in U_n\setminus\bigcup_{i\leq n}\overline{V_i} x ∈ U n ∖ ⋃ i ≤ n V i x ∈ V m ∖ ⋃ i ≤ m U i ‾ x\in V_m\setminus\bigcup_{i\leq m}\overline{U_i} x ∈ V m ∖ ⋃ i ≤ m U i n ≤ m n\leq m n ≤ m x ∉ U n ‾ x\notin\overline{U_n} x ∈ / U n m ≤ n m\leq n m ≤ n x ∉ V m ‾ x\notin\overline{V_m} x ∈ / V m U ∩ V = ∅ U\cap V=\emptyset U ∩ V = ∅ X X X
Proposition. コンパクト性から Lindelöf 性
コンパクト空間は Lindelöf 空間となる.
proof.
コンパクト空間の任意の開被覆は有限部分被覆を持つ.
Theorem.
距離空間 X X X
X X X X X X X X X
proof.
( 2 ) ⇒ ( 1 ) (2)\Rightarrow(1) ( 2 ) ⇒ ( 1 ) ( 1 ) ⇒ ( 3 ) (1)\Rightarrow(3) ( 1 ) ⇒ ( 3 ) n ∈ N n\in\mathbb N n ∈ N 1 / n 1/n 1/ n X X X n n n D n D_n D n D = ⋃ n ≥ 1 D n D=\bigcup_{n\geq1}D_n D = ⋃ n ≥ 1 D n U U U x ∈ U x\in U x ∈ U B ( x , ε ) ⊆ U B(x,\varepsilon)\subseteq U B ( x , ε ) ⊆ U ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 2 / n < ε 2/n<\varepsilon 2/ n < ε n n n x x x D n D_n D n 1 / n 1/n 1/ n d d d d ( x , d ) < 1 / n < ε d(x,d)<1/n<\varepsilon d ( x , d ) < 1/ n < ε d ∈ D ∩ U d\in D\cap U d ∈ D ∩ U D D D
( 3 ) ⇒ ( 2 ) (3)\Rightarrow(2) ( 3 ) ⇒ ( 2 ) D D D d ∈ D d\in D d ∈ D q q q B ( d , q ) B(d,q) B ( d , q ) x ∈ U x\in U x ∈ U U U U B ( x , ε ) ⊆ U B(x,\varepsilon)\subseteq U B ( x , ε ) ⊆ U ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 0 < q < ε / 2 0<q<\varepsilon/2 0 < q < ε /2 q q q d ( x , d ) < q d(x,d)<q d ( x , d ) < q d ∈ D d\in D d ∈ D x ∈ B ( d , q ) ⊆ B ( x , 2 q ) ⊆ U x\in B(d,q)\subseteq B(x,2q)\subseteq U x ∈ B ( d , q ) ⊆ B ( x , 2 q ) ⊆ U
可算コンパクト空間
Definition. 可算コンパクト空間
位相空間 X X X 可算コンパクト性を持つ (Countably compactness ) とは, X X X 可算コンパクト空間 (Countably compact space ) という.
Theorem. 可算コンパクト性と同値な命題
T 1 \mathbf{T}_1 T 1 X X X
X X X X X X F \mathbf{F} F ⋂ F ∈ F F ‾ ≠ ∅ \bigcap_{F\in\mathbf{F}}\overline{F}\neq\emptyset ⋂ F ∈ F F = ∅ X X X
proof.
(1)⇒ \Rightarrow ⇒ ⇒ \Rightarrow ⇒ { a n ∣ n ∈ N } \{a_n\mid n\in\mathbb N\} { a n ∣ n ∈ N } F n = { a k ∣ k ≥ n } F_n=\{a_k\mid k\geq n\} F n = { a k ∣ k ≥ n } x ∈ ⋂ n F n ‾ x\in\bigcap_n\overline{F_n} x ∈ ⋂ n F n x = a k x=a_k x = a k n > k n>k n > k x ∉ F n x\notin F_n x ∈ / F n x x x F n F_n F n x x x x x x x x x A A A ⇒ \Rightarrow ⇒ ( U n ) (U_n) ( U n ) V n = U 0 ∪ ⋯ ∪ U n V_n=U_0\cup\cdots\cup U_n V n = U 0 ∪ ⋯ ∪ U n x n ∉ V n x_n\notin V_n x n ∈ / V n { x n ∣ n ∈ N } \{x_n\mid n\in\mathbb N\} { x n ∣ n ∈ N } U N U_N U N n ≥ N n\geq N n ≥ N x n ∉ V n ⊇ U N x_n\notin V_n\supseteq U_N x n ∈ / V n ⊇ U N U N U_N U N
Proposition. 可算コンパクト性の連続全射像による保存
可算コンパクト空間 X X X Y Y Y f : X → Y f:X\to Y f : X → Y Y Y Y
proof.
Y Y Y { V n ∣ n ∈ N } \{V_n\mid n\in\mathbb{N}\} { V n ∣ n ∈ N } { f − 1 ( V n ) ∣ n ∈ N } \{f^{-1}(V_n)\mid n\in\mathbb{N}\} { f − 1 ( V n ) ∣ n ∈ N } X X X X X X I ⊆ N I\subseteq\mathbb{N} I ⊆ N
X = ⋃ n ∈ I f − 1 ( V n )
X=\bigcup_{n\in I}f^{-1}(V_n)
X = n ∈ I ⋃ f − 1 ( V n )
となる.f f f Y = ⋃ n ∈ I V n Y=\bigcup_{n\in I}V_n Y = ⋃ n ∈ I V n Y Y Y
Proposition. 可算コンパクト性の閉部分空間への遺伝
可算コンパクト空間 X X X F F F
proof.
F F F { U n ∣ n ∈ N } \{U_n\mid n\in\mathbb{N}\} { U n ∣ n ∈ N } U n U_n U n X X X F F F
{ U n ∣ n ∈ N } ∪ { X ∖ F }
\{U_n\mid n\in\mathbb{N}\}\cup\{X\setminus F\}
{ U n ∣ n ∈ N } ∪ { X ∖ F }
は X X X F F F X ∖ F X\setminus F X ∖ F U n U_n U n F F F F F F
Proposition. コンパクト性から可算コンパクト性
コンパクト空間は可算コンパクト空間となる.
proof.
可算開被覆は特に開被覆である.
Definition. 弱可算コンパクト空間
位相空間 X X X 弱可算コンパクト性を持つ (weakly Countably compactness ) あるいは 極限点コンパクト性を持つ (limit point compactness ) とは, X X X 弱可算コンパクト空間 (weakly Countably compact space ) あるいは 極限点コンパクト空間 (limit point compact space ) という.
Proposition. 弱可算コンパクト性の連続全射像による保存
T 1 T_1 T 1 X X X Y Y Y f : X → Y f:X\to Y f : X → Y Y Y Y
proof.
Y Y Y A A A a ∈ A a\in A a ∈ A f ( x a ) = a f(x_a)=a f ( x a ) = a x a ∈ X x_a\in X x a ∈ X B = { x a ∣ a ∈ A } B=\{x_a\mid a\in A\} B = { x a ∣ a ∈ A } x ∈ X x\in X x ∈ X f ( x ) f(x) f ( x ) V V V f − 1 ( V ) f^{-1}(V) f − 1 ( V ) x x x f ( x ) ∈ A f(x)\in A f ( x ) ∈ A x f ( x ) x_{f(x)} x f ( x ) x f ( x ) ≠ x x_{f(x)}\neq x x f ( x ) = x T 1 T_1 T 1 X ∖ { x f ( x ) } X\setminus\{x_{f(x)}\} X ∖ { x f ( x ) } x x x f − 1 ( V ) f^{-1}(V) f − 1 ( V ) B B B x f ( x ) = x x_{f(x)}=x x f ( x ) = x x x x B B B f ( x ) ∉ A f(x)\notin A f ( x ) ∈ / A f − 1 ( V ) ∖ { x } f^{-1}(V)\setminus\{x\} f − 1 ( V ) ∖ { x } B B B V V V f ( x ) f(x) f ( x ) A A A V ∖ { f ( x ) } V\setminus\{f(x)\} V ∖ { f ( x )} A A A f ( x ) f(x) f ( x ) A A A
Proposition. コンパクト性から弱可算コンパクト性
コンパクト空間は弱可算コンパクト空間となる.
proof.
無限部分集合 A ⊆ X A\subseteq X A ⊆ X x ∈ X x\in X x ∈ X ( U x ∖ { x } ) ∩ A = ∅ (U_x\setminus\{x\})\cap A=\emptyset ( U x ∖ { x }) ∩ A = ∅ x x x U x U_x U x { U x ∣ x ∈ X } \{U_x\mid x\in X\} { U x ∣ x ∈ X } U x 1 , … , U x m U_{x_1},\ldots,U_{x_m} U x 1 , … , U x m U x i U_{x_i} U x i A A A A ⊆ { x 1 , … , x m } A\subseteq\{x_1,\ldots,x_m\} A ⊆ { x 1 , … , x m } A A A A A A X X X
Theorem.
距離空間 X X X
X X X X X X X X X
proof.
(1)⇒ \Rightarrow ⇒ ⇒ \Rightarrow ⇒ 1 / n 1/n 1/ n ⇒ \Rightarrow ⇒ X X X ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 ε \varepsilon ε X X X
パラコンパクト空間
Definition. パラコンパクト空間
位相空間 X X X パラコンパクト性を持つ (paracompactness ) とは, X X X パラコンパクト空間 (paracompact space ) という.
擬コンパクト空間
Definition. 擬コンパクト空間
位相空間 X X X 擬コンパクト性を持つ (pseudocompactness ) とは, 任意の連続写像 X → R X\to\mathbb{R} X → R 擬コンパクト空間 (pseudocompact space ) という.
Proposition. 擬コンパクト性の連続全射像による保存
擬コンパクト空間 X X X Y Y Y f : X → Y f:X\to Y f : X → Y Y Y Y
proof.
任意の連続写像 g : Y → R g:Y\to\mathbb{R} g : Y → R g ∘ f : X → R g\circ f:X\to\mathbb{R} g ∘ f : X → R X X X f f f g ( Y ) = ( g ∘ f ) ( X ) g(Y)=(g\circ f)(X) g ( Y ) = ( g ∘ f ) ( X ) g ( Y ) g(Y) g ( Y ) Y Y Y
Proposition. 正規擬コンパクト性の閉部分空間への遺伝
T 1 \mathbf{T}_1 T 1 X X X F F F T 1 \mathbf{T}_1 T 1
proof.
閉部分空間は正規性を遺伝する.F F F f : F → R f:F\to\mathbb{R} f : F → R f f f f ~ : X → R \widetilde f:X\to\mathbb{R} f : X → R X X X f ~ ( X ) \widetilde f(X) f ( X ) f ( F ) ⊆ f ~ ( X ) f(F)\subseteq\widetilde f(X) f ( F ) ⊆ f ( X ) f ( F ) f(F) f ( F ) F F F
Proposition. 可算コンパクト性から擬コンパクト性
可算コンパクト空間は擬コンパクト空間となる.
proof.
連続関数 f : X → R f:X\to\mathbb{R} f : X → R
{ f − 1 ( ( − n , n ) ) | n ∈ N }
\left\{f^{-1}((-n,n))\mathrel{\middle|}n\in\mathbb{N}\right\}
{ f − 1 (( − n , n )) n ∈ N }
は X X X N N N f − 1 ( ( − N , N ) ) f^{-1}((-N,N)) f − 1 (( − N , N )) f f f X X X X X X
Proposition. 弱可算コンパクト性から可算コンパクト性
T 1 \mathbf{T}_1 T 1
proof.
T 1 T_1 T 1
点列コンパクト空間
Definition. 点列コンパクト空間
位相空間 X X X 点列コンパクト性を持つ (sequentially compactness ) とは, X X X 点列コンパクト空間 (sequentially compact space ) という.
Proposition. 点列コンパクト性の連続全射像による保存
点列コンパクト空間 X X X Y Y Y f : X → Y f:X\to Y f : X → Y Y Y Y
proof. Y Y Y ( y n ) (y_n) ( y n ) f ( x n ) = y n f(x_n)=y_n f ( x n ) = y n x n ∈ X x_n\in X x n ∈ X n n n X X X ( x n k ) (x_{n_k}) ( x n k ) x ∈ X x\in X x ∈ X ( y n k ) = ( f ( x n k ) ) (y_{n_k})=(f(x_{n_k})) ( y n k ) = ( f ( x n k )) f ( x ) f(x) f ( x ) Y Y Y Theorem. Bolzano–Weierstrass の定理
R n \mathbb{R}^n R n proof. 有界点列 ( x k ) (x_k) ( x k ) B ‾ ( 0 , R ) \overline B(0,R) B ( 0 , R ) B ‾ ( 0 , R ) \overline B(0,R) B ( 0 , R ) ( x k ) (x_k) ( x k )
corollary. 点列コンパクト性定理 (Bolzano–Weierstrass の定理と同値な定式化)
R n \mathbb{R}^n R n proof. 有界閉集合 A A A A A A x ∈ A ‾ x\in\overline A x ∈ A x x x A A A A A A x x x x ∈ A x\in A x ∈ A A A A A A A ∥ x n ∥ > n \lVert x_n\rVert>n ∥ x n ∥ > n A A A A A A
メタコンパクト空間
局所有限性は各点のある近傍で被覆の元を有限個に抑える条件であるのに対し, 点有限性は各点そのものを含む元の数だけを抑える条件である.
Definition. メタコンパクト空間
位相空間 X X X メタコンパクト性を持つ (metacompactness ) とは, X X X メタコンパクト空間 (metacompact space ) という.
Definition. 可算メタコンパクト空間
位相空間 X X X 可算メタコンパクト性を持つ (countably metacompactness ) とは, X X X 可算メタコンパクト空間 (countably metacompact space ) という.
Proposition. パラコンパクト性からメタコンパクト性
パラコンパクト空間はメタコンパクト空間である.
proof. 局所有限な族は点有限である.x x x x x x
Remark.
コンパクト空間と距離空間はパラコンパクトであるからメタコンパクトである.K K K X X X K × X K\times X K × X
直交コンパクト空間
点有限性をさらに緩めると, 一点を含む被覆の元すべての共通部分が近傍を含むことだけを要求する条件が得られる.
Definition. 内部保存族
位相空間 X X X V \mathcal V V 内部保存 (interior-preserving ) であるとは, 任意の x ∈ X x\in X x ∈ X
⋂ { V ∈ V ∣ x ∈ V }
\bigcap\{V\in\mathcal V\mid x\in V\}
⋂ { V ∈ V ∣ x ∈ V }
が x x x V \mathcal V V
Definition. 直交コンパクト空間
位相空間 X X X 直交コンパクト性を持つ (orthocompactness ) とは, X X X 直交コンパクト空間 (orthocompact space ) という.
Definition. 可算直交コンパクト空間
位相空間 X X X 可算直交コンパクト性を持つ (countably orthocompactness ) とは, X X X
Proposition. 点有限族は内部保存である
点有限な開集合族は内部保存である.
proof.
x ∈ X x\in X x ∈ X x x x x x x
Corollary. メタコンパクト性から直交コンパクト性
メタコンパクト空間は直交コンパクト空間である.
proof.
点有限な開細分をとり, 直前の命題を適用する.
Proposition. 閉部分空間への遺伝
直交コンパクト空間の閉部分空間は直交コンパクト空間である.
proof.
F F F X X X F F F { U i ∩ F ∣ i ∈ I } \{U_i\cap F\mid i\in I\} { U i ∩ F ∣ i ∈ I } X ∖ F X\setminus F X ∖ F X X X F F F F F F F F F
Remark.
コンパクト空間, パラコンパクト空間, メタコンパクト空間はすべて直交コンパクトである.X X X X × [ 0 , 1 ] X\times[0,1] X × [ 0 , 1 ] X X X
実コンパクト空間
実コンパクト性は, 連続実数値関数が空間をどこまで座標として記述できるかを表す性質である.
Definition. 実コンパクト空間
Tychonoff 空間 X X X 実コンパクト (realcompact ) であるとは, 次の同値な条件を満たすときいう.
ある集合 I I I X X X R I \mathbb R^I R I
評価写像 e X : X → R C ( X , R ) e_X:X\to\mathbb R^{C(X,\mathbb R)} e X : X → R C ( X , R )
Definition. 実コンパクト化
C ( X , R ) C(X,\mathbb R) C ( X , R ) X X X X X X
e X : X ⟶ R C ( X , R ) , e X ( x ) ( f ) = f ( x )
e_X:X\longrightarrow\mathbb R^{C(X,\mathbb R)},\qquad
e_X(x)(f)=f(x)
e X : X ⟶ R C ( X , R ) , e X ( x ) ( f ) = f ( x )
の像の閉包を ν X \nu X ν X 実コンパクト化 (Hewitt realcompactification ) という.X X X ν X \nu X ν X
Proposition. 基本例と閉部分空間への遺伝
コンパクト Hausdorff 空間は実コンパクトである.
proof.
コンパクト Hausdorff 空間では e X ( X ) e_X(X) e X ( X ) R C ( X , R ) \mathbb R^{C(X,\mathbb R)} R C ( X , R ) X X X X X X R I \mathbb R^I R I F F F X X X F F F R I \mathbb R^I R I
Remark.
Lindelöf な Tychonoff 空間は実コンパクトである.
局所コンパクト空間
Definition. 局所コンパクト空間
Hausdorff 空間 X X X 局所コンパクト (locally compact ) であるとは, 任意の点 x ∈ X x\in X x ∈ X
Proposition. 局所コンパクト性の近傍による特徴づけ
Hausdorff 空間 X X X
X X X
任意の x ∈ X x\in X x ∈ X U U U
x ∈ V ⊆ V ‾ ⊆ U
x\in V\subseteq\overline{V}\subseteq U
x ∈ V ⊆ V ⊆ U
かつ V ‾ \overline{V} V V V V
proof.
( 1 ) ⇒ ( 2 ) (1)\Rightarrow(2) ( 1 ) ⇒ ( 2 ) x ∈ U x\in U x ∈ U x x x K K K K K K K K K x ∈ O ⊆ K x\in O\subseteq K x ∈ O ⊆ K X X X O O O K ∩ U ∩ O K\cap U\cap O K ∩ U ∩ O K K K x x x
x ∈ V ⊆ V ‾ , K ⊆ K ∩ U
x\in V\subseteq\overline{V}^{,K}\subseteq K\cap U
x ∈ V ⊆ V , K ⊆ K ∩ U
を満たす K K K V V V V ⊆ O V\subseteq O V ⊆ O O ⊆ K O\subseteq K O ⊆ K V V V X X X K K K V ‾ , X = V ‾ , K \overline{V}^{,X}=\overline{V}^{,K} V , X = V , K V ‾ \overline{V} V
( 2 ) ⇒ ( 1 ) (2)\Rightarrow(1) ( 2 ) ⇒ ( 1 ) U = X U=X U = X V ‾ \overline{V} V x x x
Proposition. 局所コンパクト性の閉部分空間への遺伝
局所コンパクト Hausdorff 空間の閉部分空間は局所コンパクト Hausdorff 空間である.
proof.
局所コンパクト Hausdorff 空間 X X X F F F x ∈ F x\in F x ∈ F x x x X X X K K K F ∩ K F\cap K F ∩ K K K K K K K x x x U U U U ∩ F U\cap F U ∩ F F ∩ K F\cap K F ∩ K x x x F F F F ∩ K F\cap K F ∩ K x x x x x x F F F
位相空間論における選択公理
無限積, 超フィルター, コンパクト性の一般定理には, 選択公理またはそれより弱い選択原理が現れる.
選択公理
Axiom. 選択公理
空でない集合からなる集合族 Σ \Sigma Σ S ∈ Σ S\in\Sigma S ∈ Σ f ( S ) ∈ S f(S)\in S f ( S ) ∈ S f : Σ → ⋃ Σ f:\Sigma\to\bigcup\Sigma f : Σ → ⋃ Σ
Theorem. 選択公理と同値な命題
以下は, ZF において選択公理と同値である.
Zermelo の整列可能定理 Zorn の補題 Tukey の補題
proof. 選択公理から整列可能定理は, 選択関数で未選択部分から元を一つずつ取り出す超限再帰により得られる.S ∈ Σ S\in\Sigma S ∈ Σ Σ \Sigma Σ
超フィルター原理
Principle. 超フィルター原理
任意の真のフィルターは, 超フィルターへ拡張できる.
超フィルター原理は Boolean prime ideal theorem と同値であり, 選択公理より弱い.
Theorem. コンパクト Hausdorff 空間に対する Tychonoff の定理
超フィルター原理を仮定すると, 任意のコンパクト Hausdorff 空間族の積はコンパクトである.
proof. コンパクト Hausdorff 空間の積上の超フィルターを各射影で移すと, 各因子上の超フィルターを得る.
Tychonoff の定理との同値性
Theorem. 選択公理と Tychonoff の定理
ZF において, 次は同値である.
選択公理が成り立つ.
任意の非空なコンパクト空間族 ( X λ ) λ ∈ Λ (X_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} ( X λ ) λ ∈ Λ ∏ λ ∈ Λ X λ \prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda ∏ λ ∈ Λ X λ
proof. ( 1 ) ⇒ ( 2 ) (1)\Rightarrow(2) ( 1 ) ⇒ ( 2 ) ( 2 ) ⇒ ( 1 ) (2)\Rightarrow(1) ( 2 ) ⇒ ( 1 ) Remark.
後の Tychonoff の定理 は位相空間の積のコンパクト性を扱い, 本節の定理はその選択公理との論理的な強さを扱う.
近接と遠隔
位相は, 部分集合どうしの関係によっても記述できる.
Definition. 準近接関係
集合 X X X δ ⊆ 2 X × 2 X \delta\subseteq2^X\times2^X δ ⊆ 2 X × 2 X 準近接関係 (quasi-proximity relation ) であるとは, 任意の A , B , C , E ⊆ X A,B,C,E\subseteq X A , B , C , E ⊆ X
A δ B A\mathrel{\delta}B A δ B A ≠ ∅ A\neq\emptyset A = ∅ B ≠ ∅ B\neq\emptyset B = ∅ A ∩ B ≠ ∅ A\cap B\neq\emptyset A ∩ B = ∅ A δ B A\mathrel{\delta}B A δ B ( A ∪ B ) δ C (A\cup B)\mathrel{\delta}C ( A ∪ B ) δ C A δ C A\mathrel{\delta}C A δ C B δ C B\mathrel{\delta}C B δ C A δ ( B ∪ C ) A\mathrel{\delta}(B\cup C) A δ ( B ∪ C ) A δ B A\mathrel{\delta}B A δ B A δ C A\mathrel{\delta}C A δ C ¬ ( A δ B ) \neg(A\mathrel{\delta}B) ¬ ( A δ B ) E ⊆ X E\subseteq X E ⊆ X ¬ ( A δ E ) \neg(A\mathrel{\delta}E) ¬ ( A δ E ) ¬ ( B δ ( X ∖ E ) ) \neg(B\mathrel{\delta}(X\setminus E)) ¬ ( B δ ( X ∖ E ))
対称性 A δ B ⟺ B δ A A\mathrel{\delta}B\Longleftrightarrow B\mathrel{\delta}A A δ B ⟺ B δ A
Definition. Lodato 型準近接関係
集合 X X X δ \delta δ Lodato 型準近接関係 (Lodato-type quasi-proximity relation ) であるとは, 最初の四つの公理と, 任意の A , B , C ⊆ X A,B,C\subseteq X A , B , C ⊆ X
cl δ ( C ) ≔ { x ∈ X ∣ { x } δ C }
\operatorname{cl}_{\delta}(C)\coloneqq\{x\in X\mid\{x\}\mathrel{\delta}C\}
cl δ ( C ) : = { x ∈ X ∣ { x } δ C }
によって定まる閉包に関して
A δ B かつ B ⊆ cl δ ( C ) ⟹ A δ C
A\mathrel{\delta}B
\quad\text{かつ}\quad
B\subseteq\operatorname{cl}_{\delta}(C)
\quad\Longrightarrow\quad
A\mathrel{\delta}C
A δ B かつ B ⊆ cl δ ( C ) ⟹ A δ C
が成り立つこととする.
Proposition. Lodato 型準近接関係から得られる閉包作用素
Lodato 型準近接関係 δ \delta δ cl δ : 2 X → 2 X \operatorname{cl}_{\delta}:2^X\to2^X cl δ : 2 X → 2 X
proof.
第一の公理から cl δ ( ∅ ) = ∅ \operatorname{cl}_{\delta}(\emptyset)=\emptyset cl δ ( ∅ ) = ∅ C ⊆ cl δ ( C ) C\subseteq\operatorname{cl}_{\delta}(C) C ⊆ cl δ ( C ) x ∈ cl δ ( cl δ ( C ) ) x\in\operatorname{cl}_{\delta}(\operatorname{cl}_{\delta}(C)) x ∈ cl δ ( cl δ ( C )) { x } δ cl δ ( C ) \{x\}\mathrel{\delta}\operatorname{cl}_{\delta}(C) { x } δ cl δ ( C ) { x } δ C \{x\}\mathrel{\delta}C { x } δ C
Definition. 位相的 Lodato 型準近接関係
Lodato 型準近接関係 δ \delta δ 位相的 (topological ) であるとは, 任意の A , B ⊆ X A,B\subseteq X A , B ⊆ X
A δ B ⟺ A ∩ cl δ ( B ) ≠ ∅
A\mathrel{\delta}B
\quad\Longleftrightarrow\quad
A\cap\operatorname{cl}_{\delta}(B)\neq\emptyset
A δ B ⟺ A ∩ cl δ ( B ) = ∅
が成り立つこととする.
Theorem. 位相構造と位相的 Lodato 型準近接関係の対応
集合 X X X X X X O \mathcal O O
A δ O B ⟺ A ∩ B ‾ O ≠ ∅
A\mathrel{\delta_{\mathcal O}}B
\quad\Longleftrightarrow\quad
A\cap\overline{B}^{\mathcal O}\neq\emptyset
A δ O B ⟺ A ∩ B O = ∅
で与えられる.δ \delta δ cl δ \operatorname{cl}_{\delta} cl δ
proof.
位相 O \mathcal O O δ O \delta_{\mathcal O} δ O cl δ O ( B ) = B ‾ O \operatorname{cl}_{\delta_{\mathcal O}}(B)=\overline B^{\mathcal O} cl δ O ( B ) = B O
x ∈ cl δ O ( B ) ⟺ { x } ∩ B ‾ O ≠ ∅ ⟺ x ∈ B ‾ O
x\in\operatorname{cl}_{\delta_{\mathcal O}}(B)
\quad\Longleftrightarrow\quad
\{x\}\cap\overline B^{\mathcal O}\neq\emptyset
\quad\Longleftrightarrow\quad
x\in\overline B^{\mathcal O}
x ∈ cl δ O ( B ) ⟺ { x } ∩ B O = ∅ ⟺ x ∈ B O
である.δ O \delta_{\mathcal O} δ O A δ O B A\mathrel{\delta_{\mathcal O}}B A δ O B B ⊆ cl δ O ( C ) B\subseteq\operatorname{cl}_{\delta_{\mathcal O}}(C) B ⊆ cl δ O ( C ) A ∩ B ‾ O ≠ ∅ A\cap\overline B^{\mathcal O}\neq\emptyset A ∩ B O = ∅ B ‾ O ⊆ C ‾ O \overline B^{\mathcal O}\subseteq\overline C^{\mathcal O} B O ⊆ C O A δ O C A\mathrel{\delta_{\mathcal O}}C A δ O C δ \delta δ cl δ \operatorname{cl}_{\delta} cl δ δ \delta δ
Definition. 近接関係
Lodato 型準近接関係 δ \delta δ δ \delta δ 近接関係 (proximity relation ) といい, ( X , δ ) (X,\delta) ( X , δ ) 近接空間 (proximity space ) という.A , B ⊆ X A,B\subseteq X A , B ⊆ X
A δ B ⟺ B δ A
A\mathrel{\delta}B\quad\Longleftrightarrow\quad B\mathrel{\delta}A
A δ B ⟺ B δ A
が成り立つ.
Definition. 近傍関係
近接関係 δ \delta δ A , B ⊆ X A,B\subseteq X A , B ⊆ X 近傍関係にある (neighbourhood relation ) とは
A ≪ δ B ⟺ ¬ ( A δ ( X ∖ B ) )
A\mathrel{\ll_{\delta}}B
\quad\Longleftrightarrow\quad
\neg\bigl(A\mathrel{\delta}(X\setminus B)\bigr)
A ≪ δ B ⟺ ¬ ( A δ ( X ∖ B ) )
が成り立つこととする.A ≪ δ B A\mathrel{\ll_{\delta}}B A ≪ δ B A A A B B B 近接近傍 (proximal neighbourhood ) であるという.
Proposition. 位相から得られる近傍関係
位相 O \mathcal O O δ O \delta_{\mathcal O} δ O N O \mathcal N_{\mathcal O} N O
A ≪ δ O B ⟺ A ⊆ B ∘ ⟺ B ∈ ⋂ a ∈ A N O ( a )
A\mathrel{\ll_{\delta_{\mathcal O}}}B
\quad\Longleftrightarrow\quad
A\subseteq B^{\circ}
\quad\Longleftrightarrow\quad
B\in\bigcap_{a\in A}\mathcal N_{\mathcal O}(a)
A ≪ δ O B ⟺ A ⊆ B ∘ ⟺ B ∈ a ∈ A ⋂ N O ( a )
が成り立つ.
proof.
δ O \delta_{\mathcal O} δ O
A ≪ δ O B ⟺ A ∩ X ∖ B ‾ O = ∅ ⟺ A ⊆ X ∖ X ∖ B ‾ O = B ∘
A\mathrel{\ll_{\delta_{\mathcal O}}}B
\quad\Longleftrightarrow\quad
A\cap\overline{X\setminus B}^{\mathcal O}=\emptyset
\quad\Longleftrightarrow\quad
A\subseteq X\setminus\overline{X\setminus B}^{\mathcal O}=B^{\circ}
A ≪ δ O B ⟺ A ∩ X ∖ B O = ∅ ⟺ A ⊆ X ∖ X ∖ B O = B ∘
である.B ∈ N O ( a ) B\in\mathcal N_{\mathcal O}(a) B ∈ N O ( a ) a ∈ B ∘ a\in B^{\circ} a ∈ B ∘
A ⊆ B ∘ ⟺ B ∈ ⋂ a ∈ A N O ( a )
A\subseteq B^{\circ}
\quad\Longleftrightarrow\quad
B\in\bigcap_{a\in A}\mathcal N_{\mathcal O}(a)
A ⊆ B ∘ ⟺ B ∈ a ∈ A ⋂ N O ( a )
が成り立つ.
Proposition. 閉包の共通部分による近接関係
T 1 \mathbf{T}_1 T 1 X X X
A δ X s B ⟺ A ‾ ∩ B ‾ ≠ ∅
A\mathrel{\delta_X^{\mathrm s}}B
\quad\Longleftrightarrow\quad
\overline A\cap\overline B\neq\emptyset
A δ X s B ⟺ A ∩ B = ∅
と定めると, δ X s \delta_X^{\mathrm s} δ X s
proof.
空でない閉包の共通部分を持つという条件は対称である.T 1 \mathbf{T}_1 T 1 cl δ X s ( C ) = C ‾ \operatorname{cl}_{\delta_X^{\mathrm s}}(C)=\overline C cl δ X s ( C ) = C A δ X s B A\mathrel{\delta_X^{\mathrm s}}B A δ X s B B ⊆ cl δ X s ( C ) B\subseteq\operatorname{cl}_{\delta_X^{\mathrm s}}(C) B ⊆ cl δ X s ( C ) B ‾ ⊆ C ‾ \overline B\subseteq\overline C B ⊆ C A ‾ ∩ C ‾ ≠ ∅ \overline A\cap\overline C\neq\emptyset A ∩ C = ∅
Definition. 準遠隔関係
準近接関係または Lodato 型準近接関係 δ \delta δ A , B ⊆ X A,B\subseteq X A , B ⊆ X 準遠隔関係にある (quasi-apartness ) とは
A ϕ δ B ⟺ ¬ ( A δ B )
A\mathrel{\phi_{\delta}}B\quad\Longleftrightarrow\quad\neg(A\mathrel{\delta}B)
A ϕ δ B ⟺ ¬ ( A δ B )
が成り立つこととする.ϕ δ \phi_{\delta} ϕ δ δ \delta δ
Definition. 遠隔関係
近接関係 δ \delta δ ϕ δ \phi_{\delta} ϕ δ 遠隔関係 (apartness relation ) という.
Proposition. 準近接関係と準遠隔関係の双対性
準近接関係または Lodato 型準近接関係 δ \delta δ ϕ δ \phi_{\delta} ϕ δ
A ϕ δ B A\mathrel{\phi_{\delta}}B A ϕ δ B A ∩ B = ∅ A\cap B=\emptyset A ∩ B = ∅ ( A ∪ B ) ϕ δ C (A\cup B)\mathrel{\phi_{\delta}}C ( A ∪ B ) ϕ δ C A ϕ δ C A\mathrel{\phi_{\delta}}C A ϕ δ C B ϕ δ C B\mathrel{\phi_{\delta}}C B ϕ δ C A ϕ δ ( B ∪ C ) A\mathrel{\phi_{\delta}}(B\cup C) A ϕ δ ( B ∪ C ) A ϕ δ B A\mathrel{\phi_{\delta}}B A ϕ δ B A ϕ δ C A\mathrel{\phi_{\delta}}C A ϕ δ C
proof.
第一の主張は交差性の対偶である.
Theorem. 位相構造と標準準遠隔関係の対応
位相 O \mathcal O O
A ϕ O B ⟺ A ∩ B ‾ O = ∅
A\mathrel{\phi_{\mathcal O}}B
\quad\Longleftrightarrow\quad
A\cap\overline B^{\mathcal O}=\emptyset
A ϕ O B ⟺ A ∩ B O = ∅
と定めると, ϕ O \phi_{\mathcal O} ϕ O δ O \delta_{\mathcal O} δ O O \mathcal O O
proof.
ϕ O \phi_{\mathcal O} ϕ O δ O \delta_{\mathcal O} δ O
B ‾ O = { x ∈ X ∣ ¬ ( { x } ϕ O B ) }
\overline B^{\mathcal O}
=\{x\in X\mid\neg(\{x\}\mathrel{\phi_{\mathcal O}}B)\}
B O = { x ∈ X ∣ ¬ ({ x } ϕ O B )}
であるから, 準遠隔関係から閉包作用素を復元できる.O \mathcal O O
Remark.
文献では, 対称性を除いた近接関係を quasi-proximity と呼ぶ.
一様空間と一様連続写像
位相は各点の近傍を扱うが, 異なる点で同じ尺度を用いる近さまでは記録しない.
一様構造
Definition. 近縁系
集合 X X X (entourage system on a set X X X ) とは, X X X E \mathbf{E} E
E \mathbf{E} E X × X X\times X X × X 任意の U ∈ E U\in\mathbf{E} U ∈ E Δ ( X ) ⊆ U \Delta(X)\subseteq U Δ ( X ) ⊆ U
任意の U ∈ E U\in\mathbf{E} U ∈ E U − 1 ∈ E U^{-1}\in\mathbf{E} U − 1 ∈ E
任意の U ∈ E U\in\mathbf{E} U ∈ E V ∘ V ⊆ U V\circ V\subseteq U V ∘ V ⊆ U V ∈ E V\in\mathbf{E} V ∈ E
集合 X X X E \mathbf{E} E
( X , E )
(X,\mathbf{E})
( X , E )
を 一様空間 (uniform space ) といい, X X X 台集合 (underlying set ) という.X X X X 0 X_0 X 0 E X \mathbf{E}_X E X
Definition. 近縁基
集合 X X X (entourage basis on a set X X X ) とは, X X X E \mathbf{E} E
E \mathbf{E} E X × X X\times X X × X 任意の U ∈ E U\in\mathbf{E} U ∈ E Δ ( X ) ⊆ U \Delta(X)\subseteq U Δ ( X ) ⊆ U
任意の U ∈ E U\in\mathbf{E} U ∈ E V ⊆ U − 1 V\subseteq U^{-1} V ⊆ U − 1 V ∈ E V\in\mathbf{E} V ∈ E
任意の U ∈ E U\in\mathbf{E} U ∈ E V ∘ V ⊆ U V\circ V\subseteq U V ∘ V ⊆ U V ∈ E V\in\mathbf{E} V ∈ E
Proposition. 近縁基の定める近縁系
集合 X X X X × X X\times X X × X X X X 近縁基の定める近縁系 という.
proof.
生成フィルターの各元は近縁基の元を含むので, 対角集合を含む.U U U B ⊆ U B\subseteq U B ⊆ U C ⊆ B − 1 ⊆ U − 1 C\subseteq B^{-1}\subseteq U^{-1} C ⊆ B − 1 ⊆ U − 1 C C C U − 1 U^{-1} U − 1 D ∘ D ⊆ B ⊆ U D\circ D\subseteq B\subseteq U D ∘ D ⊆ B ⊆ U D D D
Definition. 近縁準基
集合 X X X (entourage subbasis on a set X X X ) とは, X X X E \mathbf{E} E
E \mathbf{E} E X × X X\times X X × X 任意の U ∈ E U\in\mathbf{E} U ∈ E Δ ( X ) ⊆ U \Delta(X)\subseteq U Δ ( X ) ⊆ U
任意の U ∈ E U\in\mathbf{E} U ∈ E V ⊆ U − 1 V\subseteq U^{-1} V ⊆ U − 1 V ∈ E V\in\mathbf{E} V ∈ E
任意の U ∈ E U\in\mathbf{E} U ∈ E V ∘ V ⊆ U V\circ V\subseteq U V ∘ V ⊆ U V ∈ E V\in\mathbf{E} V ∈ E
Proposition. 近縁準基の定める近縁基
集合 X X X X × X X\times X X × X X X X 近縁準基の定める近縁基 という.
proof.
有限交叉性により有限交叉全体はフィルター基をなす.
Proposition.
距離空間 X X X X X X E \mathbf{E} E
E ≔ { d X − 1 ( [ 0 , r ) ) ∣ r > 0 }
\mathbf{E}\coloneqq\{d_X^{-1}([0,r))\mid r>0\}
E : = { d X − 1 ([ 0 , r )) ∣ r > 0 }
とすると, E \mathbf{E} E X X X E \mathbf{E} E X X X
proof.
対角上では距離が 0 0 0 0 < s < r / 2 0<s<r/2 0 < s < r /2
d − 1 ( [ 0 , s ) ) ∘ d − 1 ( [ 0 , s ) ) ⊆ d − 1 ( [ 0 , r ) )
d^{-1}([0,s))\circ d^{-1}([0,s))\subseteq d^{-1}([0,r))
d − 1 ([ 0 , s )) ∘ d − 1 ([ 0 , s )) ⊆ d − 1 ([ 0 , r ))
となる.
Theorem. 近縁系の定める位相
一様空間 X X X U : X → 2 2 X \mathcal{U}:X\to2^{2^X} U : X → 2 2 X
U ( x ) ≔ { U ( x ) ∣ U ∈ E X } , x ∈ X
\mathcal{U}(x)\coloneqq\{U(x)\mid U\in\mathbf{E}_X\},\quad x\in X
U ( x ) : = { U ( x ) ∣ U ∈ E X } , x ∈ X
とすると, U \mathcal{U} U X X X U \mathcal{U} U ( X , Φ ) (X,\Phi) ( X , Φ ) 一様位相 (uniform topology ) という.
proof.
任意の近縁 U U U x ∈ U ( x ) x\in U(x) x ∈ U ( x ) V ∘ V ⊆ U V\circ V\subseteq U V ∘ V ⊆ U V V V y ∈ V ( x ) y\in V(x) y ∈ V ( x ) V [ y ] ⊆ U ( x ) V[y]\subseteq U(x) V [ y ] ⊆ U ( x )
写像の一様連続性
Definition. 写像の一様連続性
一様空間 X , Y X,Y X , Y f : X → Y f:X\to Y f : X → Y f f f 一様連続 (uniformly continuous ) であるとは, Y Y Y U U U X X X V V V
∀ a , b ∈ X , ( a , b ) ∈ V ⇒ ( f ( a ) , f ( b ) ) ∈ U
\forall a,b\in X,(a,b)\in V\Rightarrow(f(a),f(b))\in U
∀ a , b ∈ X , ( a , b ) ∈ V ⇒ ( f ( a ) , f ( b )) ∈ U
一様連続な写像を, 一様連続写像 (uniformly continuous function ) という.
特に, f f f f , f − 1 f,f^{-1} f , f − 1 f f f 一様同型写像 (uniform isomorphism ) といい, 一様同型が存在するような一様空間を 一様同型 (uniform isomorphic ) という.
Proposition. 一様連続性の特徴づけ
一様空間 X , Y X,Y X , Y f : X → Y f:X\to Y f : X → Y
f f f Y Y Y U U U ( f × f ) − 1 ( U ) = { ( a , b ) ∣ ( f ( a ) , f ( b ) ) ∈ U } (f\times f)^{-1}(U)=\{(a,b)\mid(f(a),f(b))\in U\} ( f × f ) − 1 ( U ) = {( a , b ) ∣ ( f ( a ) , f ( b )) ∈ U } X X X
proof. f f f U U U Y Y Y X X X V V V ( f × f ) ( V ) ⊆ U (f\times f)(V)\subseteq U ( f × f ) ( V ) ⊆ U V ⊆ ( f × f ) − 1 ( U ) V\subseteq(f\times f)^{-1}(U) V ⊆ ( f × f ) − 1 ( U ) ( f × f ) − 1 ( U ) (f\times f)^{-1}(U) ( f × f ) − 1 ( U ) U U U V = ( f × f ) − 1 ( U ) V=(f\times f)^{-1}(U) V = ( f × f ) − 1 ( U ) Proposition. 一様連続写像の連続性
一様連続写像は連続である.
proof. 一様連続写像 f : X → Y f:X\to Y f : X → Y x ∈ X x\in X x ∈ X f ( x ) f(x) f ( x ) O O O U [ f ( x ) ] ⊆ O U[f(x)]\subseteq O U [ f ( x )] ⊆ O Y Y Y U U U ( f × f ) ( V ) ⊆ U (f\times f)(V)\subseteq U ( f × f ) ( V ) ⊆ U X X X V V V V ( x ) V(x) V ( x ) x x x y ∈ V ( x ) y\in V(x) y ∈ V ( x ) f ( y ) ∈ U [ f ( x ) ] ⊆ O f(y)\in U[f(x)]\subseteq O f ( y ) ∈ U [ f ( x )] ⊆ O f f f x x x
Theorem.
コンパクトな一様空間から一様空間への連続写像は一様連続となる.
proof. 連続写像 f : X → Y f:X\to Y f : X → Y X X X Δ X ⊆ X × X \Delta_X\subseteq X\times X Δ X ⊆ X × X f × f : X × X → Y × Y f\times f:X\times X\to Y\times Y f × f : X × X → Y × Y Δ X \Delta_X Δ X Δ Y \Delta_Y Δ Y Y Y Y U U U Δ Y \Delta_Y Δ Y ( f × f ) − 1 ( U ) (f\times f)^{-1}(U) ( f × f ) − 1 ( U ) Δ X \Delta_X Δ X ( f × f ) − 1 ( U ) (f\times f)^{-1}(U) ( f × f ) − 1 ( U ) X X X f f f
Cauchy フィルターと完備性
距離空間では Cauchy 列によって, 極限が空間内に存在するかを問うた.
Definition. 分離一様空間
一様空間 X X X 分離的 (separated ) であるとは,
⋂ U ∈ E X U = Δ ( X )
\bigcap_{U\in\mathbf{E}_X}U=\Delta(X)
U ∈ E X ⋂ U = Δ ( X )
が成り立つときいう.
Proposition. 分離性の特徴づけ
一様空間 X X X
X X X X X X 一様収束するフィルターの極限は高々一つである.
proof.
(1) を仮定し x ≠ y x\neq y x = y U U U ( x , y ) (x,y) ( x , y ) V ∘ V ⊆ U V\circ V\subseteq U V ∘ V ⊆ U V V V V ( x ) V(x) V ( x ) V [ y ] V[y] V [ y ] ⇒ \Rightarrow ⇒ x ≠ y x\neq y x = y x x x y y y x x x y y y ⇒ \Rightarrow ⇒
Definition. Cauchy フィルター
一様空間 X X X F \mathcal{F} F Cauchy (Cauchy ) であるとは, 任意の近縁 U ∈ E X U\in\mathbf{E}_X U ∈ E X
A × A ⊆ U
A\times A\subseteq U
A × A ⊆ U
を満たす A ∈ F A\in\mathcal{F} A ∈ F
すなわち, F \mathcal{F} F
Proposition.
一様空間 X X X
proof.
F \mathcal F F x x x U U U V ∘ V ⊆ U V\circ V\subseteq U V ∘ V ⊆ U V V V V ( x ) = { y ∣ ( x , y ) ∈ V } V(x)=\{y\mid(x,y)\in V\} V ( x ) = { y ∣ ( x , y ) ∈ V } F \mathcal F F a , b ∈ V ( x ) a,b\in V(x) a , b ∈ V ( x ) ( a , x ) , ( x , b ) ∈ V (a,x),(x,b)\in V ( a , x ) , ( x , b ) ∈ V ( a , b ) ∈ V ∘ V ⊆ U (a,b)\in V\circ V\subseteq U ( a , b ) ∈ V ∘ V ⊆ U V ( x ) × V ( x ) ⊆ U V(x)\times V(x)\subseteq U V ( x ) × V ( x ) ⊆ U F \mathcal F F
G \mathcal G G F \mathcal F F F \mathcal F F U U U A × A ⊆ U A\times A\subseteq U A × A ⊆ U A ∈ F A\in\mathcal F A ∈ F A ∈ G A\in\mathcal G A ∈ G A A A G \mathcal G G
Proposition. 距離空間の場合
距離空間 ( X , d ) (X,d) ( X , d ) F \mathcal{F} F ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 ε \varepsilon ε F \mathcal{F} F
proof.
距離一様構造の近縁は { ( x , y ) ∣ d ( x , y ) < ε } \{(x,y)\mid d(x,y)<\varepsilon\} {( x , y ) ∣ d ( x , y ) < ε } A × A A\times A A × A a , b ∈ A a,b\in A a , b ∈ A d ( a , b ) < ε d(a,b)<\varepsilon d ( a , b ) < ε A A A ε \varepsilon ε
Definition. 完備一様空間
一様空間 X X X 完備 (complete ) であるとは, X X X 完備一様空間 (complete uniform space ) という.
Theorem. 距離による完備性との整合性
距離空間 ( X , d ) (X,d) ( X , d )
proof.
距離 Cauchy 列が生成する尾部フィルターは, 前命題により Cauchy フィルターである.2 − n 2^{-n} 2 − n x n x_n x n x ∈ X x\in X x ∈ X x x x x x x
一様完備化
Definition. 一様埋め込み
一様連続な単射 i : X → Y i:X\to Y i : X → Y 一様埋め込み (uniform embedding ) であるとは, i i i X X X i ( X ) i(X) i ( X )
Definition. 一様完備化
分離一様空間 X X X 一様完備化 (uniform completion ) とは, 完備分離一様空間 X ^ \widehat{X} X
ι : X ⟶ X ^
\iota:X\longrightarrow\widehat{X}
ι : X ⟶ X
の組であって, ι ( X ) \iota(X) ι ( X ) X ^ \widehat{X} X
Theorem. 一様完備化の存在と一意性
任意の分離一様空間は一様完備化を持つ.( X ^ , ι ) (\widehat{X},\iota) ( X , ι ) ( X ^ ′ , ι ′ ) (\widehat{X}',\iota') ( X ′ , ι ′ )
h ∘ ι = ι ′
h\circ\iota=\iota'
h ∘ ι = ι ′
を満たす一意的な一様同型 h : X ^ → X ^ ′ h:\widehat{X}\to\widehat{X}' h : X → X ′
proof.
X X X X ^ \widehat X X U U U U U U X ^ \widehat X X x ∈ X x\in X x ∈ X ι : X → X ^ \iota:X\to\widehat X ι : X → X X ^ \widehat X X X ^ \widehat X X
次に二つの完備化をとる.ι ′ : X → X ^ ′ \iota':X\to\widehat X' ι ′ : X → X ′ X ^ ′ \widehat X' X ′ ι \iota ι h : X ^ → X ^ ′ h:\widehat X\to\widehat X' h : X → X ′ ι \iota ι h ′ : X ^ ′ → X ^ h':\widehat X'\to\widehat X h ′ : X ′ → X h ′ ∘ h h'\circ h h ′ ∘ h ι ( X ) \iota(X) ι ( X ) h ∘ h ′ h\circ h' h ∘ h ′ h h h
Theorem. 一様完備化の普遍性
( X ^ , ι ) (\widehat{X},\iota) ( X , ι ) X X X Y Y Y f : X → Y f:X\to Y f : X → Y f ^ : X ^ → Y \widehat{f}:\widehat{X}\to Y f : X → Y
f ^ ∘ ι = f
\widehat{f}\circ\iota=f
f ∘ ι = f
を満たす.
proof.
z ∈ X ^ z\in\widehat X z ∈ X z z z X X X ι \iota ι f f f Y Y Y Y Y Y f ^ ( z ) \widehat f(z) f ( z ) f ^ \widehat f f z = ι ( x ) z=\iota(x) z = ι ( x ) x x x f ^ ( ι ( x ) ) = f ( x ) \widehat f(\iota(x))=f(x) f ( ι ( x )) = f ( x ) ι ( X ) \iota(X) ι ( X )
Remark. Cauchy フィルターによる構成
一様完備化は, X X X ι \iota ι x ∈ X x\in X x ∈ X x x x X ^ \widehat{X} X X X X
Example.
有理数全体 Q \mathbb{Q} Q R \mathbb{R} R Q ↪ R \mathbb{Q}\hookrightarrow\mathbb{R} Q ↪ R
一様被覆系
Definition. 一様被覆系
集合 X X X Φ \Phi Φ
Φ \Phi Φ X X X subbasis of uniform covers ) であるとは, 任意の G ∈ Φ \mathcal{G}\in\Phi G ∈ Φ G \mathcal{G} G H ∈ Φ \mathcal{H}\in\Phi H ∈ Φ Φ \Phi Φ X X X basis of uniform covers ) であるとは, Φ \Phi Φ Φ \Phi Φ Φ \Phi Φ X X X uniform covers ) であるとは, Φ \Phi Φ Φ \Phi Φ Φ \Phi Φ
Proposition. 一様被覆系の準基から基の生成
X X X Φ \Phi Φ Ψ \Psi Ψ
Ψ ≔ ⋃ n ∈ N { ⋀ i = 1 n G i | G 1 , … , G n ∈ Φ }
\Psi\coloneqq\bigcup_{n\in\mathbb N}\left\{\bigwedge_{i=1}^{n}\mathcal{G}_i\mathrel{}\middle|\mathrel{}\mathcal{G}_1,\ldots,\mathcal{G}_n\in\Phi\right\}
Ψ : = n ∈ N ⋃ { i = 1 ⋀ n G i G 1 , … , G n ∈ Φ }
とすると, Ψ \Psi Ψ X X X
proof.
有限個の有限交わりの交わりは再び Φ \Phi Φ Ψ \Psi Ψ G i \mathcal G_i G i H i ∈ Φ \mathcal H_i\in\Phi H i ∈ Φ ⋀ i G i \bigwedge_i\mathcal G_i ⋀ i G i Ψ \Psi Ψ
Proposition. 一様被覆系の基から系の生成
X X X Φ \Phi Φ Ψ \Psi Ψ Ψ \Psi Ψ X X X
proof.
上方閉包は定義により上方閉である.Φ \Phi Φ Ψ \Psi Ψ Φ \Phi Φ Ψ \Psi Ψ
Proposition. 近縁系の定める一様被覆系
集合 X X X E \mathbf{E} E X X X Φ \Phi Φ
Φ ≔ { U | ∃ U ∈ E s.t. { U ( x ) ∣ x ∈ X } ≤ U }
\Phi\coloneqq\left\{\mathbf{U}\mathrel{}\middle|\mathrel{}\exists U\in\mathbf{E}\text{ s.t. }\{U(x)\mid x\in X\}\leq\mathbf{U}\right\}
Φ : = { U ∣ ∃ U ∈ E s.t. { U ( x ) ∣ x ∈ X } ≤ U }
とすると, Φ \Phi Φ X X X Φ \Phi Φ E \mathbf{E} E
proof.
近縁 U U U { U ( x ) ∣ x ∈ X } \{U(x)\mid x\in X\} { U ( x ) ∣ x ∈ X } V ∘ V ⊆ U V\circ V\subseteq U V ∘ V ⊆ U V V V V V V U U U
以後, 一様空間 X X X E X \mathbf{E}_X E X Φ X \Phi_X Φ X
Proposition. 一様被覆系の定める近縁系
集合 X X X Φ \Phi Φ X X X E \mathbf{E} E
E ≔ { U | ∃ U ∈ Φ s.t. ⋃ S ∈ U S × S ⊆ U }
\mathbf{E}\coloneqq\left\{U\mathrel{}\middle|\mathrel{}\exists\mathbf{U}\in\Phi\text{ s.t. }\bigcup_{S\in\mathbf{U}}S\times S\subseteq U\right\}
E : = { U ∃ U ∈ Φ s.t. S ∈ U ⋃ S × S ⊆ U }
とすると, E \mathbf{E} E X X X E \mathbf{E} E Φ \Phi Φ
proof.
各被覆の集合 ⋃ S ∈ U S × S \bigcup_{S\in\mathbf U}S\times S ⋃ S ∈ U S × S E \mathbf E E
Proposition.
集合 X X X E \mathbf{E} E Φ \Phi Φ Φ \Phi Φ E \mathbf{E} E
proof.
近縁 U U U U U U U U U
Proposition.
集合 X X X Φ \Phi Φ E \mathbf{E} E E \mathbf{E} E Φ \Phi Φ
proof.
各 U ∈ Φ \mathbf U\in\Phi U ∈ Φ U \mathbf U U U ∈ Φ \mathbf U\in\Phi U ∈ Φ U \mathbf U U
Proposition. 一様被覆系の定める位相
集合 X X X Φ \Phi Φ N : X → 2 2 X \mathcal{N}:X\to2^{2^X} N : X → 2 2 X
N ( x ) ≔ { U ( x ) ∣ U ∈ Φ } , x ∈ X
\mathcal{N}(x)\coloneqq\{\mathbf{U}(x)\mid\mathbf{U}\in\Phi\},\quad x\in X
N ( x ) : = { U ( x ) ∣ U ∈ Φ } , x ∈ X
とすると, N \mathcal{N} N X X X Φ \Phi Φ N \mathcal{N} N
proof.
被覆性により x ∈ U ( x ) x\in\mathbf U(x) x ∈ U ( x )
Proposition. 一様連続性の一様被覆による特徴づけ
一様空間 X , Y X,Y X , Y f : X → Y f:X\to Y f : X → Y
f f f 任意の V ∈ Φ Y \mathbf{V}\in\Phi_Y V ∈ Φ Y f − 1 ( V ) ∈ Φ X f^{-1}(\mathbf{V})\in\Phi_X f − 1 ( V ) ∈ Φ X
proof.
一様連続性は, 近縁球被覆の逆像がある近縁球被覆で細分されることと同値である.
写像列の収束
Proposition. 各点収束
位相空間 X X X S S S X S X^S X S ( f λ ) λ ∈ Λ (f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} ( f λ ) λ ∈ Λ f ∈ X S f\in X^S f ∈ X S
( f λ ) λ ∈ Λ (f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} ( f λ ) λ ∈ Λ f f f 各 c ∈ S c\in S c ∈ S X X X ( f λ ( c ) ) λ ∈ Λ (f_\lambda(c))_{\lambda\in\Lambda} ( f λ ( c ) ) λ ∈ Λ X X X f ( c ) f(c) f ( c )
proof.
関数空間 X S X^S X S ev c : X S → X \operatorname{ev}_c:X^S\to X ev c : X S → X f f f c 1 , … , c n ∈ S c_1,\ldots,c_n\in S c 1 , … , c n ∈ S f ( c i ) f(c_i) f ( c i ) f λ f_\lambda f λ f λ f_\lambda f λ f f f
Definition. 一様収束
一様空間 X X X S S S X S X^S X S ( f λ ) λ ∈ Λ (f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} ( f λ ) λ ∈ Λ f ∈ X S f\in X^S f ∈ X S ( f λ ) (f_\lambda) ( f λ ) f f f ( f λ ) (f_\lambda) ( f λ ) f f f U ∈ E X U\in\mathbf{E}_X U ∈ E X λ 0 ∈ Λ \lambda_0\in\Lambda λ 0 ∈ Λ
∀ λ ∈ Λ , λ 0 ≤ λ ⇒ ∀ s ∈ S , ( f λ ( s ) , f ( s ) ) ∈ U
\forall\lambda\in\Lambda,\quad\lambda_0\leq\lambda\Rightarrow
\forall s\in S,\ (f_\lambda(s),f(s))\in U
∀ λ ∈ Λ , λ 0 ≤ λ ⇒ ∀ s ∈ S , ( f λ ( s ) , f ( s )) ∈ U
ゲージ空間
一つの距離ではなく, 複数の擬距離を同時に用いると, 一様構造を数値的に記述できる場合がある.
集合 X X X (quasi-pseudometric on a set X X X ) とは, 写像 d : X × X → R d:X\times X\to\mathbb{R} d : X × X → R
任意の x , y ∈ X x,y\in X x , y ∈ X d ( x , y ) ≥ 0 d(x,y)\geq 0 d ( x , y ) ≥ 0
任意の x ∈ X x\in X x ∈ X d ( x , x ) = 0 d(x,x)=0 d ( x , x ) = 0
任意の x , y , z ∈ X x,y,z\in X x , y , z ∈ X d ( x , y ) + d ( y , z ) ≥ d ( x , z ) d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z) d ( x , y ) + d ( y , z ) ≥ d ( x , z )
集合 X X X X X X d d d ( X , d ) (X,d) ( X , d ) 準擬距離空間 (quasi-pseudometric space ) という.x , y ∈ X x,y\in X x , y ∈ X d ( x , y ) = d ( y , x ) d(x,y)=d(y,x) d ( x , y ) = d ( y , x ) d d d X X X pseudometric on X X X ) といい, 集合 X X X X X X d d d ( X , d ) (X,d) ( X , d ) 擬距離空間 (pseudometric space ) という.
Definition. 準ゲージ空間
集合 X X X (quasi-gauge on a set X X X X X X X X X X X X D D D ( X , D ) (X,D) ( X , D ) 準ゲージ空間 (quasi-gauge space ) という.X X X X X X gauge on X X X ) と呼び, 集合 X X X X X X D D D ( X , D ) (X,D) ( X , D ) ゲージ空間 (gauge space ) という.
Definition. 準近縁系
集合 X X X (quasi-entourage system on a set X X X ) とは, X X X E \mathbf{E} E
E \mathbf{E} E X × X X\times X X × X 任意の U ∈ E U\in\mathbf{E} U ∈ E Δ ( X ) ⊆ U \Delta(X)\subseteq U Δ ( X ) ⊆ U
任意の U ∈ E U\in\mathbf{E} U ∈ E V ∘ V ⊆ U V\circ V\subseteq U V ∘ V ⊆ U V ∈ E V\in\mathbf{E} V ∈ E
Theorem.
すべての位相空間は準一様化可能である.
proof.
位相空間 X X X G G G
U G ≔ ( G × G ) ∪ ( ( X ∖ G ) × X )
U_G\coloneqq(G\times G)\cup((X\setminus G)\times X)
U G : = ( G × G ) ∪ (( X ∖ G ) × X )
とおく.E \mathbf E E U G U_G U G U G ∘ U G ⊆ U G U_G\circ U_G\subseteq U_G U G ∘ U G ⊆ U G E \mathbf E E x ∈ G x\in G x ∈ G U G ( x ) = G U_G(x)=G U G ( x ) = G
Theorem. 準擬距離と準近縁系の両立
集合 X X X X X X d d d X X X E \mathbf{E} E
d d d ( X , E ) × ( X , E ) (X,\mathbf{E})\times(X,\mathbf{E}) ( X , E ) × ( X , E ) 任意の r > 0 r>0 r > 0 d − 1 ( [ 0 , r ) ) = { ( x , y ) ∈ X × X ∣ d ( x , y ) < r } ∈ E d^{-1}([0,r))=\{(x,y)\in X\times X\mid d(x,y)<r\}\in\mathbf{E} d − 1 ([ 0 , r )) = {( x , y ) ∈ X × X ∣ d ( x , y ) < r } ∈ E
proof.
実数の近縁基を { ( s , t ) ∣ ∣ s − t ∣ < r } \{(s,t)\mid |s-t|<r\} {( s , t ) ∣ ∣ s − t ∣ < r } d d d d − 1 ( [ 0 , r ) ) d^{-1}([0,r)) d − 1 ([ 0 , r ))
Theorem. 準ゲージの定める準近縁系
集合 X X X D D D
{ d − 1 ( [ 0 , r ) ) ∣ d ∈ D , r > 0 }
\{d^{-1}([0,r))\mid d\in D,\ r>0\}
{ d − 1 ([ 0 , r )) ∣ d ∈ D , r > 0 }
は準近縁系の準基となる. この準近縁系の準基の生成する準近縁系を 準ゲージ D D D という.
proof.
有限個の条件 d i ( x , y ) < r i d_i(x,y)<r_i d i ( x , y ) < r i r = min i r i / 2 r=\min_i r_i/2 r = min i r i /2 d i ( x , z ) ≤ d i ( x , y ) + d i ( y , z ) < r i d_i(x,z)\leq d_i(x,y)+d_i(y,z)<r_i d i ( x , z ) ≤ d i ( x , y ) + d i ( y , z ) < r i
準近縁系の準基の生成する準近縁系の定義から, 準ゲージ D D D E \mathbf{E} E d ∈ D d\in D d ∈ D ( X , E ) × ( X , E ) (X,\mathbf{E})\times(X,\mathbf{E}) ( X , E ) × ( X , E )
Theorem. 準近縁系の定める準ゲージ
集合 X X X E \mathbf{E} E X X X d d d ( X , E ) × ( X , E ) (X,\mathbf{E})\times(X,\mathbf{E}) ( X , E ) × ( X , E ) D D D D D D X X X D D D E \mathbf{E} E 準近縁系 E \mathbf{E} E という.
proof. d d d E \mathbf E E D D D E \mathbf E E U ∈ E U\in\mathbf E U ∈ E V n + 1 ∘ V n + 1 ∘ V n + 1 ⊆ V n V_{n+1}\circ V_{n+1}\circ V_{n+1}\subseteq V_n V n + 1 ∘ V n + 1 ∘ V n + 1 ⊆ V n V 0 ⊆ U V_0\subseteq U V 0 ⊆ U d U d_U d U { d U < 1 } ⊆ U \{d_U<1\}\subseteq U { d U < 1 } ⊆ U U U U D D D
列型空間
点列は収束を扱いやすいが, 一般の位相空間では点列だけで閉集合や連続性を検出できない.
位相空間 X X X F F F 点列閉 (sequentially closed ) であるとは, F F F ( p n ) (p_n) ( p n ) x x x x ∈ F x\in F x ∈ F 点列開 (sequentially open ) であるという.
Proposition.
位相空間 X X X G G G
X X X ( p n ) (p_n) ( p n ) ( p n ) (p_n) ( p n ) G G G N ≥ 0 N\geq 0 N ≥ 0 n ≥ N n\geq N n ≥ N n n n p n ∈ G p_n\in G p n ∈ G
proof. G G G X ∖ G X\setminus G X ∖ G p n → p ∈ G p_n\to p\in G p n → p ∈ G X ∖ G X\setminus G X ∖ G p p p G G G Proposition.
位相空間 X X X
proof. 開集合 G G G G G G ( p n ) (p_n) ( p n ) p p p G G G G G G p p p N N N n ≥ N n\geq N n ≥ N p n ∈ G p_n\in G p n ∈ G G G G
Definition.
位相空間 X X X 列型空間 (sequential space ) であるとは, 任意の点列開集合が開となるときいう.
Proposition.
位相空間 X X X
proof. 部分集合 F ⊆ X F\subseteq X F ⊆ X X ∖ F X\setminus F X ∖ F F F F X ∖ F X\setminus F X ∖ F
第一可算空間は列型空間であるが, 第一可算でない列型空間も存在する.
補可算位相を備えた非可算集合は列型でない空間の例であり, しばしば非可算集合上の補可算位相は列離散 (sequentially discrete) であるといわれる.
Proposition. 列型空間の特徴づけ
位相空間 X X X
X X X X X X X X X 任意の Y Y Y f : X → Y f:X\to Y f : X → Y f f f x ∈ X x\in X x ∈ X ( p n ) (p_n) ( p n ) Y Y Y ( f ( p n ) ) (f(p_n)) ( f ( p n )) f ( x ) f(x) f ( x )
proof. (3)⇒ \Rightarrow ⇒ ⇒ \Rightarrow ⇒ ⇒ \Rightarrow ⇒ X X X X X X f f f f − 1 ( F ) f^{-1}(F) f − 1 ( F ) F ⊆ Y F\subseteq Y F ⊆ Y f f f
位相空間 X X X S S S S S S [ S ] seq [S]_{\text{seq}} [ S ] seq [ − ] seq : 2 X → 2 X [-]_{\text{seq}}:2^X\to 2^X [ − ] seq : 2 X → 2 X
A ⊆ [ A ] seq ⊆ A ‾ A\subseteq[A]_{\text{seq}}\subseteq\overline{A} A ⊆ [ A ] seq ⊆ A [ ∅ ] seq = ∅ [\emptyset]_{\text{seq}}=\emptyset [ ∅ ] seq = ∅ [ A ∪ B ] seq = [ A ] seq ∪ [ B ] seq [A\cup B]_{\text{seq}}=[A]_{\text{seq}}\cup[B]_{\text{seq}} [ A ∪ B ] seq = [ A ] seq ∪ [ B ] seq
特に, 任意の部分集合 S S S [ S ] seq = S ‾ [S]_{\text{seq}}=\overline{S} [ S ] seq = S Fréchet–Urysohn 空間 (Fréchet–Urysohn space ) という.
Fréchet–Urysohn 空間と遺伝的列型空間は同値となる. 特に, 第一可算空間は Fréchet–Urysohn 空間である.
列型空間の圏 S e q \mathbf{Seq} Seq T o p \mathbf{Top} Top S e q \mathbf{Seq} Seq T o p \mathbf{Top} Top T o p \mathbf{Top} Top S e q \mathbf{Seq} Seq T o p \mathbf{Top} Top
距離化定理
距離化定理は, 与えられた位相がある距離から得られるための条件を与える.
被覆の正規性
Proposition.
距離空間 ( X , d X ) (X,d_X) ( X , d X ) ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 U ε = { B ε ( x ) ∣ x ∈ X } \mathbf{U}_\varepsilon=\{B_\varepsilon(x)\mid x\in X\} U ε = { B ε ( x ) ∣ x ∈ X }
x ∈ X x\in X x ∈ X δ > 0 \delta>0 δ > 0 m ∈ N m\in\mathbb N m ∈ N U ε m ( B δ ( x ) ) ⊆ B δ + 2 m ε ( x ) \mathbf{U}_\varepsilon^m(B_\delta(x))\subseteq B_{\delta+2m\varepsilon}(x) U ε m ( B δ ( x )) ⊆ B δ + 2 m ε ( x ) U ε Δ ≤ U 2 ε , U ε ∗ ≤ U 3 ε \mathbf{U}_\varepsilon^\varDelta\leq\mathbf{U}_{2\varepsilon},\quad\mathbf{U}_\varepsilon^\ast\leq\mathbf{U}_{3\varepsilon} U ε Δ ≤ U 2 ε , U ε ∗ ≤ U 3 ε
proof.
(1) は隣接する二つの半径 ε \varepsilon ε 2 ε 2\varepsilon 2 ε B ε ( y ) B_\varepsilon(y) B ε ( y ) B ε ( x ) B_\varepsilon(x) B ε ( x ) d ( x , y ) < 2 ε d(x,y)<2\varepsilon d ( x , y ) < 2 ε B ε ( y ) ⊆ B 3 ε ( x ) B_\varepsilon(y)\subseteq B_{3\varepsilon}(x) B ε ( y ) ⊆ B 3 ε ( x )
Definition. 被覆の正規性 (Cf. J. W. Tukey)
集合 X X X ( U n ∣ n ∈ N ) (\mathbf{U}_n\mid n\in\mathbb N) ( U n ∣ n ∈ N ) 正規被覆列 (normal sequence of covers ) であるとは, 各 n n n
U n + 1 ≤ ∗ U n
\mathbf{U}_{n+1}\leq^\ast\mathbf{U}_n
U n + 1 ≤ ∗ U n
が成り立つときいう. また, 位相空間 X X X U \mathbf{U} U 正規 (normal ) であるとは, U 1 ≤ U \mathbf{U}_1\leq\mathbf{U} U 1 ≤ U ( U n ∣ n ∈ N ) (\mathbf{U}_n\mid n\in\mathbb N) ( U n ∣ n ∈ N ) 正規被覆 (normal covering ) という.
U Δ ≤ U ∗ \mathbf{U}^\varDelta\leq\mathbf{U}^\ast U Δ ≤ U ∗
U ≤ ∗ V ⇒ U ≤ Δ V
\mathbf{U}\leq^\ast\mathbf{V}\Rightarrow\mathbf{U}\leq^\varDelta\mathbf{V}
U ≤ ∗ V ⇒ U ≤ Δ V
なため正規被覆列 ( U n ∣ n ∈ N ) (\mathbf{U}_n\mid n\in\mathbb N) ( U n ∣ n ∈ N ) n n n
U n + 1 ≤ Δ U n
\mathbf{U}_{n+1}\leq^\varDelta\mathbf{U}_n
U n + 1 ≤ Δ U n
を満たす.
Proposition.
集合 X X X ( U n ∣ n ∈ N ) (\mathbf{U}_n\mid n\in\mathbb N) ( U n ∣ n ∈ N ) n n n
U n + 1 ≤ Δ U n
\mathbf{U}_{n+1}\leq^\varDelta\mathbf{U}_n
U n + 1 ≤ Δ U n
を満たすとき, 被覆列 ( U 2 n ∣ n ∈ N ) (\mathbf{U}_{2n}\mid n\in\mathbb N) ( U 2 n ∣ n ∈ N )
proof.
仮定を二回適用すると
U 2 n + 2 ≤ Δ U 2 n + 1 ≤ Δ U 2 n
\mathbf U_{2n+2}\leq^\varDelta\mathbf U_{2n+1}\leq^\varDelta\mathbf U_{2n}
U 2 n + 2 ≤ Δ U 2 n + 1 ≤ Δ U 2 n
を得る.U 2 n + 2 ≤ ∗ U 2 n \mathbf U_{2n+2}\leq^\ast\mathbf U_{2n} U 2 n + 2 ≤ ∗ U 2 n
Theorem.
位相空間 X , Y X,Y X , Y f f f Y Y Y U , V \mathbf{U},\mathbf{V} U , V
U ≤ ∗ V \mathbf U\leq^\ast\mathbf V U ≤ ∗ V f − 1 ( U ) ≤ ∗ f − 1 ( V ) f^{-1}(\mathbf U)\leq^\ast f^{-1}(\mathbf V) f − 1 ( U ) ≤ ∗ f − 1 ( V ) U \mathbf U U f − 1 ( U ) f^{-1}(\mathbf U) f − 1 ( U )
ただし,
f − 1 ( U ) ≔ { f − 1 ( U ) ∣ U ∈ U }
f^{-1}(\mathbf U)\coloneqq\{f^{-1}(U)\mid U\in\mathbf U\}
f − 1 ( U ) : = { f − 1 ( U ) ∣ U ∈ U }
proof.
逆像は合併・交叉・包含を保つ.U \mathbf U U V \mathbf V V f − 1 ( U ) f^{-1}(\mathbf U) f − 1 ( U ) ( U n ∣ n ∈ N ) (\mathbf U_n\mid n\in\mathbb N) ( U n ∣ n ∈ N ) U \mathbf U U ( f − 1 ( U n ) ∣ n ∈ N ) (f^{-1}(\mathbf U_n)\mid n\in\mathbb N) ( f − 1 ( U n ) ∣ n ∈ N ) f − 1 ( U ) f^{-1}(\mathbf U) f − 1 ( U )
集合 X X X d : X × X → R d:X\times X\to\mathbb{R} d : X × X → R x , y , z ∈ X x,y,z\in X x , y , z ∈ X
d ( x , y ) ≥ 0 d(x,y)\geq0 d ( x , y ) ≥ 0 d ( x , x ) = 0 d(x,x)=0 d ( x , x ) = 0 d ( x , y ) = d ( y , x ) d(x,y)=d(y,x) d ( x , y ) = d ( y , x ) d ( x , y ) + d ( y , z ) ≥ d ( x , z ) d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z) d ( x , y ) + d ( y , z ) ≥ d ( x , z )
を満たすとき, d d d X X X pseudometric on X X X ) といい組 ( X , d ) (X,d) ( X , d ) 擬距離空間 (pseudometric space ) という.
Theorem. 距離等化
X X X d d d ∼ \sim ∼
x ∼ y ⟺ def d ( x , y ) = 0
x\sim y\mathrel{\overset{\text{def}}{\iff}}d(x,y)=0
x ∼ y ⟺ def d ( x , y ) = 0
とすると, これは同値関係となる. このとき X ∗ ≔ X / ∼ X^\ast\coloneqq X/\sim X ∗ : = X / ∼ d ∗ : X ∗ × X ∗ → R d^\ast:X^\ast\times X^\ast\to\mathbb{R} d ∗ : X ∗ × X ∗ → R
d ∗ ( [ x ] , [ y ] ) ≔ d ( x , y )
d^\ast([x],[y])\coloneqq d(x,y)
d ∗ ([ x ] , [ y ]) : = d ( x , y )
とすると, d ∗ d^\ast d ∗ X ∗ X^\ast X ∗ π : X → X ∗ \pi:X\to X^\ast π : X → X ∗ π − 1 ( π ( A ) ) = A \pi^{-1}(\pi(A))=A π − 1 ( π ( A )) = A A ∈ 2 X A\in2^X A ∈ 2 X A A A ( X , d ) (X,d) ( X , d ) π ( A ) \pi(A) π ( A ) ( X ∗ , d ∗ ) (X^\ast,d^\ast) ( X ∗ , d ∗ )
proof.
反射性と対称性は擬距離の対応する公理から直ちに従う.d ( x , y ) = 0 d(x,y)=0 d ( x , y ) = 0 d ( y , z ) = 0 d(y,z)=0 d ( y , z ) = 0 d ( x , z ) = 0 d(x,z)=0 d ( x , z ) = 0 ∼ \sim ∼ x ∼ x ′ x\sim x' x ∼ x ′ y ∼ y ′ y\sim y' y ∼ y ′
∣ d ( x , y ) − d ( x ′ , y ′ ) ∣ ≤ d ( x , x ′ ) + d ( y , y ′ ) = 0
|d(x,y)-d(x',y')|\leq d(x,x')+d(y,y')=0
∣ d ( x , y ) − d ( x ′ , y ′ ) ∣ ≤ d ( x , x ′ ) + d ( y , y ′ ) = 0
を得る.d ∗ d^\ast d ∗ d ∗ ( [ x ] , [ y ] ) = 0 d^\ast([x],[y])=0 d ∗ ([ x ] , [ y ]) = 0 x ∼ y x\sim y x ∼ y [ x ] = [ y ] [x]=[y] [ x ] = [ y ] d ∗ d^\ast d ∗
次に A A A x ∈ A x\in A x ∈ A B r ( x ) ⊆ A B_r(x)\subseteq A B r ( x ) ⊆ A
π ( B r ( x ) ) = B r ( π ( x ) )
\pi(B_r(x))=B_r(\pi(x))
π ( B r ( x )) = B r ( π ( x ))
である.d ( x , y ) < r d(x,y)<r d ( x , y ) < r A A A π ( A ) \pi(A) π ( A ) π ( A ) \pi(A) π ( A ) A = π − 1 ( π ( A ) ) A=\pi^{-1}(\pi(A)) A = π − 1 ( π ( A ))
距離空間 ( X ∗ , d ∗ ) (X^\ast,d^\ast) ( X ∗ , d ∗ ) ( X , d ) (X,d) ( X , d ) 距離等化 (metric identification ) という.
Theorem.
集合 X X X ( U n ∣ n ∈ N ) (\mathbf{U}_n\mid n\in\mathbb N) ( U n ∣ n ∈ N ) X X X d d d
y ∈ U n ( x ) ⇒ d ( x , y ) < 2 − n + 2 y\in\mathbf{U}_n(x)\Rightarrow d(x,y)<2^{-n+2} y ∈ U n ( x ) ⇒ d ( x , y ) < 2 − n + 2 d ( x , y ) < 2 − n ⇒ y ∈ U n ( x ) d(x,y)<2^{-n}\Rightarrow y\in\mathbf{U}_n(x) d ( x , y ) < 2 − n ⇒ y ∈ U n ( x )
したがって, 正規被覆列は距離による近さを復元する.0 0 0
proof.
各 U n \mathbf U_n U n x = x 0 , … , x k = y x=x_0,\ldots,x_k=y x = x 0 , … , x k = y ( x i − 1 , x i ) (x_{i-1},x_i) ( x i − 1 , x i ) U n i \mathbf U_{n_i} U n i ∑ i 2 − n i \sum_i2^{-n_i} ∑ i 2 − n i d ( x , y ) d(x,y) d ( x , y ) 0 0 0 d ( x , x ) = 0 d(x,x)=0 d ( x , x ) = 0 U n ( x ) \mathbf U_n(x) U n ( x ) 2 − n 2^{-n} 2 − n U n ( x ) \mathbf U_n(x) U n ( x )
Theorem. Urysohn の距離化定理
Kolmogorov かつ正則で第二可算な位相空間 X X X
特に, 正則第二可算空間は可算な開基から可算な正規被覆列を構成できる.
proof.
X X X ( B n ) n ≥ 0 (B_n)_{n\geq0} ( B n ) n ≥ 0 X X X
B i ‾ ⊆ B j
\overline{B_i}\subseteq B_j
B i ⊆ B j
を選ぶことができる.
各組に対して Urysohn の補題を適用し, 連続写像 u n : X → [ 0 , 1 ] u_n:X\to[0,1] u n : X → [ 0 , 1 ]
e : X ⟶ [ 0 , 1 ] N , e ( x ) = ( u n ( x ) ) n ≥ 0
e:X\longrightarrow[0,1]^{\mathbb{N}},\qquad e(x)=(u_n(x))_{n\geq0}
e : X ⟶ [ 0 , 1 ] N , e ( x ) = ( u n ( x ) ) n ≥ 0
は点を分離し, 開基も逆像で復元するので埋め込みである.
可算積 [ 0 , 1 ] N [0,1]^{\mathbb{N}} [ 0 , 1 ] N
d ( a , b ) ≔ ∑ n = 0 ∞ 2 − n − 1 ∣ a n − b n ∣
d(a,b)\coloneqq\sum_{n=0}^{\infty}2^{-n-1}|a_n-b_n|
d ( a , b ) : = n = 0 ∑ ∞ 2 − n − 1 ∣ a n − b n ∣
で定まる距離があり, その位相は積位相と一致する.X X X d X ( x , y ) = d ( e ( x ) , e ( y ) ) d_X(x,y)=d(e(x),e(y)) d X ( x , y ) = d ( e ( x ) , e ( y )) e e e d X d_X d X e e e d X d_X d X
ヒルベルト立方体
Definition. ヒルベルト立方体
単位閉区間 [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ]
Q = [ 0 , 1 ] N
Q=[0,1]^{\mathbb N}
Q = [ 0 , 1 ] N
に積位相を入れた空間を ヒルベルト立方体 (Hilbert cube ) と呼ぶ.Q Q Q [ 0 , 1 ] I [0,1]^I [ 0 , 1 ] I
Proposition. ヒルベルト立方体の基本性質
ヒルベルト立方体 Q Q Q Q Q Q
d ( x , y ) = ∑ n = 0 ∞ 2 − n − 1 ∣ x n − y n ∣
d(x,y)=\sum_{n=0}^{\infty}2^{-n-1}|x_n-y_n|
d ( x , y ) = n = 0 ∑ ∞ 2 − n − 1 ∣ x n − y n ∣
は積位相を誘導する.
proof.
各因子 [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] Q Q Q Q Q Q H : Q × [ 0 , 1 ] → Q H:Q\times[0,1]\to Q H : Q × [ 0 , 1 ] → Q
H ( x , t ) = ( 1 − t ) x + t ( 0 , 0 , … )
H(x,t)=(1-t)x+t(0,0,\ldots)
H ( x , t ) = ( 1 − t ) x + t ( 0 , 0 , … )
と定めれば, H ( x , 0 ) = x H(x,0)=x H ( x , 0 ) = x H ( x , 1 ) = ( 0 , 0 , … ) H(x,1)=(0,0,\ldots) H ( x , 1 ) = ( 0 , 0 , … ) Q Q Q
Theorem. ヒルベルト立方体への埋込み
可分距離空間はヒルベルト立方体 Q Q Q
proof.
可分距離空間は第二可算であり, Hausdorff かつ正則である.
e : X ⟶ [ 0 , 1 ] N = Q
e:X\longrightarrow[0,1]^{\mathbb N}=Q
e : X ⟶ [ 0 , 1 ] N = Q
は埋め込みである.
Theorem. Nagata-Smirnov の距離化定理
Hausdorff 正則空間 X X X X X X σ \sigma σ
proof.
距離空間では, 半径 2 − n 2^{-n} 2 − n n n n σ \sigma σ B = ⋃ n B n \mathcal B=\bigcup_n\mathcal B_n B = ⋃ n B n B n \mathcal B_n B n
Corollary. 可算基による距離化
Hausdorff 正則空間 X X X X X X
実際, 可算な開基は σ \sigma σ
proof.
Hausdorff 空間は Kolmogorov 空間である.X X X X X X
Theorem. 一様構造による距離化
Hausdorff 一様空間 X X X X X X
このとき, その距離が誘導する位相は元の一様位相と一致する.
proof.
可算近縁基から, 対称な近縁の減少列 ( V n ) n ≥ 0 (V_n)_{n\geq0} ( V n ) n ≥ 0
V n + 1 ∘ V n + 1 ∘ V n + 1 ⊆ V n
V_{n+1}\circ V_{n+1}\circ V_{n+1}\subseteq V_n
V n + 1 ∘ V n + 1 ∘ V n + 1 ⊆ V n
を満たし, なお近縁基となるものを選ぶ.x = x 0 , … , x k = y x=x_0,\ldots,x_k=y x = x 0 , … , x k = y ( x i − 1 , x i ) ∈ V n i (x_{i-1},x_i)\in V_{n_i} ( x i − 1 , x i ) ∈ V n i ∑ i 2 − n i \sum_i2^{-n_i} ∑ i 2 − n i d ( x , y ) d(x,y) d ( x , y ) d d d
V n ⊆ { ( x , y ) ∣ d ( x , y ) < 2 − n + 2 } , { ( x , y ) ∣ d ( x , y ) < 2 − n } ⊆ V n
V_n\subseteq\{(x,y)\mid d(x,y)<2^{-n+2}\},\qquad
\{(x,y)\mid d(x,y)<2^{-n}\}\subseteq V_n
V n ⊆ {( x , y ) ∣ d ( x , y ) < 2 − n + 2 } , {( x , y ) ∣ d ( x , y ) < 2 − n } ⊆ V n
が成り立つ.⋂ n V n = Δ ( X ) \bigcap_nV_n=\Delta(X) ⋂ n V n = Δ ( X ) d ( x , y ) = 0 d(x,y)=0 d ( x , y ) = 0 x = y x=y x = y d d d
Baire 空間
痩集合は可算個の閉疎集合の和として表される, 位相的に小さい部分集合である.
特別な部分集合
閉包と導来集合から定まる基本的な部分集合の概念を用いる.
Definition.
位相空間 X X X A ∈ 2 X A\in2^X A ∈ 2 X A d A^d A d A A A 導来集合 (derived set ) という.A ⊆ A d A\subseteq A^d A ⊆ A d A A A 自己稠密集合 (dense-in-itself set ) といい, 特に A = A d A=A^d A = A d A A A 完全集合 (perfect set ) という.
Definition. 正則開集合
位相空間 X X X G G G G ‾ ∘ = G \overline{G}^\circ=G G ∘ = G G G G 正則開集合 (regular open set ) という.
Definition. 稠密と疎
位相空間 X X X S ∈ 2 X S\in2^X S ∈ 2 X X = S ‾ X=\overline{S} X = S S S S X X X 稠密 (dense ) であるという.S ∈ 2 X S\in2^X S ∈ 2 X S ‾ ∘ = ∅ \overline{S}^\circ=\emptyset S ∘ = ∅ S S S X X X 疎集合 (nowhere dense set ) という.
Definition. 痩集合
位相空間 X X X S S S X X X 痩せている (meager in X X X ) といい, 痩せている集合を 痩集合 (meager set ) あるいは 第一類集合 (set of the first category ) という. 他方, 痩集合でない集合を 非痩集合 (nonmeager set ) あるいは 第二類集合 (set of the second category ) という.X X X X X X 痩空間 (meager space ) あるいは第一類空間という. 他方, 痩空間でない位相空間を 非痩空間 (nonmeager space ) あるいは第二類空間という.S ∁ = X ∖ S S^\complement=X\setminus S S ∁ = X ∖ S S S S 補痩である (comeager ) あるいは 残留的である (residual ) という.
Baire 性の定義と特徴づけ
Definition. Baire 空間
位相空間 X X X Baire 空間 (Baire space ) であるとは, X X X G 0 , G 1 , … , G j , … G_0,G_1,\ldots,G_j,\ldots G 0 , G 1 , … , G j , …
⋂ n = 0 ∞ G n
\bigcap_{n=0}^{\infty}G_n
n = 0 ⋂ ∞ G n
が稠密であるときいう.
Proposition. Baire 性の特徴づけ
位相空間 X X X
X X X X X X X X X
proof.
( 1 ) ⇒ ( 2 ) (1)\Rightarrow(2) ( 1 ) ⇒ ( 2 ) O O O O ⊆ ⋃ n F n O\subseteq\bigcup_n F_n O ⊆ ⋃ n F n ( F n ) (F_n) ( F n ) G n = X ∖ F n G_n=X\setminus F_n G n = X ∖ F n ⋂ n G n \bigcap_nG_n ⋂ n G n O O O O ⊆ ⋃ n F n O\subseteq\bigcup_nF_n O ⊆ ⋃ n F n
( 2 ) ⇒ ( 3 ) (2)\Rightarrow(3) ( 2 ) ⇒ ( 3 ) ⋃ n F n \bigcup_nF_n ⋃ n F n
( 3 ) ⇒ ( 1 ) (3)\Rightarrow(1) ( 3 ) ⇒ ( 1 ) ( G n ) (G_n) ( G n ) F n = X ∖ G n F_n=X\setminus G_n F n = X ∖ G n F n F_n F n G n G_n G n ⋃ n F n \bigcup_nF_n ⋃ n F n ⋂ n G n \bigcap_nG_n ⋂ n G n X X X
Baire のカテゴリー定理
Theorem. 完備距離空間の Baire 性
完備距離空間は Baire 空間である.
proof.
完備距離空間 X X X ( G n ) n ≥ 0 (G_n)_{n\geq0} ( G n ) n ≥ 0 O O O O ∩ G 0 O\cap G_0 O ∩ G 0 O ∩ G 0 O\cap G_0 O ∩ G 0 1 1 1 K 0 K_0 K 0 K n K_n K n int ( K n ) ∩ G n + 1 \operatorname{int}(K_n)\cap G_{n+1} int ( K n ) ∩ G n + 1 2 − n − 1 2^{-n-1} 2 − n − 1 K n + 1 K_{n+1} K n + 1
K n + 1 ⊆ K n ∩ G n + 1
K_{n+1}\subseteq K_n\cap G_{n+1}
K n + 1 ⊆ K n ∩ G n + 1
であり, K n K_n K n 0 0 0
各 K n K_n K n x n x_n x n ( x n ) (x_n) ( x n ) x ∈ X x\in X x ∈ X n n n K n K_n K n K n K_n K n x ∈ K n x\in K_n x ∈ K n x ∈ O ∩ ⋂ n ≥ 0 G n x\in O\cap\bigcap_{n\geq0}G_n x ∈ O ∩ ⋂ n ≥ 0 G n O O O ⋂ n ≥ 0 G n \bigcap_{n\geq0}G_n ⋂ n ≥ 0 G n
局所コンパクト空間の Baire 性
Theorem. 局所コンパクト空間の Baire 性
局所コンパクト Hausdorff 空間は Baire 空間である.
proof.
稠密開集合列 ( G n ) n ≥ 0 (G_n)_{n\geq0} ( G n ) n ≥ 0 O O O O ∩ G 0 O\cap G_0 O ∩ G 0 V 0 V_0 V 0 V 0 ‾ ⊆ O ∩ G 0 \overline{V_0}\subseteq O\cap G_0 V 0 ⊆ O ∩ G 0 V 0 ‾ \overline{V_0} V 0 V n V_n V n V n ∩ G n + 1 V_n\cap G_{n+1} V n ∩ G n + 1
V n + 1 ‾ ⊆ V n ∩ G n + 1
\overline{V_{n+1}}\subseteq V_n\cap G_{n+1}
V n + 1 ⊆ V n ∩ G n + 1
となる非空開集合 V n + 1 V_{n+1} V n + 1
コンパクト集合 V 0 ‾ \overline{V_0} V 0 V n ‾ \overline{V_n} V n ⋂ n ≥ 0 V n ‾ ≠ ∅ \bigcap_{n\geq0}\overline{V_n}\neq\emptyset ⋂ n ≥ 0 V n = ∅ O O O G n G_n G n ⋂ n ≥ 0 G n \bigcap_{n\geq0}G_n ⋂ n ≥ 0 G n
例
Example. 有理数全体は Baire 空間でない
有理数全体 Q \mathbb{Q} Q Q \mathbb{Q} Q Q \mathbb{Q} Q
Remark.
Baire のカテゴリー定理における「小さい」は測度 0 0 0 0 0 0
Example. Smith-Volterra-Cantor 集合
区間 [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] n n n 4 − n 4^{-n} 4 − n V V V V V V Smith-Volterra-Cantor 集合 (Smith-Volterra-Cantor set ) または 太った Cantor 集合 (fat Cantor set ) と呼ぶ.
Proposition. Smith-Volterra-Cantor 集合の性質
V V V [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] V V V
m ( V ) = 1 − ∑ n = 1 ∞ 2 n − 1 4 − n = 1 2
m(V)=1-\sum_{n=1}^{\infty}2^{n-1}4^{-n}=\frac12
m ( V ) = 1 − n = 1 ∑ ∞ 2 n − 1 4 − n = 2 1
である.
proof.
V V V [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] V V V V V V V V V n n n 2 n − 1 4 − n 2^{n-1}4^{-n} 2 n − 1 4 − n
∑ n = 1 ∞ 2 n − 1 4 − n = 1 2
\sum_{n=1}^{\infty}2^{n-1}4^{-n}=\frac12
n = 1 ∑ ∞ 2 n − 1 4 − n = 2 1
となり, m ( V ) = 1 / 2 m(V)=1/2 m ( V ) = 1/2 V V V [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ]
Volterra 空間
Definition. Volterra 空間
位相空間 X X X Volterra 空間 であるとは, X X X G δ G_\delta G δ
Proposition. Baire 空間と Volterra 空間
Baire 空間は Volterra 空間である.
proof.
A , B A,B A , B G δ G_\delta G δ A = ⋂ n ≥ 0 U n A=\bigcap_{n\geq0}U_n A = ⋂ n ≥ 0 U n B = ⋂ n ≥ 0 V n B=\bigcap_{n\geq0}V_n B = ⋂ n ≥ 0 V n U n , V n U_n,V_n U n , V n A A A B B B U n , V n U_n,V_n U n , V n U 0 , V 0 , U 1 , V 1 , … , U j , V j , … U_0,V_0,U_1,V_1,\ldots,U_j,V_j,\ldots U 0 , V 0 , U 1 , V 1 , … , U j , V j , …
A ∩ B = ⋂ n ≥ 0 ( U n ∩ V n )
A\cap B=\bigcap_{n\geq0}(U_n\cap V_n)
A ∩ B = n ≥ 0 ⋂ ( U n ∩ V n )
は稠密となる.
コンパクト化
局所コンパクト Hausdorff 空間では一点コンパクト化を構成でき, Tychonoff 空間では Stone-Čech コンパクト化が有界連続関数の延長を特徴づける.
一点コンパクト化
Definition. 一点コンパクト化
非コンパクトな局所コンパクト Hausdorff 空間 X X X X X X ∞ \infty ∞
X + ≔ X ⊔ { ∞ }
X^+\coloneqq X\sqcup\{\infty\}
X + : = X ⊔ { ∞ }
とおく.U ⊆ X + U\subseteq X^+ U ⊆ X + U ∩ X U\cap X U ∩ X X X X ∞ ∈ U \infty\in U ∞ ∈ U X ∖ ( U ∩ X ) X\setminus(U\cap X) X ∖ ( U ∩ X ) X + X^+ X + X X X 一点コンパクト化 (one-point compactification ) という.
Theorem. 一点コンパクト化の性質
X + X^+ X + X X X X + X^+ X + X + ∖ X = { ∞ } X^+\setminus X=\{\infty\} X + ∖ X = { ∞ }
proof.
X + X^+ X + ∞ \infty ∞ U U U K = X ∖ ( U ∩ X ) K=X\setminus(U\cap X) K = X ∖ ( U ∩ X ) K K K U U U X + X^+ X + X + X^+ X +
X X X X X X X + X^+ X + x ∈ X x\in X x ∈ X x ∈ V ⊆ K x\in V\subseteq K x ∈ V ⊆ K V ⊆ X V\subseteq X V ⊆ X K ⊆ X K\subseteq X K ⊆ X V V V X + ∖ K X^+\setminus K X + ∖ K x x x ∞ \infty ∞ X + X^+ X +
X = X + ∖ { ∞ } X=X^+\setminus\{\infty\} X = X + ∖ { ∞ } X X X ∞ \infty ∞ U U U X X X U = { ∞ } U=\{\infty\} U = { ∞ } X X X X X X X + X^+ X +
Theorem. 一点コンパクト化の一意性
コンパクト Hausdorff 空間 K K K X X X K ∖ X K\setminus X K ∖ X K K K X + X^+ X + X X X
proof.
K ∖ X = { p } K\setminus X=\{p\} K ∖ X = { p } h : X + → K h:X^+\to K h : X + → K x ∈ X x\in X x ∈ X h ( x ) = x h(x)=x h ( x ) = x h ( ∞ ) = p h(\infty)=p h ( ∞ ) = p X X X X X X p p p W ⊆ K W\subseteq K W ⊆ K K ∖ W K\setminus W K ∖ W X X X h − 1 ( W ) h^{-1}(W) h − 1 ( W ) ∞ \infty ∞ X X X h − 1 ( W ) h^{-1}(W) h − 1 ( W ) h h h X + X^+ X + K K K h h h X X X ∞ \infty ∞ p p p
Example.
R n \mathbb{R}^n R n n n n S n S^n S n
Stone-Čech コンパクト化
Definition. Stone-Čech コンパクト化
Tychonoff 空間 X X X Stone-Čech コンパクト化 とは, コンパクト Hausdorff 空間 β X \beta X β X ι : X → β X \iota:X\to\beta X ι : X → β X K K K f : X → K f:X\to K f : X → K f ‾ : β X → K \overline{f}:\beta X\to K f : β X → K
f ‾ ∘ ι = f
\overline{f}\circ\iota=f
f ∘ ι = f
を満たすものをいう.
Theorem. Stone-Čech コンパクト化の存在と一意性
任意の Tychonoff 空間は Stone-Čech コンパクト化を持つ.X X X
proof.
存在については, X X X [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ]
一意性を示す.( β X , ι ) (\beta X,\iota) ( β X , ι ) ( β ′ X , ι ′ ) (\beta'X,\iota') ( β ′ X , ι ′ ) ι ′ : X → β ′ X \iota':X\to\beta'X ι ′ : X → β ′ X F : β X → β ′ X F:\beta X\to\beta'X F : β X → β ′ X F ∘ ι = ι ′ F\circ\iota=\iota' F ∘ ι = ι ′ G : β ′ X → β X G:\beta'X\to\beta X G : β ′ X → β X G ∘ ι ′ = ι G\circ\iota'=\iota G ∘ ι ′ = ι G ∘ F G\circ F G ∘ F ι ( X ) \iota(X) ι ( X ) β X \beta X β X G ∘ F = id β X G\circ F=\operatorname{id}_{\beta X} G ∘ F = id β X F ∘ G = id β ′ X F\circ G=\operatorname{id}_{\beta'X} F ∘ G = id β ′ X F F F X X X
Proposition. 有界実数値関数による特徴づけ
Tychonoff 空間 X X X ι : X → K \iota:X\to K ι : X → K f : X → [ 0 , 1 ] f:X\to[0,1] f : X → [ 0 , 1 ] K K K
proof.
K = β X K=\beta X K = β X [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] f : X → [ 0 , 1 ] f:X\to[0,1] f : X → [ 0 , 1 ] f ‾ : β X → [ 0 , 1 ] \overline f:\beta X\to[0,1] f : β X → [ 0 , 1 ] X X X
逆にこの延長性を仮定する.Y Y Y g : X → Y g:X\to Y g : X → Y Y Y Y [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ]
e : Y ⟶ [ 0 , 1 ] C ( Y , [ 0 , 1 ] )
e:Y\longrightarrow[0,1]^{C(Y,[0,1])}
e : Y ⟶ [ 0 , 1 ] C ( Y , [ 0 , 1 ])
で埋め込まれる.h ∘ g : X → [ 0 , 1 ] h\circ g:X\to[0,1] h ∘ g : X → [ 0 , 1 ] K K K G : K → [ 0 , 1 ] C ( Y , [ 0 , 1 ] ) G:K\to[0,1]^{C(Y,[0,1])} G : K → [ 0 , 1 ] C ( Y , [ 0 , 1 ]) G ∘ ι = e ∘ g G\circ\iota=e\circ g G ∘ ι = e ∘ g e ( Y ) e(Y) e ( Y ) G − 1 ( e ( Y ) ) G^{-1}(e(Y)) G − 1 ( e ( Y )) ι ( X ) \iota(X) ι ( X ) K K K G G G e ( Y ) e(Y) e ( Y ) e − 1 ∘ G : K → Y e^{-1}\circ G:K\to Y e − 1 ∘ G : K → Y g g g K K K
Remark.
一点コンパクト化は余剰点を一つだけ加える最小の形のコンパクト化である.
Theorem. 1 1 1
パラコンパクト Hausdorff 空間の任意の開被覆には従属する 1 1 1
proof.
開被覆 U \mathcal{U} U ( W i ) i ∈ I (W_i)_{i\in I} ( W i ) i ∈ I ( V i ) i ∈ I (V_i)_{i\in I} ( V i ) i ∈ I U i ∈ U U_i\in\mathcal{U} U i ∈ U
W i ‾ ⊆ V i , V i ‾ ⊆ U i
\overline{W_i}\subseteq V_i,\qquad \overline{V_i}\subseteq U_i
W i ⊆ V i , V i ⊆ U i
となるように選ぶ.
Urysohn の補題から, 各 i i i ψ i : X → [ 0 , 1 ] \psi_i:X\to[0,1] ψ i : X → [ 0 , 1 ]
ψ i ∣ W i ‾ = 1 , ψ i ∣ X ∖ V i = 0
\psi_i|_{\overline{W_i}}=1,\qquad \psi_i|_{X\setminus V_i}=0
ψ i ∣ W i = 1 , ψ i ∣ X ∖ V i = 0
となるように選べる.supp ψ i ⊆ V i ‾ ⊆ U i \operatorname{supp}\psi_i\subseteq\overline{V_i}\subseteq U_i supp ψ i ⊆ V i ⊆ U i ψ i \psi_i ψ i
ψ ( x ) ≔ ∑ i ∈ I ψ i ( x )
\psi(x)\coloneqq\sum_{i\in I}\psi_i(x)
ψ ( x ) : = i ∈ I ∑ ψ i ( x )
は連続である.( V i ) (V_i) ( V i ) ψ ( x ) > 0 \psi(x)>0 ψ ( x ) > 0 x ∈ X x\in X x ∈ X
φ i ( x ) = ψ i ( x ) / ψ ( x ) \varphi_i(x)=\psi_i(x)/\psi(x) φ i ( x ) = ψ i ( x ) / ψ ( x ) supp φ i \operatorname{supp}\varphi_i supp φ i U i U_i U i ∑ i φ i ( x ) = 1 \sum_i\varphi_i(x)=1 ∑ i φ i ( x ) = 1 ( φ i ) i ∈ I (\varphi_i)_{i\in I} ( φ i ) i ∈ I U \mathcal{U} U 1 1 1
Remark.
局所有限性により, 各点の近傍では上の和の非零項が有限個しかない.1 1 1
関数空間
連続写像の集合そのものに位相を入れると, パラメータに依存する写像や積空間上の写像を一つの空間として扱える.
コンパクト開位相
Definition. コンパクト開位相
位相空間 X , Y X,Y X , Y X X X Y Y Y C ( X , Y ) C(X,Y) C ( X , Y ) K ⊆ X K\subseteq X K ⊆ X U ⊆ Y U\subseteq Y U ⊆ Y
[ K , U ] ≔ { f ∈ C ( X , Y ) ∣ f ( K ) ⊆ U }
[K,U]\coloneqq\{f\in C(X,Y)\mid f(K)\subseteq U\}
[ K , U ] : = { f ∈ C ( X , Y ) ∣ f ( K ) ⊆ U }
とおく.C ( X , Y ) C(X,Y) C ( X , Y ) コンパクト開位相 (compact-open topology ) といい, この位相を備えた空間を C k ( X , Y ) C_k(X,Y) C k ( X , Y )
Proposition. 評価写像
X X X
ev : C k ( X , Y ) × X ⟶ Y , ( f , x ) ⟼ f ( x )
\operatorname{ev}:C_k(X,Y)\times X\longrightarrow Y,
\quad(f,x)\longmapsto f(x)
ev : C k ( X , Y ) × X ⟶ Y , ( f , x ) ⟼ f ( x )
は連続である.
proof.
( f 0 , x 0 ) (f_0,x_0) ( f 0 , x 0 ) f 0 ( x 0 ) f_0(x_0) f 0 ( x 0 ) U U U f 0 − 1 ( U ) f_0^{-1}(U) f 0 − 1 ( U ) x 0 x_0 x 0 x 0 ∈ V ⊆ K ⊆ f 0 − 1 ( U ) x_0\in V\subseteq K\subseteq f_0^{-1}(U) x 0 ∈ V ⊆ K ⊆ f 0 − 1 ( U ) V V V K K K [ K , U ] [K,U] [ K , U ] f 0 f_0 f 0 V V V x 0 x_0 x 0 f ∈ [ K , U ] f\in[K,U] f ∈ [ K , U ] x ∈ V x\in V x ∈ V x ∈ K x\in K x ∈ K f ( x ) ∈ U f(x)\in U f ( x ) ∈ U ( f 0 , x 0 ) (f_0,x_0) ( f 0 , x 0 )
Theorem. 指数法則
X X X Z , Y Z,Y Z , Y f : Z × X → Y f:Z\times X\to Y f : Z × X → Y
f ~ : Z ⟶ C k ( X , Y ) , z ⟼ ( x ⟼ f ( z , x ) )
\widetilde{f}:Z\longrightarrow C_k(X,Y),
\quad z\longmapsto(x\longmapsto f(z,x))
f : Z ⟶ C k ( X , Y ) , z ⟼ ( x ⟼ f ( z , x ))
は連続である.g : Z → C k ( X , Y ) g:Z\to C_k(X,Y) g : Z → C k ( X , Y )
( z , x ) ⟼ g ( z ) ( x )
(z,x)\longmapsto g(z)(x)
( z , x ) ⟼ g ( z ) ( x )
によって連続写像 Z × X → Y Z\times X\to Y Z × X → Y Z Z Z Y Y Y
proof.
f : Z × X → Y f:Z\times X\to Y f : Z × X → Y f ~ \widetilde{f} f [ K , U ] [K,U] [ K , U ] z 0 ∈ f ~ − 1 ( [ K , U ] ) z_0\in\widetilde{f}^{-1}([K,U]) z 0 ∈ f − 1 ([ K , U ]) f ( { z 0 } × K ) ⊆ U f(\{z_0\}\times K)\subseteq U f ({ z 0 } × K ) ⊆ U K K K f − 1 ( U ) f^{-1}(U) f − 1 ( U ) z 0 z_0 z 0 W W W
f ( W × K ) ⊆ U
f(W\times K)\subseteq U
f ( W × K ) ⊆ U
となる.W ⊆ f ~ − 1 ( [ K , U ] ) W\subseteq\widetilde{f}^{-1}([K,U]) W ⊆ f − 1 ([ K , U ]) f ~ \widetilde{f} f
逆に g : Z → C k ( X , Y ) g:Z\to C_k(X,Y) g : Z → C k ( X , Y )
Z × X → g × id X C k ( X , Y ) × X → ev Y
Z\times X\xrightarrow{g\times\operatorname{id}_X}C_k(X,Y)\times X
\xrightarrow{\operatorname{ev}}Y
Z × X g × id X C k ( X , Y ) × X ev Y
であるから連続である.
Remark.
任意の位相空間 X X X T o p \mathbf{Top} Top
コンパクト生成空間
Definition. コンパクト生成空間
Hausdorff 空間 X X X コンパクト生成 (compactly generated ) であるとは, 部分集合 A ⊆ X A\subseteq X A ⊆ X K K K f : K → X f:K\to X f : K → X f − 1 ( A ) f^{-1}(A) f − 1 ( A )
Remark.
コンパクト生成弱 Hausdorff 空間の圏では, 積と関数空間を適切に取り直すことで Cartesian 閉な圏を得る.
古典的な例と発展的な定理
この節では, 一般位相で用いられる古典的な例と, 一般化された距離化定理および積空間の定理をまとめる.
Alexandroff 直線
Definition. Alexandroff 直線
順序集合 [ 0 , ω 1 ) × [ 0 , 1 ) [0,\omega_1)\times[0,1) [ 0 , ω 1 ) × [ 0 , 1 ) Alexandroff 直線 (Alexandroff line または long line ) L \mathbb L L
Proposition. Alexandroff 直線の性質
Alexandroff 直線 L \mathbb L L L \mathbb L L
proof. 順序位相の性質から L \mathbb L L [ 0 , 1 ) [0,1) [ 0 , 1 ) L \mathbb L L ω 1 \omega_1 ω 1 L \mathbb L L L \mathbb L L L \mathbb L L L \mathbb L L L \mathbb L L L \mathbb L L L \mathbb L L
Line with two origins
Definition. 二つの原点をもつ直線
R × { 0 , 1 } \mathbb{R}\times\{0,1\} R × { 0 , 1 } x ≠ 0 x\neq0 x = 0 ( x , 0 ) (x,0) ( x , 0 ) ( x , 1 ) (x,1) ( x , 1 ) 二つの原点をもつ直線 (Line with two origins ) と呼ぶ.( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) 0 0 0_0 0 0 0 1 0_1 0 1 Proposition. 二つの原点をもつ直線の性質
二つの原点をもつ直線は T 1 T_1 T 1
proof. 商写像の定義から, 0 0 0_0 0 0 0 1 0_1 0 1 T 1 T_1 T 1 0 0 0_0 0 0 0 1 0_1 0 1 x x x
Homogeneous 空間
Definition. Homogeneous 空間
位相空間 X X X Homogeneous (homogeneous ) であるとは, 任意の x , y ∈ X x,y\in X x , y ∈ X h ( x ) = y h(x)=y h ( x ) = y h : X → X h:X\to X h : X → X
Proposition. 位相群の Homogeneous 性
位相群 G G G
proof. x , y ∈ G x,y\in G x , y ∈ G L y x − 1 : G → G L_{yx^{-1}}:G\to G L y x − 1 : G → G g ↦ y x − 1 g g\mapsto yx^{-1}g g ↦ y x − 1 g L y x − 1 ( x ) = y L_{yx^{-1}}(x)=y L y x − 1 ( x ) = y
Polish 空間
Definition. Polish 空間
位相空間 X X X Polish (Polish space ) であるとは, X X X X X X
Proposition. Polish 空間の基本性質
Polish 空間は第二可算かつ Baire 空間である.R n \mathbb{R}^n R n 2 N 2^{\mathbb{N}} 2 N N N \mathbb{N}^{\mathbb{N}} N N
proof. 可分距離空間は第二可算である.
Sorgenfrey 直線と Michael 直線
Definition. Sorgenfrey 直線
実数集合に半開区間 [a,b) を基底として生成される位相を Sorgenfrey 位相といい, この空間を Sorgenfrey 直線 (Sorgenfrey line ) S \mathbb S S
Proposition. Sorgenfrey 直線の性質
S \mathbb S S S × S \mathbb S\times\mathbb S S × S proof. [ x , x + 1 / n ) [x,x+1/n) [ x , x + 1/ n ) x x x ( x , − x ) ∣ x ∈ R {(x,-x)\mid x\in\mathbb R} ( x , − x ) ∣ x ∈ R Definition. Michael 直線
実数集合に通常の開区間と無理数の一点集合を生成元として生成される位相を入れた空間を Michael 直線 (Michael line ) M \mathbb M M
Remark.
Michael 直線では有理数点は通常の近傍を持ち, 無理数点は孤立点である.M \mathbb M M
Smirnov の距離化定理
Theorem. Smirnov の距離化定理
位相空間 X X X X X X
proof. 逆方向では, 局所距離化可能な近傍の開被覆を局所有限細分し, 各細分上の距離を 1 1 1
可縮空間
Definition. ホモトピー
位相空間 X , Y X,Y X , Y f , g : X → Y f,g:X\to Y f , g : X → Y H : X × [ 0 , 1 ] → Y H:X\times[0,1]\to Y H : X × [ 0 , 1 ] → Y H ( x , 0 ) = f ( x ) H(x,0)=f(x) H ( x , 0 ) = f ( x ) H ( x , 1 ) = g ( x ) H(x,1)=g(x) H ( x , 1 ) = g ( x ) H H H f f f g g g ホモトピー (homotopy ) といい, f ≃ g f\simeq g f ≃ g
Definition. 可縮空間
位相空間 X X X 可縮 (contractible ) であるとは, ある点 x 0 ∈ X x_0\in X x 0 ∈ X id X \operatorname{id}_X id X c x 0 : X → X c_{x_0}:X\to X c x 0 : X → X H : X × [ 0 , 1 ] → X H:X\times[0,1]\to X H : X × [ 0 , 1 ] → X H ( x , 0 ) = x H(x,0)=x H ( x , 0 ) = x H ( x , 1 ) = x 0 H(x,1)=x_0 H ( x , 1 ) = x 0
Proposition. 可縮性の特徴づけ
位相空間 X X X X X X
proof. 可縮性を与えるホモトピーと, 点の包含写像 i : { ∗ } → X i:\{*\}\to X i : { ∗ } → X c : X → { ∗ } c:X\to\{*\} c : X → { ∗ } c ∘ i c\circ i c ∘ i i ∘ c i\circ c i ∘ c id X \operatorname{id}_X id X id X \operatorname{id}_X id X
Proposition. 可縮空間の基本例
凸集合 C C C C C C R n \mathbb R^n R n
proof. x 0 ∈ C x_0\in C x 0 ∈ C H ( x , t ) = ( 1 − t ) x + t x 0 H(x,t)=(1-t)x+tx_0 H ( x , t ) = ( 1 − t ) x + t x 0 C C C H ( x , 0 ) = x H(x,0)=x H ( x , 0 ) = x H ( x , 1 ) = x 0 H(x,1)=x_0 H ( x , 1 ) = x 0 x 0 x_0 x 0 Proposition. 可縮空間の積
可縮空間 X , Y X,Y X , Y X × Y X\times Y X × Y
proof. H X H_X H X H Y H_Y H Y H ( ( x , y ) , t ) = ( H X ( x , t ) , H Y ( y , t ) ) H((x,y),t)=(H_X(x,t),H_Y(y,t)) H (( x , y ) , t ) = ( H X ( x , t ) , H Y ( y , t )) X × Y X\times Y X × Y ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) ( x 0 , y 0 )
Arhangel'skii の空間
Definition. 外延基
A ⊆ X A\subseteq X A ⊆ X X X X E \mathcal E E 外延基 (external base ) であるとは, 任意の相対開集合 U ⊆ A U\subseteq A U ⊆ A x ∈ U x\in U x ∈ U x ∈ E x\in E x ∈ E E ∩ A ⊆ U E\cap A\subseteq U E ∩ A ⊆ U E ∈ E E\in\mathcal E E ∈ E Definition. 弱基
B = ⋃ x ∈ X B x \mathcal B=\bigcup_{x\in X}\mathcal B_x B = ⋃ x ∈ X B x 弱基 (weak base ) であるとは, 各 B x \mathcal B_x B x x x x U U U x ∈ U x\in U x ∈ U x ∈ B ⊆ U x\in B\subseteq U x ∈ B ⊆ U B ∈ B x B\in\mathcal B_x B ∈ B x Definition. 点可算型
Tychonoff 空間 X X X 点可算型 (point-countable type ) であるとは, 各 x ∈ X x\in X x ∈ X X X X K K K
Theorem. Arhangel'skii の外延基定理
点可算型の空間では, 各点を含む可算文字のコンパクト部分空間が存在する.
Definition. Arhangel'skii の p 空間
Tychonoff 空間 X X X p 空間 (p-space ) であるとは, あるコンパクト化における可算個の開集合の閉包の交叉が X X X
Theorem. Arhangel'skii の p 空間定理
パラコンパクト Tychonoff 空間 X X X X X X
Borges-Okuyama の定理
Definition. M 空間
X X X M 空間 (M-space ) であるとは, 開被覆列 ( U n ) (\mathcal U_n) ( U n ) x n ∈ St ( x , U n ) x_n\in\operatorname{St}(x,\mathcal U_n) x n ∈ St ( x , U n ) Definition. G δ G_\delta G δ
対角線 Δ X = { ( x , x ) ∣ x ∈ X } \Delta_X=\{(x,x)\mid x\in X\} Δ X = {( x , x ) ∣ x ∈ X } X × X X\times X X × X X X X G δ G_\delta G δ
Theorem. Borges-Okuyama の距離化定理
X X X X X X G δ G_\delta G δ proof. M 空間の被覆列と G δ G_\delta G δ
Morita 空間と積の正規性
Definition. Morita 空間
正規空間 X X X Morita 空間 であるとは, 任意の距離空間 Y Y Y X × Y X\times Y X × Y
Theorem. Morita の積定理
正規 Morita P 空間 X X X Y Y Y X × Y X\times Y X × Y
Whitehead 弱位相と Tamano の定理
Definition. Whitehead 弱位相
閉被覆 F \mathcal F F A ⊆ X A\subseteq X A ⊆ X F ∈ F F\in\mathcal F F ∈ F A ∩ F A\cap F A ∩ F F F F
Theorem. Tamano の定理
Hausdorff 空間 X X X X X X X X X X × β X X\times\beta X X × β X K K K X × K X\times K X × K
proof. K = β X K=\beta X K = β X
Glicksberg の定理
Definition. 局所コンパクト可換群の弱位相
局所コンパクト Hausdorff 可換群 G G G G ^ \widehat G G G + G^+ G +
Theorem. Glicksberg の定理
局所コンパクト Hausdorff 可換群 G G G G + G^+ G +
Smirnov コンパクト化
Definition. Smirnov コンパクト化
分離一様空間 ( X , E ) (X,\mathbf E) ( X , E ) E \mathbf E E Smirnov コンパクト化 (Smirnov compactification ) と呼ぶ.X X X [ 0 , 1 ] BUC ( X , [ 0 , 1 ] ) [0,1]^{\operatorname{BUC}(X,[0,1])} [ 0 , 1 ] BUC ( X , [ 0 , 1 ])
Theorem. Smirnov コンパクト化の普遍性
有界一様連続写像は Smirnov コンパクト化へ一意に連続延長する.